高中数学用空间向量研究直线、平面的位置关系专项练习 (二)

高中数学用空间向量研究直线、平面的位置关系专项练习

第2课时

裸1检测二固双基

1.如果直线/的方向向量是«=(-2,0,1),且直线/上有一点P不在平面a内，平面a

的法向量是8=(2,0,4),那么()

A,ll.aB.I//a

C・luaD./与a斜交

2.已知直线/过点尸(1,0,-1)且平行于向量a=(2,1,1),平面a过直线/与点M(l,2,3),

则平面a的法向量不可熊是()

A.(1,-4,2)B.6，-1,

C.(-1,1,-D.(0,-1,1)

3.在正方体中，E,尸分别是,C£>的中点，则()

A.平面AEQ〃平面A|F£>i

B.平面AE£)_L平面AiFDi

C.平面AED与平面A|F£)i相交但不垂直

D.以上都不对

4.已知"8C是以8为直角顶点的等腰直角三角形，其中或=(1，",2),就=(2,m,

〃)("？z〃wR),贝！Jm+〃=.

5.已知直角梯开乡ABCDcf,AD//BC,ABLBC,AB=AD=：BC,将直角梯开乡ABCD值

其内部)以AB所在直线为轴顺时针旋转90°,形成如图所示的几何体，其中M为~国的中

点.

⑴求证：BM1.DF；

⑵求异面直线BM与EF所成角的大小.

素养作业•提技能

A组•素养自测

一、选择题

1.若〃=(1,-2,2)是平面«的一个法向量，则下列向量能作为平面a法向量的是()

A.(1,-2,0)B.(0,-2,2)

C.(2,-4,4)D.(2,4,4)

2.已知平面a内有一点M(1,-1,2),平面«的一个法向量n=(6,-3,6),则下列点P

中在平面a内的是()

A.P(2,3,3)B.P(-2,0,1)

C.P(-4,4,0)D.P(3,-3,4)

3.已知平面a的法向量为"=(2,-2,4)，盛=(-1,1,-2),则直线AB与平面a的

位置关系为()

A.ABLa

B.ABua

C.AB与a相交但不垂直

D.AB//a

4.(多选题)在空间直角坐标系Oxyz中，已知A(-1,2,3),8(0,-2,4),C(2,l,2),若存

在一点P,使得CPJ•平面。48,则P点坐标可能为()

A.(-12,-3,0)B.(7,2,-4)

C.(6,3,5)D.(-5,-1,1)

5.(多选题)在菱形A3CQ中，若可是平面A3C。的法向量，则以下等式中一定成立的

是()

A.成•显=0B.武苑=0

C.Pt-Ah=OD.或夕)=0

二、填空题

6.同时垂直于a=(2,2,1)、/>=(4,5,3)的单位向量是

一或一•

7.设平面a与向量。=(-1,2,-4)垂直，平面”与向量6=(2,3,1)垂直，则平面a与夕

的位置关系是—.

8.已知4(0,1,0),5(-1,0,-1),C(2,l,l),点P(x,0,z),若以，平面ABC,则点P

的坐标为一.

三、解答题

9.如图,在四犍P-ABCD中，底面ABCD是矢邮，平面ABCD,AP=AH=2,

8c=2小，E、尸分别是AO、PC的中点，求证：PC,平面BEF.

10.如图所示qABC是一^正三角形，EC_L平面A8C,Br>〃CE,且CE=CA=2B。.求

证：平面£>E4_L平面ECA.

B组素养提升

一、选择题

1.如图，在三棱锥4-8。£>中，。4DB、0c两两垂直，且。B=1)C,E为BC中点，

则然•沃等于()

A

A.0B.1

C.2D.3

2.已知力=(1,5,-2),觉=(3,1,z),若磊，衣1，励=(x-l,y,-3),且BP_L平

面ABC,则实数x,y,z分别为()

3315,c4015

A.y,-y,4B.y,-y,4

C.y,-2,4D.4,y,-15

3.(多选题)已知点P是平行四边形ABCC所在平面外一点，如果助=(2,-1,-4)、

布=(4,2,0)、A>=(-1,2,-I).则()

A.APLABB.APLAD

C.#是平面ABCD的法向量D.祚〃卧

4.(多选题)已知直线/i的方向向量是a=(2,4,x),直线12的方向向量是b=(2,y2).若

⑷=6,且=0,贝!]x+y的值是()

A.-1B.3

C.-3D.1

二、填空题

5空间直角坐标系中两平面a与“分别以"|=(2,1,1)与"2=(0,2,1)为其法向量若aCip

=1,则直线/的一个方向向量为.(写出一个方向向量的坐标)

6.如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的正方形，上底面ABCD,

且P。=1,若点E,F分别为PB,AD的中点，则直线E尸与平面PBC的位置关系是—.

p

7.如图所示,已知矩形ABC。，AB=1,BC=a,雨工平面ABC。，若在BC上只有一

个点Q满足PQLQD,则“的值等于

三、解答题

8.如图，已知直三棱柱ABC-A181G中,AC1BC,。为A8的中点，AC=BC=BBi.

