1.2极限(部编)课件

河北工业职业技术学院高等数学主讲人

宋从芝

本讲概要函数的极限1.2极限数列的极限无穷小量与无穷大量极限的运算无穷小量的比较当x→∞时，函数

f(x)的极限当x→

时，函数

f(x)的极限一、函数的极限1.当x→∞时，函数f(x)的极限考察以下两个函数:OO1定义

当x→∞时，f(x)→A或

如果当x的绝对值无限增大时，即x→∞时，函数

f(x)无限接近于一个确定的常数A，则称常数A为f(x)当x→∞时的极限，记为0单向极限由图像可知定理若与中至少有一个不存在或两个极限存在但不相等，则不存在．

O

（0,1）图1-10例例当x→1时，f(x)→？20考察函数2.当x→

x0时，函数

f(x)的极限1当x→1时，函数f(x)的值无限趋近于常数2

如果x无限接近于x0时，即x→x0(x≠x0)时，函数f(x)无限趋近于一个确定的常数A，则称常数A为函数f(x)当x→x0时的极限，记为定义

f(x)在x→x0时的极限是否存在，与f(x)在当x→x0时，f(x)→A或注意：点x0处有无定义以及在x0点处函数值的大小无关。两个常用极限3.当x→x0时，函数f(x)的左、右极限

如果当x→x0-（x→x0+）时，函数f(x)无限接近于一个确定的常数A，则称常数A为函数

f(x)当x→x0时的左(右)极限，记作或当x→x0-时，f(x)→A当x→x0+时，f(x)→A定义

定理

函数

f(x)当x→x0时极限存在的充要条件是左极限与右极限均存在且相等，即例

讨论函数当时的极限.例证明函数当时的极限不存在.证当时的左极限而右极限因为左极限和右极限存在但不相等,所以不存在.yOx-11练习∵左极限等于右极限解∴1.数列的概念

自变量为正整数的函数xn=f(n)，将其函数值按自变量n由小到大排成一列数

x1

,

x2

,

x3

,…

,xn

,…称为数列，简记为{xn}，其中xn称为数列的通项或一般项。二、数列的极限图102图201例如

如果当n无限增大,即n→∞时，数列{xn}无限接近于一个确定的常数A,则称常数A为数列{xn}的极限,记为若数列有极限，则称数列是收敛的。当n→∞时，xn→A或若数列没有极限，则称数列是发散的。定义

2.数列极限的定义观察下面数列当ｎ无限增大时的变化趋势例例

极限为零的函数称为无穷小量，简称为无穷小常用表示。1.无穷小量三、无穷小量与无穷大量定义

(2)无穷小量是极限为零的变量，绝不能把任何一个绝对值很小的常数说成无穷小，如0.0000001是常数，不是无穷小。只有０是可看成无穷小的常数；(1)说一个函数是无穷小，必须指明自变量的变化趋势；注意：

2.无穷小的性质

在自变量的同一变化过程中性质1

有限个无穷小的代数和仍为无穷小。性质3

有限个无穷小的乘积仍是无穷小。性质2

有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。

特别地，常数与无穷小的乘积是无穷小。例3.无穷大量

如果当x→x0（或x→∞）时，函数f(x)的绝对值无限增大，则称函数f(x)为当x→x0（或x→∞）时的无穷大量，简称无穷大,记为当x→x0（或x→∞）时，f(x)→∞或定义

例1-10（1）属于极限不存在的情形（2）无穷大是变量。很大的常数不是无穷大，

如1000000；（3）说一个函数是无穷大，必须指明自变量

的变化趋势。注意：4.无穷大量与无穷小量的关系定理例观察下列函数哪些是无穷大？011.极限的运算法则（1）（2）（3）假设四、极限的运算特别地注意：（2）“除法公式中，分母B≠0”

（1）“极限存在”（3）推广：有限个解运用法则可得:例能代则代解由于分母极限为0，不能带入,不能用法则。例由无穷小量与无穷大量的关系可知，无穷小再看看分子呢？取倒数例解由于分母极限为0，不能带入，不能用法则。再看看分子呢？

约去无穷小量因子例

.解

分子、分母都趋于无穷大.

例结论：

若an

0，bm

0，m、n

为正整数，看次数“

-”型极限,不能用法则

例

解

先通分通分例解无穷和求和例解无穷小×有界函数0无穷小量的性质2．具有极限的函数与无穷小的关系

定理说明具有极限的函数等于它的极限与一个无穷小之和．反之，如果函数可表示为一个常数与无穷小之和，则这个常数为该函数的极限．定理3

总结极限的计算方法（1）（2）（3）（4）“-”（5）

（6）“无穷和”能代则代(7)无穷小×有界函数取倒数约去无穷小量因子(因式分解、有理化)看次数通分求和无穷小性质

五、无穷小量的比较定义

设α和β都是在自变量的同一变化过程中无穷小．又也是在这个变化过程中的极限．①如果，就说β是α的高阶无穷小；②如果，就说β是α的低阶无穷小；③如果（C≠0），就说β与α是同阶无穷小；④如果，则β与α是等价无穷小，记为α

～

β．例