相交线与平行线（学案含解析）-中考数学备考复习重点资料归纳

2022年中考数学一轮复习学案

18相交线与平行线

中考命翘说明

考点课标要求考查角度

常以选择题、填空题的形

①通过丰富的实例，进一步认识点、线、面、角；②会

式考查点、线、面、角、

点、线、比较角的大小，会计算角度的和与差，会进行简单的角

1余角、补角的概念和等角

面、角度换算；③了解补角、余角的概念，知道等角的余角相

的余角相等、等角的补角

等、等角的补角相等.

相等的性质.

①了解对顶角的概念，知道对顶角相等；②了解垂线、

垂线段、点到直线的距离等概念，了解垂线段最短的性常以选择题、填空题的形

相交线与质；知道过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线；③式考查对顶角、垂线的概

2

平行线知道过直线外一点有且仅有一条直线平行于已知直线，念、性质以及平行线的性

会过已知直线外一点画这条直线的平行线；④理解平行质和判定.

线的性质定理和判定定理，并能进行有关的计算与论证.

知疚点心点、线、面、角

知炊点虢理

i.点动成线、线动成面、面动成体.

2.角：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角.角也可以看作由一条射线绕着

它的端点旋转而形成的图形.

3.度分秒的换算：1周角=2平角=4—直角=360。.1。=60，,「=60

4.量角器的使用：量角器的中心和角的顶点对齐，量角器的零刻度线和角的一条边对齐，

做到两对齐后看角的另一边与刻度线对应的度数.

5.两角间的关系：

(1)余角：如果两个角的和等于90。,就说这两个角互为余角.同角或等角的

余角相等.

（2）补角：如果两个角的和等于180。，就说这两个角互为补角.同角或等角的

补角相等.

6.角平分线：一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个

角的平分线.

翼曳用题

【例1】（2分）（2021•北京1/28）如图是某几何体的展开图，该几何体是（）

【考点】几何体的展开图.

【分析】展开图为两个圆，一个长方形，易得是圆柱的展开图.

【解答】解：•••圆柱的展开图为两个圆和一个长方形，

.•.展开图可得此几何体为圆柱.

故选：B.

【考点】几何体的展开图

【分析】由平面图形的折叠及正方体的展开图的特征解答即可.

故选：C.

【点评】本题考查了几何体的展开图.解题时勿忘记四棱柱的特征及正方体展开图的各种情

形.

【例3】（3分）（2021•呼伦贝尔•兴安盟14/26）74。19,30"=°.

【考点】度分秒的换算

【分析】先将30"化成“分”，再将195化成“度”即可.

【解答】解：30x（4=05,

60

19'+0.5'=19.5',

19.5x（—）°=0.325°,

60

74°+0.325°=74.325°,

故答案为：74.325.

【点评】本题考查度、分、秒的换算，掌握度、分、秒的换算进率和换算方法是得出正确答

案的前提.

【例4】（4分）（2021•上海11/25）70。的余角是.

【考点】余角和补角

【分析】根据余角的定义即可求解.

【解答】解：根据定义一个角是70。，则它的余角度数是90。-70。=20。，

故答案为20。.

【点评】本题主要考查了余角的概念,掌握互为余角的两个角的和为90度是解决此题关键.

ZX

知识点2：直线.射线和线段

._________________________________________________________________>

知疚点樵理

<__________________________，

1.直线的概念：一根拉得很紧的线，就给我们以直线的形象，直线是直的，并且是向两方

无限延伸的.

2.射线的概念：直线上一点和它一旁的部分叫做射线.这个点叫做射线的端点.

3.线段的概念：直线上两个点和它们之间的部分叫做线段.这两个点叫做线段的端点.

4.线段的和差：如下图，在线段AC上取一点3,则有：42+BC=AC；

AB=AC-BC-.BC^AC-AB.

1II

ABC

5.线段的中点：如下图，点M把线段AB分成相等的两条线段AM与MB,点M叫做线段

A3的中点.几何语言：AM=MB=-AB.

2

AMB

6.直线的性质：

（1）直线公理：经过两个点有一条直线，并且只有一条直线.它可以简单地说成：过两点

有且只有一条直线（两点确定一条直线）.

（2）过一点的直线有无数条.

（3）直线是是向两方面无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小.