⑴求证：BCilAB,；

⑵求证：8G〃平面CA\D.

9.如图所示，在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形，且4O〃BC,ZABC

=ZPAD=90°,侧面以£>_L底面ABC。.PA=AB=BC=^AD.

⑴求证：。）_1_平面力。；

⑵侧棱PA上是否存在点E，使得8E〃平面PCD?若存在，指出点£的位置并证明,

若不存在，请说明理由.

课1检测二固双基

1.如果直线I的方向向量是〃=(-2,0,1),且直线/上有一点P不在平面a内，平面a

的法向量是6=(2,0,4),那么(B)

A.l.LaB.I//a

C・luaD./与a斜交

［解析］'."ab=-4+4=0,

：.a±b,又,：.l//a.

2.已知直线/过点尸(1,0,-1)且平行于向量a=(2,1,1),平面a过直线/与点M(l,2,3),

则平面〃的法向量不可熊是(D)

A.(1,-4,2)B.Q,-1,£)

C.1,-£)D.(0,-1,1)

［解析1因为丽=(0,2,4),直线/平行于向量a,若〃是平面a的法向量，则必须满足

na=0,

<把选项代入验证，只有选项D不满足，故选D.

n.丽=0,

3.在正方体ABC。-AI^GDI中，E,尸分别是BBy,CD的中点，则(B)

A.平面AED〃平面

B.平面AEQ_L平面A1FQ1

C.平面AED与平面A\FD\相交但不垂直

D.以上都不对

［解析］以D为原点，赤，求，协।分别为x,y,z建立空间直角坐标系，求出平面

AED的法向量n\与平面A1F2的法向量"2.因为m«2=0,所以m±n2,故平面AEC平

面4尸。1.

4.已知"BC是以8为直角顶点的等腰直角三角形，其中放=(1,m,2),求=(2,m,

n)(m,〃eR),贝(j机+〃=-1.

［解析］由题意得成•比=0,且|朗=此，

2+小+2〃=0,

所以

1+加2+4=4+m2+〃2,

777=0,

所以所以加+〃=-1.

n=-1,

5.已知直角梯形ABCD中,AD//BC,AB1BC,AB=AD=^BC,将直角梯形ABCD0

其内部)以AB所在直线为轴顺时针旋转90。，形成如图所示的几何体，其中M为百的中

点.

(1)求证：BMLDF；

⑵求异面直线BM与EF所成角的大小.

［解析］(1)VAB±BC,ABLBE,BSBE=B,

；.A8_L平面BCE,

以B为原点，以BE,BC,BA为坐标轴建立空间坐标系Bxyz,如图所示：

设AB=AO=1,则D(0,l,D,F(l,0,D,8(0,0,0),M(媚，也，0),

：.B^=(y[2,^2,0),D>=(1,-1,0),

戚力=啦-也+0=0,

：.BMLDF.

(2)E(2,0,0),故辞=(-1,0,1),

..cos(丽，由-幽的FxF2,

设异面直线BM与EF所成角为0,

则cos9=|cos{BK1,El'}\=2>

故，4.

素养作业•提技能

A组•素养自测

一、选择题

1若〃=(1,-2,2)是平面a的一个法向量则下列向量能作为平面a法向量的是(C)

A.(1,-2,0)B.(0,-2,2)

C.(2,-4,4)D.(2,4,4)

［解析］V(2,-4,4)=2(1,-2,2)=2n,

.♦.(2,-4,4)可作为a的一个法向量.

2.已知平面«内有一点M(l,-1,2),平面«的一个法向量n=(6,-3,6),则下列点P

中在平面a内的是(A)

A.P(2,3,3)B.P(-2,0,1)

C.P(-4,4,0)D.P(3,-3,4)

［解析］选项A：VP(2,3,3)，，赤=(1,4,1),贝!In-M>=6-12+6=0,AA^ln，工

P(2,3,3)在a内，故A正确，同理B,C,D不正确.

