【高考真题】2024年数学新课标Ⅰ卷

【高考真题】2024年数学新课标Ⅰ卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。1．已知集合A＝{x|﹣5＜x3＜5}，B＝{﹣3，﹣1，0，2，3}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0} B．{2，3}C．{﹣3，﹣1，0} D．{﹣1，0，2}2．若zz−1=1+i，则A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i3．已知向量a＝（0，1），b＝（2，x），若b⊥(bA．﹣2 B．﹣1 C．1 D．24．已知cos（α+β）＝m，tanαtanβ＝2，则cos（α﹣β）＝（）A．﹣3m B．−m3 C．m35．已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为3，则圆锥的体积为（）A．23π B．33π C．6．已知函数为f(x)A．（﹣∞，0] B．[﹣1，0] C．[﹣1，1] D．[0，+∞）7．当x∈[0，2π]时，曲线y＝sinx与y＝2sin（3x﹣π6A．3 B．4 C．6 D．88．已知函数为f（x）的定义域为R，f（x）＞f（x﹣1）+f（x﹣2），且当x＜3时，f（x）＝x，则下列结论中一定正确的是（）A．f（10）＞100 B．f（20）＞1000C．f（10）＜1000 D．f（20）＜10000二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分。每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分。9．为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值x＝2.1，样本方差s2＝0.01，已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N（1.8，0.12），假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N（x，s2），则（）（若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（Z＜μ+σ）≈0.8413）A．P（X＞2）＞0.2 B．P（X＞2）＜0.5C．P（Y＞2）＞0.5 D．P（Y＞2）＜0.810．设函数f（x）＝（x﹣1）2（x﹣4），则（）A．x＝3是f（x）的极小值点B．当0＜x＜1时，f（x）＜f（x2）C．当1＜x＜2时，﹣4＜f（2x﹣1）＜0D．当﹣1＜x＜1时，f（2﹣x）＞f（x）11．造型∝可以做成美丽的丝带，将其看作图中的曲线C的一部分，已知C过坐标原点O，且C上的点满足横坐标大于﹣2，到点F（2，0）的距离与到定直线x＝a（a＜0）的距离之积为4，则（）A．a＝﹣2B．点(22,C．C在第一象限的纵坐标的最大值为1D．当点（x0，y0）在C上时，y三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。12．设双曲线C：x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于y轴的直线交C与A，B两点，若|F13．若曲线y＝ex+x在点（0，1）处的切线也是曲线y＝ln（x+1）+a的切线，则a＝．14．甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后轮次中不能使用）．则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为．四、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinC＝2cosB，a2+b2﹣c2＝2ab（1）求B；（2）若△ABC的面积为3+3，求c．16．已知A（0，3）和P（3，32）为椭圆C：x2a2+（1）求C的离心率；（2）若过P的直线l交C于另一点B，且△ABP的面积为9，求l的方程．17．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝AC＝2，BC＝1，AB＝3．（1）若AD⊥PB，证明：AD∥平面PBC；（2）若AD⊥DC，且二面角A﹣CP﹣D的正弦值为427，求AD18．已知函数f（x）＝lnx2−x+ax+b（x﹣1）3（1）若b＝0，且f'（x）≥0，求a的最小值；（2）证明：曲线y＝f（x）是中心对称图形；（3）若f（x）＞﹣2当且仅当1＜x＜2，求b的取值范围．19．设m为正整数，数列a1，a2，…，a4m+2是公差不为0的等差数列，若从中删去两项ai和aj（i＜j）后剩余的4m项可被平均分为m组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列a1，a2…，a4m+2是（i，j）——可分数列．（1）写出所有的（i，j），1≤i＜j≤6，使数列a1，a2，…，a6是（i，j）——可分数列；（2）当m≥3时，证明：数列a1，a2，…，a4m+2是（2，13）——可分数列；（3）从1，2，…，4m+2中一次任取两个数i和j（i＜j），记数列a1，a2，…，a4m+2是（i，j）——可分数列的概率为Pm，证明：Pm＞18

答案解析部分1．【答案】A2．【答案】C3．【答案】D4．【答案】A5．【答案】B6．【答案】B7．【答案】C8．【答案】B9．【答案】B,C10．【答案】A,C,D11．【答案】A,B,D12．【答案】3213．【答案】ln214．【答案】1215．【答案】（1）解：∵a2+b2﹣c2＝2ab．