（4）直线上有无穷多个点.

（5）两条不同的直线至多有一个公共点.

7.线段的性质：

（1）线段公理：所有连接两点的线中，线段最短.也可简单说成：两点之间线段最短.

（2）连接两点的线段的长度，叫做这两点的距离.

（3）线段的中点到两端点的距离相等.

（4）线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的.

喜熨用题

【例5】（3分）（2021•河北1/26）如图，已知四条线段a,b,c,d中的一条与挡板另一

侧的线段机在同一直线上，请借助直尺判断该线段是（）

【考点】直线、射线、线段.

【分析】利用直尺画出遮挡的部分即可得出结论.

【解答】解：利用直尺画出图形如下：

可以看出线段。与机在一条直线上.

故答案为：a.

故选：A.

【点评】本题主要考查了线段，射线，直线，利用直尺动手画出图形是解题的关键.

【例6】（3分）（2021•包头3/26）已知线段AB=4,在直线A8上作线段BC,使得BC=2,

若。是线段AC的中点，则线段的长为（）

A.1B.3C.1或3D.2或3

【考点】两点间的距离

【分析】根据题意可分为两种情况，①点C在线段上，可计算出AC的长，再由。是线

段AC的中点，即可得出答案；②3c在线段A2的延长线上，可计算出AC的长，再由。是

线段AC的中点，即可得出答案.

【解答】解：根据题意分两种情况，

①如图1：

II||

ADCB

图1

VAB=4,BC=2,

：.AC=AB-BC^2,

是线段AC的中点，

/.AD=-AC=-x2=l；

22

②如图2：

|II|

ADBC

图2

•：AB=4,BC=2,

：.AC=AB+BC=6,

是线段AC的中点，

AD=—AC=—x6=3.

22

线段AD的长为1或3.

故选：C.

【点评】本题主要考查了两点之间的距离，正确理解题目并进行分情况进行计算是解决本题

的关键.

、

知识点3t相交线

知识点梳理

1.相交线中的角：

（1）两条直线相交，可以得到四个角，我们把两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶

点但没有公共边的两个角叫做对顶角.我们把两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点

且有一条公共边的两个角叫做邻补角.

（2）邻补角互补，对顶角相等.

（3）直线A3,与跖相交（或者说两条直线AB,被第三条直线EP所截），构成八

个角（三线八角）.其中/I与N5这两个角分别在AB,C。的上方，并且在EE的同侧，像

这样位置相同的一对角叫做同位角；N3与N5这两个角都在AB,CD之间，并且在EF的

异侧，像这样位置的两个角叫做内错角；/3与N6在直线。之间，并且在的同

侧，像这样位置的两个角叫做同旁内角.

E

__________

A-二：___________B

34

'5

晨工口

一七:8

7

C~F

2.垂线：

（1）两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直.其中

一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.

直线AB,C£）互相垂直，记作“A3，。”（或"C£），A8”），读作“A8垂直于CZT（或

“CO垂直于A8"）.

（2）垂线的性质：

性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.

性质2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短.

3.点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距

离.如下图，点P与直线/上各点连接的所有线段中，PB最短，点尸到直线/的距离是

P8的长度.

ABCD

4.线段垂直平分线的性质定理及逆定理：

垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线.

线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.如下

图，若/_LAB,OA=OB,则

逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.

5.角平分线的性质定理及逆定理：

角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.几何语言：如下图,

N1=N2

=PE=PF

PEYOA.PFYOB

逆定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.几何语言：如下图,

PEVOA.PFVOB

=>N1=N2

PE=PF

---------------\

蔚堂百题

【例7】（2分）（2021•北京3/28）如图，点O在直线A3上，OCLOD.若NAOC=120。，

则N30Q的大小为（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

【考点】垂线.

【分析】根据平角的意义求出/BOC的度数，再根据垂直的意义求出答案.

【解答】解：VZAOC+ZBOC=180°,ZAOC=120°,

ZB（?C=180°-120°=60°,

又：OC1,OD,

：.ZCOD=90°,

AZBOD=ZCOD-ZBOC=90°-60°=30°,

故选：A.

【点评】本题考查平角及垂直的意义，理解互相垂直的意义是解决问题的关键.