3.已知平面a的法向量为〃=(2,-2,4)，屈=(-1,1,-2),则直线AB与平面a的

位置关系为(A)

A.AB.La

B.ABua

C.AB与a相交但不垂直

D.AB//a

廨析］平面a的法向量为n=(2,-2.4)，屈=(-1,1,-2),：.n=-2A^,：.n//fi^,

.,.屈J_a,即直线AB与平面a垂直.故选A.

4.(多选题)在空间直角坐标系Oxyz中，已知4(-1,2,3),3(0,-2,4),C(2,l,2),若存

在一点P,使得CPL平面OA8,则P点坐标可能为(AD)

A.(-12,-3,0)B.(7,2,-4)

C.(6,3,5)D.(-5,-1,1)

［解析J设P(x,y,z),由CPJ_平面OAB,可得CPLOA,CPLOB,

cP-OJ\=0,-x+2y+3z-6=0,

即可得，

ct>ob=0,［-2y+4z-6=0,

将四个选项代入检验可得正确选项

将(-12,-3,0)代入满足方程组，所以选项A正确；

将(7,2,-4)代入不满足方程组，所以B不正确；

将(6,3,5)代入不满足方程组，所以C不正确；

将(-5,-1,1)代入不满足方程组，所以D不正确.故选AD.

5.(多选题)在菱形ABC。中，若可是平面ABC。的法向量，则以下等式中一定成立的

是(ABD)

A.或屈=0B.Pt-Bb=0

C.Pt-Ah=0D.P^-Cb=0

［解析1I,%_L平面ABC。，雨.

又AC_L8£>,ACHPA=A,

平面%C,：PCu平面PAC,J.PCA.BD.

故ABD成立.

二、填空题

6.同时垂直于a=(2,2,1)、6=(4,5,3)的单位向量是

2

-

-3

［解析1设所求向量为c=(x,y,z),

c1C1

(2x+2y+z=0,x=3;x=-3,

则《4x+5y+3z=0,解得Jy=-32,或＜y=|,

^x1+y2+z2=1,22

lz=3,[Z=~y

7.设平面a与向量a=(-1,2,-4)垂直，平面£与向量Z>=(2,3,1)垂直，则平面a与4

的位置关系是一垂直—.

［解析1ab=O,所以a1/3.

8.已知4(0,1,0),5(-1,0,-1),C(2,l,l)，点P(x,0,z),若以，平面ABC,则点P

的坐标为(-1,0,2).

［解析］由题意得可=(7,1,-z),#=(-l,-1,-1),加=(2,0,1),由成，机

彳寻".屈=x-］+z=0,由"J_祀，得可.病=-2x-z=0,

X--],

解得｛'故点P的坐标为(-1,0,2).

z=2.

三、解答题

9.如图,在四寸蹄P-ABCD中，底面ABCD是酬乡,E4_L平面ABCD,AP=AB=2,

BC=2巾,E、尸分别是A。、PC的中点，求证：PC」.平面BEF.

［解析1如图，以A为坐标原点，AB.AD.AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立

空间直角坐标系.

Dy

"：AP=AB=2,BC=AD=2巾,

四边形A8C£>是矩形,

.•.4(0,0,0)、8(2,0,0)、C(2,2y［2,0)、0(0,2啦,0)、P(0,0,2).

又E、尸分别是AO、PC的中点，

.•.E(0，也，0)、F(1,^2,1).

.•尼=(2,2吸，-2)、脐=(-l,也，1)、£>=(l,0,D,

：.Pt-Bp=-2+4-2=0,Pt-Ep=2+0-2=0,

：.Pt±Bp,PtLEp,：.PCVBF,PCLEF.

又尸，...PCJ_平面BE尸.

10.如图所示，“8C是一个正三角形，EC_L平面ABC,BD//CE,S.CE=CA=2BD.求

证：平面OEA_L平面ECA.

r

A

［证明］建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz不妨设C4=2,则CE=2,BD=\,

C(0,0,0),A(5,1,0),8(0,2,0),£(0,0,2),0(0,2,1)

fe

所以血=(小，1，-2),4=(0,0,2),Eb=(0,2,-1).

分别设平面ECA与平面DEA的法向量是iii=(xi,y\,zi),"2=(x2,yz,z2),则

II\EX-0,

n\Ck=O,

小xi+yi-2zi=0,

即《

2zi=0,

yi=-,“2•或=0,

解得..

*1=0,“2•动=0,

小X2+力-2Z2=0,X2=小”,

即解得，

2y2-Z2=0,Z2=2y2.

不妨设"i=（1,-小，0）,"2=（小，1,2）,

因为/1|«2=0,所以»1|±»2.所以平面£>£4_1_平面ECA.

