集合的含义 高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第一章集合与常用逻辑用语1.1

集合的概念·

【素养目标】·1.通过实例了解集合的含义，掌握集合元素的三个特性，初步运用集

合元素的特性解决简单问题.(数学抽象)·2.体会元素与集合之间的属于关系，记住并会应用常用数集的表示符

号.(逻辑推理)·3.掌握集合的两种表示方法(列举法和描述法).(直观想象)·4.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合.(直观想象)·【学法解读】·在本节学习中，学生依据老师创设合适的问题情境，以义务教育阶段所

学过的数学内容为载体，学会用集合语言表达学过的相应内容，理解元

素与集合的关系、元素的特征及集合的表示方法.第1课时

集合的含义目

录

CONTENTS必备知识·探新知关键能力·攻重难课堂检测·固双基素养作业·提技能必备知识·探新知知识点1

集合与元素的含义·一般地，我们把研究对象统称为(element),把一些元素组成的·通常腑大写拉丁字母A,B,C,

…表示

,用小写拉丁字母a,b,对象：可以是数、点、图形，也可以是人或物等，即对象的形式多样

化.

c,

…

表示集合中的

集合·

叫做集合(set)(简称为集).

元系基础知识

·元素：具有共同的特征或共同的属性的对象.·总体：集合是一个整体，暗含“所有”“全部”“全体”的含义.因此，

一些对象一旦组成了集合，这个集合就是这些对象的全体，而非个别对象.·思考1:集合中的“研究对象”所指的就是数学中的数、点、代数式吗?·提示：

集合中的“研究对象”所指的范围非常广泛，可以是数学中的数、

点、代数式，也可以是现实生活中的各种各样的事物或人等.特性含义示例确定性作为一个集合的元素，必须是确定的，不能确定的对象就不能构成集合，也就是说，给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素也就确定了集合A={1,2,3},则1∈A,44A集合中元素的三个特性知识点2特性含义示例互异性对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的(或者说是互异的),这就是说，集合中的任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入同一集合时只能算集合的一个元素集合{x,x²—x}中的x应满足

x≠x²—x,即x≠0且x≠2无序性构成集合的元素间无先后顺序之分集合{1,0}和{0,1}是同一个集合·思考2:集合元素的三个特性主要有哪些应用?·提示：(1)确定性的主要作用是判断一组对象能否构成集合，只有这组对

象具有确定性时才能构成集合.界定模糊的元素不能构成集合，如“小

河流”“难题”等.·(2)无序性的主要作用是方便定义集合相等.当两个集合相等时，其元素

不一定依次对应相等.如{1,2,3}与{3,2,1}表示同一集合.·(3)互异性的主要作用是警示我们做题后要检验.特别是题中含有参数

(即字母)时，

一定要检验求出的参数是否满足集合中元素的互异性.关系概念记法读法属于如果a是集合A中的元素，就说a属于集合A

Aa属于集合A不属于如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合AafAa

不属秉合A元素与集合的关系知识点3·思考3:(1)元素与集合之间有第三种关系吗?·(2)符合“∈”“∈”的左边可以是集合吗?·提示：(1)对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A”与“a∈A”这两

种结果.·(2)∈和&具有方向性，左边是元素，右边是集合，所以左边不可以是集

合

.数集意义符号非负整数集(或自然数集)全体非负整数组成的集合N正整数集全体正整数组成的集合N*或N+整数集全体整数组成的集合Z有理数集全体有理数组成的集合Q实数集全体实数组成的集合R常用数集及其记法知识点4·思考4:

N,N*,N+

有什么区别?·提示：

(1)N为非负整数集(或自然数集),而N*或N表示正整数集，不同

之处就是N包括0,而N*(N+)不包括0.·(2)N*和N的含义是一样的，初学者往往会误记为N.或N+,

为避免出错，

对于N*和N,

可形象地记为“星星(*)在天上，十字(+)在地下”.·1.下列各组对象中不能组成集合的是(·A.清华大学2019年入校的全体学生·B.我国十三届全国人大二次会议的全体参会成员·C.中国著名的数学家·D.不等式x—1>0的实数解·[解析]“著名的数学家”无明确的标准，对于某人是否“著名”无法

客观地判断，因此“中国著名的数学家”不能组成集合，故选C.基础自测2.已知a∈R,且

a≠Q,则

a

可以为(A)A.√2

B.

C.—2

D.