【例8】（3分）（2021•海南9/22）如图，己知。〃4直线/与直线a、6分别交于点A、B,

分别以点A、8为圆心，大于工A3的长为半径画弧，两弧相交于点/、N,作直线MN,交

2

直线》于点C,连接AC,若Nl=40。，则/AC2的度数是（）

【考点】平行线的性质；线段垂直平分线的性质；作图一复杂作图

【分析】利用基本作图可判断MN垂直平分A2,则利用线段垂直平分线的性质得到CA=CB,

所以NC2A=/CAB=40。，进而可得结果.

【解答】M：'：a//b,

：.ZCBA=Z1=4Q°,

根据基本作图可知：垂直平分A8,

CA=CB,

：.ZCBA=ZCAB=40°,

：.ZACB=180°-2X40°=100°.

故选：C.

【点评】本题考查了作图一基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段;

作一个角等于已知角；作己知线段的垂直平分线；作己知角的角平分线；过一点作已知直线

的垂线）.也考查了线段垂直平分线的性质.

【例9】（2分）（2021•河北12/26）如图，直线/,机相交于点O.P为这两直线外一点，

且。尸=2.8.若点尸关于直线/，根的对称点分别是点尸1,尸2,则尸1,P2之间的距离可能是

.p】

m、

A.0B.5C.6D.7

【考点】线段垂直平分线的性质.

【分析】由对称得0P=OP=2.8,0P=。尸2=2.8,再根据三角形任意两边之和大于第三边,

即可得出结果.

【解答】解：连接0P1,OP2,P1P2,

:点尸关于直线/，根的对称点分别是点尸1,尸2,

：.OPi=OP=2.8,O尸=O尸2=2.8,

OPi+OPi>PiPi,

P1P2<5.6,

故选：B.

【点评】本题考查线段垂直平分线的性质，解本题的关键熟练掌握对称性和三角形边长的关

系.

【例10］（3分）（2021•青海5/25）如图，在四边形A8CZ）中，ZA=90°,AO=3,BC

=5,对角线平分NA8C,则△BCD的面积为（）

【考点】角平分线的性质.

【分析】过D点作。于E,如图，根据角平分线的性质得到。E=ZM=3,然后根据

三角形面积公式计算.

【解答】解：过。点作。EL8C于E,如图，

A

D

平分NA2C,DELBC,DALAB,

：.DE=DA=3,

：.丛BCD的面积=—x5x3=7.5.

2

故选：B.

【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

【例11】（10分）（2021•赤峰20/26）如图，在中，/ACB=90°,点。是斜边A8

上一点，且AC=AD.

（1）作N8AC的平分线，交BC于点E；（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）的条件下，连接。E,求证：DE1AB.

【考点】作图一基本作图

【分析】（1）利用基本作图作NBAC的平分线；

（2）证明aACE学TXADE得到NADE=NC=90°,从而得到DE_LA&

：.ZCAE=ZDAE,

在△&€1£和△ADE1中,

AC=AD

<ZCAE=ZDAE,

AE=AE

:.△ACEgAADE（SAS）,

AZADE=ZC=90°,

C.DELAB.

【点评】本题考查了作图一基本作图：熟练掌握基本作图（作已知角的角平分线）.也考查

了全等三角形的判定与性质.

知聚点4：平行线

知以点梳理

1.平行线的概念：

在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线.平行用符号“〃”表示，如,

读作“AB平行于CD”.

同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交或平行.

2.平行线公理及其推论：

平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.

推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.

3.平行线的判定：

平行线的判定公理：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行.简称：

同位角相等，两直线平行.

平行线的两条判定定理：

（1）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么两直线平行.简称：内错角相等，

两直线平行.

（2）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么两直线平行.简称：同旁内角

互补，两直线平行.

4.平行线的性质：

（1）两直线平行，同位角相等.

（2）两直线平行，内错角相等.

（3）两直线平行，同旁内角互补.

5.两平行线间的距离：

（1）定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平

行线之间的距离.（2）性质：两条平行线之间的距离处处相等.

典熨用题

【例12]（3分）（2019•河北省7/26）下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符

号代表的内容

A---------------7B

已知：如图，zBEC=zB-zC.幺

求证：ABIICD./

证明：延长BE交派于点ED尸C

贝！UBEC=_^_+NC（三角形的外角等于与它不相邻两个内角之

和）.

又NBEC=NB-NC得NB=▲.