由余弦定理：a2+b2−c2=2abcosC，

∴2cosC=2，即cosC=22，

又∵C∈(0,π)，

∴C=π4，

又∵（2）解：如下图所示，过点A作AD⊥BC，

由(1)得，B=π3，C=π4，

设BD=t，则CD=AD=3t，c=AB=2t，

则S∆ABC=12×BC×AD=116．【答案】（1）解：由椭圆C：x2a2+y2b2＝1（a＞b＞0）经过A（0，3），

∴b=3，即b2=9，

代入点P（3，32）得，

9a2（2）解：由(1)得椭圆C：x212+y29=1，

由A（0，3）和P（3，32），

∴AP=(3−0)2+32−32=352，kAP=3−320−3=−12，

∴直线AP的解析式为y=−12x+3，即x+2y-6=0，

设点B到直线AP的距离为d，

∴S∆ABP=12×352d=917．【答案】（1）证明：∵AC＝2，BC＝1，AB＝3，即AC2=BC2+AB2，

∴AB⊥BC，

∵PA⊥底面ABCD，

∴PA⊥AD，

又∵AD⊥PB，PA∩PB=B，

∴AD⊥平面PAB，

∴AD⊥AB，

∴AD∥BC，

（2）解：过点A作AE⊥CP，AF⊥DP，垂足分别为点E，F，连接EF，

∵AD⊥DC，AP⊥底面ABCD，

∴PA⊥CD，PA⊥AC，

又∵PA∩AD=A，

∴CD⊥平面PAD，

又∵AF⊂平面PAD，

∴CD⊥AF，

又∵CD∩DP=D，

∴AF⊥平面CDP，

同理AF⊥EF，∠AEF即为二面角A﹣CP﹣D的夹角，

∵PA=PC=2，

∴AE=12CP=2，

sin∠AEF=AFAE=AF2=427，解得AF=2217，

设AD=t，则DP=4+t2，

∴在Rt△PAD中，由18．【答案】（1）解：当b=0时，此时函数f（x）＝lnx2−x+ax=lnx−ln(2−x)+ax，其中0<x<2，

此时f'x=1x+12−x+a=2x(2−x)+a，

由f'（x）≥0，

故2x(2−x)+a≥0，即a≥2x(x−2)，

由x(x−2)=(x−1)2−1

故当（2）证明：由f（x）＝lnx2−x+ax+b（x﹣1）3，其中0<x<2，

∴f1−x+f1+x（3）解：由f（x）＝lnx2−x+ax+b（x﹣1）3在0<x<2上连续，

且当且仅1＜x＜2时f（x）＞﹣2，即当0＜x＜1时f（x）<﹣2，

由(2)得，函数f（x）关于(1，a)成中心对称图形，

故可推出a=-2.

此时f（x）＝lnx2−x-2x+b（x﹣1）3＞﹣2在1＜x＜2恒成立，

故g（x）＝lnx2−x-2(x-1)+b（x﹣1）3＞0在1＜x＜2恒成立，此时g（1）=0，

∴g'x=2x(2−x)−2+3b(x−1)2=x−122x(2−x)+3b，此时g'1=0.

此时设ℎx=2x(2−x)+3b，

由复合函数单调性可知，x(2-x)在1＜x＜2上单调递减，则2x(2−x)在1＜x＜2上单调递增，

ℎx=2x(2−x)+3b在1＜x＜2上单调递增，

则ℎxmin=ℎ1=2+3b，

①若2+3b≥0，即b≥−23，

故此时当1＜x＜2，h(x)≥0，g'x≥0，

又∵g'1=0，

∴g（x）在1＜x＜2上单调递增，

∴g(x)min>g1，且g（1）=0，即g(x)>0，

故g（x）＝lnx2−x-2(x-1)+b（x﹣1）3＞0在1＜x＜2恒成立，即f（x）＞﹣2恒成立；19．【答案】（1）解：等差数列a1，a2，…，a6删去两项后，余下4项成等差数列，此时剩下的数列若想构成数列，必然是公差为d的数列，

即可能的情况为a1，a2，a3，a4或a2，a3，a4，a5，或a3，a4，a5，a6，

故删去的两项（i，j）可以为（5，6），（1，6），（1，2）（2）证明：依题意得，数列a1，a2，…，a4m+2是（2，13）——可分数列，

即a1，a3，a4，…，a10，a11，a13，a14，a4m+2，易分析连续的四项为等差数列，

即a14，a15，，a4m+2，后共有(4m-12)连续项，此时必然构成等差数列，

即证得a1，a3，a4，…，a10，a11，a13，a14，为等差数列，则数列a1，a2，…，a4m+2是（2，13）——可分数列，

通过分析可知，可以按照a1，a4，a7，a10，a3，a6，a9，a（3）证明：按如下两种方式进行选取（i，j），1≤i＜j≤4m+2，且i，j∈Z∗，

①原数列除去ai，aj外，所有连续的部分为4的倍数，此时数列分组的公差为d.

1)当j-i=1时，即（i，j）为（1，2），（5，6），（4m+1，4m+2），共(m＋1)种；

2)当i=1时，j=4k＋2，即（i，j）为（1，6），（1，10），（1，4m+2），k=1，2，3，.…，m，共m种；

3)当i=5时，j=4k＋6，即（i，j）为（5，10），（5，14），（5，4m+2），k=1，2，3，.…，(m-1)，共m种；

4)当i=4m-3时，j=4m+2，即（4m-3，4m+2），共1种；

综上，共有(m+2)(m+1