[解析]2

∈R,

且√24Q,故选A.3.下列元素与集合的关系判断正确的是_①④(填序号).①O∈N;②π

∈Q;③√2∈Q;④-1∈Z;⑤√2≠R.[解析]

π,

√2为无理数，

√2为实数，故填①④.·

4

.

方程x2—1=0

与方程x+1=0所有解组成的集合中共有

个元

素

.·[解析]方程x²-1=0

的解为1,-

1,x+1=0

的解为-1,所以两个方

程所有解组成的集合有2个元素，故填2.关键能力·攻重难

下列各组对象：·①某个班级中年龄较小的男同学；②联合国安理会常任理事国；③2018

年在韩国举行的第23届冬奥会的所有参赛运动员；④的所有近似值.·其中能够组成集合的是._·[分析]

结合集合中元素的特性分析各组对象是否满足确定性和互异性，进而判断能否组成集合.

②③题型一

集合的基本概念题型探究

·[解析]

①中的“年龄较小”、④中的“近似值”,这些标准均不明确，即元素不确定，所以①④不能组成集合.·②③中的对象都是确定的、互异的，所以②③可以组成集合.填②③.·[归纳提升]

1.判断一组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的判断标准，使给定的对象是“确定无疑”的还是“模棱两可”的.如果

是“确定无疑”的，就可以构成集合；如果是“模棱两可”的，就不能

构成集合.·2.判断集合中的元素个数时，要注意相同的对象归入同一集合时只能算作一个，即集合中的元素满足互异性.·【对点练习】①下列每组对象能否构成一个集合：·(1)我国的小城市；·(2)某校2019年在校的所有高个子同学；·(3)不超过20的非负数；·(4)方程x²—9=0在实数范围内的解.·[解析](1)“我国的小城市”无明确的标准，对于某个城市是否“小”无

法客观地判断，因此，“我国的小城市”不能构成一个集合.(2)“高个

子”无明确的标准，对于某个同学是否是“高个子”无法客观地判断，

不能构成集合.(3)任给一个实数x,

可以明确地判断是不是“不超过20

的非负数”,即“O≤x≤20”

与“x>20

或x<0”两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合.(4)由x²-9=0,得x₁=-3,x₂=3.∴方程x²-9=0

在实数范围内的解为-3,3,能构成集合.题型二元素与集合的关系例

2若所有形如3a+√2b(a∈Z,b∈Z)的数组成集合A,请判断6-2

√2是不是集合A中的元素.[分析]根据元素与集合的关系判断，可令a=2,b=—2.[解析]因为在3a+√2b(a∈Z,b∈Z)中，令a=2,b=—2,即可得到6-2

√2,所以6-2

√2是集合A

中的元素.·[归纳提升]1.(1)判断一个元素是不是某个集合的元素，关键是判断这

个元素是否具有这个集合中元素的共同特征.(2)要熟练掌握R、Q、Z、

N、N*表示的数集.·2.解决这类比较复杂的集合问题要充分利用集合满足的性质，运用转化思想，将问题等价转化为比较熟悉的问题解决.【对点练习】②(1)下列关系中，正确的有(C)

②√54Q;③|-3|∈N;④|一

√3|∈Q.

A.1

个

B.2个C.3

个D.4个(2)若集合A中的元素x

满

,x

∈N,

则集合A

中的元素为2,1,0[解析]

(1

是实数，

√5是无理数，

|-3|=3是自然数，|-

√3|=3是无理数.因此，①②③正确，④错误.(2)由题意可得：3—x可以为1,2,3,6,且x为自然数，因此x

的值为2,1,0.因此A中元素有2,1,0.已知一3是由x—2,2x²+5x,12三个元素构成的集合中的元素，求x的值.·[分析]

—3是集合的元素说明x—2=—3

或2x²+5x=—

3,可分类讨论

求解.·[解析]

由题意可知，x-2=-3或2x²+5x=-3.·当x-2=-3时

，x=-1,·把x=-1代入2x²+5x,得集合的三个元素分别为-3,-3,12,不满足

集合中元素的互异性；当2x²+5x=—3

时，

x=—1

(舍去),时，集合的三个元素分别为·[归纳提升]解决此类问题的通法是：根据元素的确定性建立分类讨论的标准，求得参数的值，然后将参数值代入检验是否满足集合中元素的

互异性

.满足集合中元素的互异性，故·【对点练习】③已知集合A中仅含有两个元素a—3和2a—1,

若一3∈A,

则实数a的值为·