故ABIICDC@相等,两直线平行）.

则回答正确的是（）

A.◎代表NFECB.@代表同位角

C.▲代表/斯CD.※代表A3

【考点】平行线的判定.

【分析】根据图形可知※代表CD即可判断。；根据三角形外角的性质可得◎代表/MC,

即可判断A；利用等量代换得出▲代表NE/C,即可判断C；根据图形已经内错角定义可知

@代表内错角.

【解答】证明：延长BE交C。于点R

则NBEC=NEFC+NC（三角形的外角等于与它不相邻两个内角之和）.

又NBEC=NB+NC,得/B=/EFC.

故AB〃cr）（内错角相等，两直线平行）.

故选：C.

【点评】本题考查了平行线的判定，三角形外角的性质，比较简单.

【例13]（4分）（2021•安徽5/23）两个直角三角板如图摆放，其中/54C=/EDE=90°,

ZE=45°,ZC=30°,AB与。尸交于点若BC〃EF,则的大小为（）

C.75°D.82.5°

【考点】平行线的性质；三角形内角和定理.

【分析】首先根据直角三角形两锐角互余可算出/产和的度数，再由“两直线平行，内

错角相等"，可求出NAffi小的度数，在中，利用三角形内角和可求出的度

数.

【解答】解：在△ABC和△£>£/中，NBAC=NEDF=90°,NE=45°,NC=30°,

ZB=90°-ZC=60°,

/尸=90°-/E=45°,

'：BC//EF,

：.ZMDB=ZF=45°,

在△BA®中，ZBM£>=180°-ZB-ZMDB=75°.

故选：C.

【点评】本题主要考查三角形内角和，平行线的性质等内容，根据图形，结合定理求出每个

角的度数是解题关键.

/>1

知疚点5：命题、定理、证明

知识南就理

*___________________________/

1.命题的概念：判断一件事情的语句，叫做命题.

2.命题的分类：按正确、错误与否分为：真命题和假命题.

所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题.

所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题.

3.互逆命题：一个命题的条件和结论分别为另一个命题的结论和条件的两个命题，称为互

逆命题，如果我们把其中一个命题称为原命题，那么另一个命题就是这个原命题

的逆命题.

4.公理：人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理.

5.定理：用推理的方法判断为正确的命题叫做定理.

6.互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么这个逆命题也可以称为原定

理的逆定理，一个定理和它的逆定理是互逆定理.

7.证明：判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明.

要鱼田题

【例14]（3分）（2019•安徽省12/23）命题“如果a+6=0,那么a,6互为相反数”的逆

命题为•

【考点】命题与定理.

【分析】根据互逆命题的定义写出逆命题即可.

【解答】解：命题“如果。+方=0,那么。，6互为相反数”的逆命题为：

如果。，。互为相反数，那么a+b=O；

故答案为：如果m6互为相反数，那么。+6=0.

【点评】本题考查的是命题与定理、互逆命题，掌握逆命题的确定方法是解题的关键.

【例15］（3分）（2019•泰州12/26）命题“三角形的三个内角中至少有两个锐角”是

（填“真命题”或“假命题”）.

【答案】真命题.

【解答】一个三角形如果是锐角三角形，则三个角都是锐角，如果是直角或钝角三角形，则

有两个角是锐角，.•.三角形的三个内角中至少有两个锐角是真命题.

巩宣训练

1.（3分）（2021•河北6/26）一个骰子相对两面的点数之和为7,它的展开图如图，下列判

断正确的是（）

2.（4分）（2020•重庆B卷2/26）围成下列立体图形的各个面中，每个面都是平的是（）

3.（3分）（2020•陕西2/25）若乙4=23。，则/A余角的大小是（）

A.57°B.67°C.77°D.157°

4.（3分）（2020•通辽4/26）如图，将一副三角尺按下列位置摆放，使/e和/力互余的摆放

方式是（

A.

D.

5.（3分）（2020•通辽13/26）如图,点O在直线AB上，NAOC=58。1728”.则N3OC的

度数是.