B组素养提升

一、选择题

1.如图，在三棱锥A-BCD中，D4、DB、。。两两垂直，且DB=OC,E为BC中点，

则然•衣等于(A)

A.0

C.2D.3

［解析］如图，建立空间直角坐标系，设。C==a,OA=6,贝B(a,0,0)、C(0,a,0\

A(0,0"),展4,0),

所以温=(-a,a,0),旗北,f,-，,Ak-Bt=-y+y+0=0.

2.已J5l^=(l,5,-2),此=(3』，z),若霜，就，成=(x-1,y,-3),且82_1平

面ABC,则实数x,y,z分别为（B）

A.*-%4c4015,

B.y,-y,4

D.4,岑,-15

C.y,-2,4

［解析］•.,砧1.比，，霜.贰=0,

即3+5-2z=0,得z=4,

又8PJ_平面ABC,：.BplAb,BpLBt,

40

x=~/

(x-l)+5y+6=0#

则解得

3(x-l)+y-12=0,15

产

3.(多选题)已知点尸是平行四边形A8C£>所在平面外一点，如果m=(2,-1,-4)、

肪=(4,2,0)、#=(-1,2,-1).则(ABC)

A.APLABB.APLAD

C.#是平面ABCD的法向量D.Ap//Bb

［解析］屈・#=2x(-1)+(-1)x2+(-4)x(-1)=-2-2+4=0,则-J_办.

#&=4x(-l)+2x2+0=0,贝！,

,Ap±Ab,A^HAb=A,

平面A8CO,故动是平面A8C£)的一个法向量.

Bb=A^-A^=(2,3,4),显然B不±A>.

4.(多选题)已知直线/i的方向向量是a=(2,4,x),直线12的方向向量是b=(2,y2).若

|a|=6,且=0,贝!］x+y的值是(CD)

A.-1B.3

C.-3D.1

［解析］由题意知Ml=-\j22+42+x2=6,解得x=±4,

由a山=4+4y+2x=0彳导，x=-2y-2.

当x=4时,y=-3,所以x+y=1.

当》=-4时，y=1,所以x+y=-3.

综上,x+y=-3或1.

二、填空题

5空间直角坐标系中两平面a与“分别以m=(2,1,1)与ii2=(0,2,1)为其法向量若

=I,则直线/的一个方向向量为」_二2)_.(写出一个方向向量的坐标)

［解析］设直线/的一个方向向量为a={x,y,z),由两平面a与夕分别以m=(2,1,1)

与“2=(0,2,1)为其法向量，可得。"1=2x+y+z=0,a-n2=2y+z=0，可得z=-2y,x=,

可设y=1,则x=g,z=-2,

可得a=G，1，-2).

6.如图所示,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的正方形，PO_L底面ABCD,

且PD=1,若点E,F分别为PB,AD的中点，则直线EF与平面PBC的位置关系是—垂直

［解析］以D为原点,DA,DC,DP所在直线为X轴，)■轴，z轴建立空间直角坐标系,

则8(1,1,0),C(0,l,0),P(0,0,l),帽0,0),

.•屏=(0,-1,,^=(1,1,-1),C>=(0,-1,1),

设平面PBC的一法向量n=(x,y,z),

x+y-z=0,

贝U"•防=0,n-Cp=0,即，

-y+z=O,

取y=1,贝!Jz=1,x=0,，〃=(0』,l).

,：.Ep//n,/.£F±®PBC.

7.如图幅,已知矢既ABC。,AB=1,BC=a,必，平面4BC£>,若在8c上只有一

个点。满足PQ，。。，则”的值等于，

［解析］以A为原点,建立如图所示坐标系,则40,0,0),B(1,0,0),D(0,a,0),C(1,

。,0),

设Q(1,x,0),尸(0,0,z),P^=(l,x,-z),Qb=(-1,a-x,0).

由对•办=0,得-1+x(a-x)=0,

即/-or+1=0.

当』=Q2_4=(),即〃=2时，点Q只有一.

三、解答题

8.如图，已知直三棱柱ABC-AiBG中,AC1BC,。为AB的中点,AC=BC=BBi.

(1)求证：BCyLABx；

⑵求证：8G〃平面CA\D.

1证明］如图，以Ci点为原点，GAi、G8、GC所在直线分别为x轴、＞轴、z轴建

立空间直角坐标系.

设AC=8C=2Bi=2,贝！JA(2,O,2)、8(0,2,2)、C(0,0,2)、A(2,0,0)、8(0,2,0)、G(0,0,0)、

0(1,1,2).

⑴：蛇