6.（3分）（2020•吉林11/26）如图,某单位要在河岸I上建一个水泵房引水到C处.他们的

做法是：过点C作CD，/于点。，将水泵房建在了。处.这样做最节省水管长度，其数学

道理是_________________

7.（3分）（2019•保定高阳县模拟）”植树时只要定出两棵树的位置，就能确定这一行树

所在的直线”，用数学知识解释其道理应是（）

A.两点之间，线段最短

B.两点确定一条直线

C.直线可以向两边延长

D.两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离

8.（3分）（2021•通辽7/26）如图，在RtZXABC中，ZACB=90°,根据尺规作图的痕迹，判

断以下结论错误的是（）

A.ZBDE=ZBACB.ZBAD=ZBC.DE=DCD.AE=AC

9.（3分）（2021•吉林11/26）如图，已知线段AB=2cv〃，其垂直平分线CD的作法如下:

（1）分别以点A和点3为圆心，be机长为半径画弧，两弧相交于C,。两点；

（2）作直线CD.

上述作法中。满足的条作为61.（填“>”或“=”）

10.（5分）（2025陕西17/26）如图，已知直线直线,分别与Z1、及交于点A、B.请

用尺规作图法，在线段A8上求作一点P,使点P到/1、/2的距离相等.（保留作图痕迹，

不写作法）

11.（3分）（2020•河北1/26）如图，在平面内作已知直线m的垂线，可作垂线的条数有（）

----------------------m

A.0条B.1条C.2条D.无数条

12.（3分）（2020•青海5/28）如图，△A8C中，AB=AC=14cm,AB的垂直平分线MN交AC

于点。，且△DBC的周长是24cm,贝ijBC=cm.

13.（3分）（2020•新疆兵团13/23）如图，在x轴，y轴上分别截取。4,OB,使。4=。8,

再分别以点A,8为圆心，以大于工4?长为半径画弧，两弧交于点P.若点尸的坐标为（a,

2

14.（4分）（2021•福建14/25）如图，AD是△ABC的角平分线.若NB=90。，BD=6则

点D到AC的距离是.

15.（3分）（2020•海南15/22）如图，在△ABC中，BC=9,AC=4,分别以点A、B为

圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M、N,作直线MN,交3C边于点。，

2

16.（3分）（2020•陕西17/25）如图，已知△ABC,AC>AB,NC=45。.请用尺规作图法,

在AC边上求作一点P,使4BC=45。.（保留作图痕迹，不写作法，答案不唯一）

17.（3分）（2020•宁夏14/26）如图，在△ABC中，ZC=84°,分别以点A、8为圆心，以

大于工45的长为半径画弧，两弧分别交于点M、N,作直线跖V交AC点O；以点8为圆

2

心，适当长为半径画弧，分别交BA、BC于点E、F,再分别以点瓦尸为圆心，大于!所

的长为半径画弧,两弧交于点P,作射线BP,此时射线族恰好经过点D,则/4=度.

18.（3分）（2020•河北6/26）如图1,已知NABC,用尺规作它的角平分线.

如图2,步骤如下，

第一步：以B为圆心，以。为半径画弧，分别交射线54,BC于点D,E-,

第二步：分别以E为圆心，以6为半径画弧，两弧在NABC内部交于点P；

第三步：画射线3P.射线3尸即为所求.

下列正确的是（）

E'E-C

第f第二步第三步

图2

A.a,均无限制a>0,b>—O回的长

2

C.。有最小限制，人无限制a..O,〃〈一。石的长

2

19.（3分）（2021•包头8/26）如图，直线4〃4,直线自交4于点A,交［于点3,过点3的

直线。交4于点若N3=5O。，Zl+Z2+Z3=240°,则N4等于（）

h

4)

43

B

A.80°B.70°C.60°D.50°

20.（4分）（2021•云南2/23）如图，直线。与直线〃、b都相交.若。〃44=55。，则N

2=（）

2

b

A.60°B.55°C.50°D.45°

21.（3分）（2021•河南5/23）如图，a//b,Zl=60°,则N2的度数为（）

22.（5分）（2021•新疆5/23）如图，直线DE过点A,^.DE//BC.若NB=60。，4=50。,

则N2的度数为（）

B.60°C.70°D.80°

23.（2分）（2021•青海14/25）如图，AB//CD,EFLDB,垂足为点E,Zl=50°,则/

24.（3分）（2020•海南6/22）如图，已知48〃CD,直线AC和8。相交于点E,若ZABE=70°,

ZACD=40°,则NAEB等于（）

C.70°D.80°

25.（3分）（2020•兴安盟•呼伦贝尔6/26）如图，直线AB//CD,AELCE于点E,若

Z£AB=120°,则NECO的度数是（

C.150°D.160°

26.（3分）（2020•河南4/23）如图,4/%，l3//l4,若Nl=70。，则N2的度数为（

C.120°D.130°

27.（3分）（2020•新疆兵团10/23）如图，若AB〃CD,ZA=110°,贝U/l=

28.（2分）（2020•北京16/28）如图是某剧场第一排座位分布图.甲、乙、丙、丁四人购票，

所购票数分别为2,3,4,5.每人选座购票时，只购买第一排的座位相邻的票，同时使自己

所选的座位号之和最小，如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序购票，那么甲购买1,2号

座位的票，乙购买3,5,7号座位的票，丙选座购票后，丁无法购买到第一排座位的票.若

丙第一个购票，要使其他三人都能购买到第一排座位的票，写出一种满足条件的购票的先后

顺序.

舞台

I/I/'I/I/、I/、I/、I/\I/I/\I/\I/I/1、I■?、I/\I/I

巩固别练解折

1.（3分）（2021•河北6/26）一个骰子相对两面的点数之和为7,它的展开图如图，下列判

断正确的是（）

f

【考点】专题：正方体相对两个面上的文字.

【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点对各选项

分析判断后利用排除法求解.

【解答】解：根据正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，

A与点数是1的对面，B与点数是2的对面，C与点数是4的对面，

:骰子相对两面的点数之和为7,

，A代表的点数是6,B代表的点数是5,C代表的点数是4.

故选：A.

【点评】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体是空间图形，从相对面入

手，分析及解答问题.

2.（4分）（2020•重庆B卷2/26）围成下列立体图形的各个面中，每个面都是平的是（）

【解答】解：A、六个面都是平面，故本选项正确;

B、侧面不是平面，故本选项错误；

C、球面不是平面，故本选项错误；

D、侧面不是平面，故本选项错误；

故选：A.

【点评】本题考查的是立体图形的认识，掌握平面与曲面的概念是解题的关键.

3.（3分）（2020•陕西2/25）若/4=23。，则/A余角的大小是（）

A.57°B.67°C.77°D.157°

【考点】余角和补角

【分析】根据/A的余角是90。-/4代入求出即可.

【解答】解：；NA=23。，

ZA的余角是90°-23°=67°.

故选：B.

【点评】本题考查了互余的应用，注意：如果NA和/8互为余角，那么/4=90。-/艮

4.（3分）（2020•通辽4/26）如图，将一副三角尺按下列位置摆放，使/a和/月互余的摆

放方式是（）

【考点】余角和补角

【分析】根据余角和补角的概念、结合图形进行判断即可.

【解答】解：A./a与“互余，故本选项正确；

B.Na=N£,故本选项错误；

C.Za=Z^,故本选项错误；

D.N&与/月互补，故本选项错误，

故选：A.

【点评】本题考查了余角和补角，是基础题，熟记概念与性质是解题的关键.

5.（3分）（2020•通辽13/26）如图，点O在直线至上，NAOC=58。1728〃.则NBOC的

度数是121°42'32''.

c

【考点】度分秒的换算；角的概念

【分析】依据邻补角的定义，即可得到NBOC的度数.

【解答】解：,点O在直线AB上，且NAOC=58/728”,

ZBOC=180O-ZAOC=180°-58°1728"=121°4232”,

故答案为：121。4232”.

【点评】本题主要考查了邻补角的定义.解题的关键是掌握邻补角的定义：如果两个角互为

邻补角，那么它们的和为180。.

6.（3分）（2020•吉林11/26）如图，某单位要在河岸/上建一个水泵房引水到C处.他们的

做法是：过点C作CD，/于点将水泵房建在了。处.这样做最节省水管长度，其数学

道理是垂线段最短.

【考点】垂线段最短

【分析】根据垂线段的性质解答即可.

【解答】解：过点C作CD，/于点。，将水泵房建在了。处.这样做最节省水管长度，其

数学道理是垂线段最短.

故答案为：垂线段最短.

【点评】本题考查了垂线段的定义和性质.解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决

实际问题.

7.（3分）（2019•保定高阳县模拟）“植树时只要定出两棵树的位置，就能确定这一行树

所在的直线”，用数学知识解释其道理应是（）

A.两点之间，线段最短

B.两点确定一条直线

C.直线可以向两边延长

D.两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离

【答案】B.

【解答】“植树时只要定出两棵树的位置，就能确定这一行树所在的直线”，用数学知识解

释其道理是“两点确定一条直线”.故答案为B.

8.（3分）（2021•通辽7/26）如图，在RtZ\A3C中，ZACB=9Q°,根据尺规作图的痕迹,

判断以下结论错误的是（）

A.NBDE=ZBACB.ZBAD=ZBC.DE=DCD.AE=AC

【考点】作图一基本作图

【分析】由尺规作图的痕迹可得，DELAB,AD是N3AC的平分线，根据同角的余角相等

可判断A,根据角平分线的性质可判断C,证得RtZXAEZ运RtZXACD可判定D,由于QE不

是AB的垂直平分线，不能证明

【解答】解：根据尺规作图的痕迹可得，DELAB,AD是㈤。的平分线，

ZC=90°,

:.DE=DC,ZB+ZBDE=ZB+ZBAC=9Q°,

:.ZBDE=ZBAC,

在RtAAED和RtAACD中，

[AD=AD

\DE=DC'

.■.RtAAED^RtAACD（HL）,

AE=AC,

DE不是AB的垂直平分线，故不能证明=

综上所述：A,C,D不符合题意，B符合题意，

故选：B.

【点评】本题考查作图-基本作图，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，直角三角

形的性质，解题的关键是根据尺规作图的痕迹可判断出DELAB,AD是N54c的平分线.

9.（3分）（2021•吉林11/26）如图，已知线段AB=2c〃z,其垂直平分线CD的作法如下：

（1）分别以点A和点3为圆心，be：”长为半径画弧，两弧相交于C,D两点;

（2）作直线CD.

上述作法中6满足的条作为》＞1.（填“〈”或“=”）

c

A----------------------B

【考点】线段垂直平分线的性质；作图一基本作图

【分析】作图方法为以A,5为圆心，大于长度画弧交于C,。两点.

2

【解答】解：AB=2cm,

/.半径Z?长度〉LAB，

2

即6>1cm.

故答案为：>.

【点评】本题考查线段的垂直平分线尺规作图法，解题关键是掌握线段垂直平分线的作图方

法.

10.（5分）（2021•陕西17/26）如图，已知直线/1〃勿直线，3分别与4、，2交于点A、B.请

用尺规作图法，在线段AB上求作一点P,使点P到&h的距离相等.（保留作图痕迹,

不写作法）

【考点】平行线之间的距离；线段垂直平分线的性质；作图一基本作图.

【分析】作线段A8的垂直平分线得到线段A8的中点，则中点为尸点.

【解答】解：如图，点尸为所作.

【点评】本题主要考查了作图-基本作图.理解两平行线间的距离是解决问题的关键.

11.（3分）（2020•河北1/26）如图，在平面内作已知直线机的垂线，可作垂线的条数有（）

----------------------m

A.0条B.1条C.2条D.无数条

【考点】垂线

【分析】根据垂直、垂线的定义，可直接得结论.

【解答】解：在同一平面内，与已知直线垂直的直线有无数条，

所以作己知直线m的垂线，可作无数条.

故选：D.

【点评】本题考查了垂直和垂线的定义.掌握垂线的定义是解决本题的关键.

12.（3分）（2020•青海5/28）如图，△ABC中，A5=AC=14cm,A3的垂直平分线MN交

AC于点O,且△O8C的周长是24cm,贝！）5C=cm.

【考点】线段垂直平分线的性质

【分析】由边AB的垂直平分线与AC交于点D,故AD=BD,于是将△DBC的周长转化为

与边长AC的和来解答.

【解答】解：：CADBL24cm,

BD+DC+BC=2Acm①，

又：MN垂直平分A3,

：.AD=BD®,

将②代入①得：AD+DC+BC=24cm,

即AC+BC=24cm,

又；AC=14cm,

.•.BC=24-14=10cm.

故填10.

【点评】本题考查了垂直平分线的性质；此题将垂直平分线的性质与三角形的周长问题相结

合，体现了转化思想在解题时的巨大作用.

13.（3分）（2020•新疆兵团13/23）如图，在x轴，y轴上分别截取Q4,OB,使。4=05,

再分别以点A,8为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点P.若点尸的坐标为（a,

2

2a-3）,则a的值为.

y

【考点】坐标与图形性质

【分析】根据作图方法可知点P在/2。4的角平分线上，由角平分线的性质可知点P到x

轴和y轴的距离相等，结合点尸在第一象限，可得关于。的方程，求解即可.

【解答】解：•••。4=。8,分别以点A,8为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点

2

P,

点尸在N8Q4的角平分线上，

点尸至（Jx轴和y轴的距离相等，

又；点尸在第一象限，点P的坐标为（a,2所3）,

••。二2。-3,

a=3.

故答案为：3.

【点评】本题考查了角平分线的作法及其性质在坐标与图形性质问题中的应用，明确题中的

作图方法及角平分线的性质是解题的关键.

14.（4分）（2021•福建14/25）如图，AD是△ABC的角平分线.若NB=9O。，BD=6,

则点。到AC的距离是—也

【考点】角平分线的性质

【分析】由角平分线的性质可求。石=20=若，即可求解.

【解答】解：如图，过点。作DE_LAC于E,

AD是△A8C的角平分线.ZB=90°,DEYAC,

:.DE=BD=#>,

.•.点。到AC的距离为6，

故答案为出■

【点评】本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角的两边距离相等是解题的关

键.

15.（3分）（2020•海南15/22）如图，在△ABC中，BC=9,AC=4,分别以点A、B为

圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M、N,作直线交BC边于点。，

2

连接AD,则△ACD的周长为13.

【考点】线段垂直平分线的性质；作图—基本作图

【分析】根据作图过程可得，是AB的垂直平分线，所以得也=班>,进而可得△ACD

的周长.

【解答】解：根据作图过程可知：是9的垂直平分线，

:.AD=BD,

；.△ACD的周长MAD+OC+ACMBD+OC+ACMgC+ACng+dnlS.

故答案为：13.

【点评】本题考查了作图-基本作图、线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握线段

垂直平分线的性质.

16.（3分）（2020•陕西17/25）如图，已知△ABC,AOAB,NC=45。.请用尺规作图法，

在AC边上求作一点P,使NMC=45。.（保留作图痕迹，不写作法，答案不唯一）

【考点】作图—基本作图

【分析】根据尺规作图法，作一个角等于已知角，在AC边上求作一点P,使NPFC=45。即

可，或作5c的垂直平分线交AC于点尸

【解答】解：如图，点P即为所求.

【点评】本题考查了作图-基本作图，解决本题的关键是掌握基本作图方法.

17.（3分）（2020•宁夏14/26）如图，在△ABC中，ZC=84°,分别以点A、3为圆心，以

大于工钻的长为半径画弧，两弧分别交于点M、N,作直线交AC点D;以点B为圆

2

心，适当长为半径画弧，分别交54、BC于点E、尸，再分别以点E、尸为圆心，大于LEF

2

的长为半径画弧，两弧交于点P,作射线3P,此时射线的恰好经过点。，则/4=32

度.

【考点】线段垂直平分线的性质；作图-复杂作图

【分析】由作图可得是线段AB的垂直平分线，班）是4BC的平分线，根据它们的性

质可得NA=NABD=NCBD,再根据三角形内角和定理即可得解.

【解答】解：由作图可得，是线段9的垂直平分线，5D是NABC的平分线，

:.AD=BD,ZABD=ZCBD=-ZABC,

2

:.ZA=ZABD,

:.ZA=ZABD=ZCBD,

ZA+ZABC+Z,C=180°,且NC=84°,

ZA+2ZABD=180°-ZC,

即3ZA=180°-84°,

:.ZA=32°.

故答案为：32.

【点评】本题考查了作图-复杂作图，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的作法和角平

分线的作法.

18.（3分）（2020•河北6/26）如图1,已知NABC,用尺规作它的角平分线.

如图2,步骤如下，

第一步：以B为圆心，以。为半径画弧，分别交射线54,BC于点D,E；

第二步：分别以E为圆心，以6为半径画弧，两弧在NABC内部交于点P；

第三步：画射线3P.射线3P即为所求.

下列正确的是（）

B/B]fB空■f垄