高一数学教材同步知识点专题详解(苏教版必修第一册)5.2函数的表示方法(原卷版+解析)

5.2函数的表示方法TOC\o"1-4"\h\z\u5.2函数的表示方法 1知识框架 1一、基础知识点 1知识点1函数的表示方法 3知识点2分段函数 5二、典型题型 8题型1求函数解析式 10题型2分段函数的求值问题 12三、难点题型 12题型1已知分段函数的值求参数或自变量 15题型2分段函数的值域或最值 17四、活学活用培优训练 29一．基础知识点知识点1函数的表示方法例1设已知函数如下表所示：12345543215432143215则不等式的解集为（

）A． B． C． D．例2（多选题）一水池有2个进水口，1个出水口，每个进水口的进水速度如图甲所示，出水口的出水速度如图乙所示．已知某天0点到6点，该水池至少打开一个水口，且水池的蓄水量如图丙所示，则下列判断正确的有（

）A．点到点只打开了两个进水口 B．点到点三个水口都打开C．点到点只打开了一个出水口 D．点到点至少打开了一个进水口例3已知函数．(1)分别计算，的值．(2)由（1）你发现了什么结论？并加以证明．(3)利用（2）中的结论计算的值．知识点2分段函数(1)在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式．像这样的函数，通常叫做分段函数．(2)分段函数定义域是各段定义域的并集，其值域是各段值域的并集．(3)分段函数图象：画分段函数的图象，应在各自定义域之下画出定义域所对应的解析式的图象．分段函数是一个函数，因此应在同一坐标系中画出各段函数图象．例1若，则的最小值是A．0 B．1 C．3 D．不存在例2（多选题）具有性质的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，给出下列函数，其中满足“倒负”变换的函数是（

）A． B．C． D．例3已知函数，.(1)求，，的值；(2)若，求实数a的值.二．典型题型题型1求函数解析式解题技巧：求函数解析式的常用方法(1)待定系数法：已知函数f(x)的函数类型，求f(x)的解析式时，可根据类型设出其解析式，将已知条件代入解析式，得到含待定系数的方程(组)，确定其系数即可．(2)换元法：令t＝g(x)，注明t的范围，再求出f(t)的解析式，然后用x代替所有的t即可求出f(x)，一定要注意t的范围即为f(x)中x的范围．(3)配凑法：已知f(g(x))的解析式，要求f(x)时，可从f(g(x))的解析式中拼凑出“g(x)”，即用g(x)来表示，再将解析式两边的g(x)用x代替即可．(4)代入法：已知y＝f(x)的解析式求y＝f(g(x))的解析式时，可直接用新自变量g(x)替换y＝f(x)中的x.(5)方程组法(消去法)，适用于自变量具有对称规律的函数表达式，如：互为倒数eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(fx，f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))))，互为相反数(f(－x)，f(x))的函数方程，通过对称构造一个对称方程组，解方程组即可．在构造对称方程时，一般用eq\f(1,x)或－x替换原式中的x即可．例1已知是一次函数，，，则（

）A． B． C． D．例2（多选题）若函数，则（

）A． B．C． D．例3（1）已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式；（2）已知，求函数的解析式；（3）已知是R上的函数，，并且对任意的实数x，y都有，求函数的解析式.题型2分段函数的求值问题解题技巧：1．分段函数求函数值的方法(1)确定要求值的自变量属于哪一段区间．(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值．2．已知函数值求字母取值的步骤(1)先对字母的取值范围分类讨论．(2)然后代入不同的解析式中．(3)通过解方程求出字母的值．(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内．例1已知函数，则（

）A．0 B． C． D．1例2（多选题）已知函数的图象由如图所示的两条线段组成，则有（

）A．函数在区间上的最大值为2B．C．D．，不等式的解集为例3已知函数的解析式.(1)求；(2)若，求a的值；(3)画出的图象，并写出函数的值域（直接写出结果即可）.三．难点题型题型1已知分段函数的值求参数或自变量解题技巧：1．分段函数求函数值的方法(1)确定要求值的自变量属于哪一段区间．(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值．2．已知函数值求字母取值的步骤(1)先对字母的取值范围分类讨论．(2)然后代入不同的解析式中．(3)通过解方程求出字母的值．(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内．例1已知函数若，则实数（

）A．－5 B．5 C．－6 D．6例2（多选题）已知函数，若，则的值可能是（

）A． B．3 C． D．5例3已知函数(1)求，，的值；(2)若，求实数a的值；(3)若，求实数m的取值范围．题型2分段函数的值域或最值解题技巧：例1函数的值域为（

）A． B．C． D．例2（多选题）若函数存在最大值，则实数a可能的值是（

）A． B． C．1 D．2例3求函数在－的最值.四．活学活用培优训练一、单选题1．已知函数，若，则（

）A． B．6 C． D．2．设是非空集合，且，定义在上的函数的值域为（

）A． B． C． D．以上都不对3．已知函数，关于函数的结论正确的是（

）A． B．的值域为C．的解集为 D．若，则x的值是1或4．函数（

）A．的最小值为0，最大值为3 B．的最小值为，最大值为0C．的最小值为，最大值为3 D．既无最小值，也无最大值5．已知定义在R上的函数f(x)=x+1，g(x)=（x+1）2，，用M(x)表示f(x)，g(x)中的较大者，记为M(x)=max{f(x)，g(x)}，则M(x)的最小值为（

）A．-1 B．0 C．1 D．26．函数，则的最大值和最小值分别为（

）A．10，6 B．10，8 C．8，6 D．10，77．已知，，且，则的最值情况是（

）A．有最大值 B．有最小值C．无最小值 D．无最大值8．下列函数中值域为的有（

）A． B．C． D．9．已知函数，关于函数的结论正确的是（

）A．的定义域为B．的值域为C．若，则的值是D．的解集为三、填空题10．狄利克雷函数是高等数学中的一个典型函数，若，则称为狄利克雷函数.对于狄利克雷函数，给出下面4个命题：其中真命题的有_________①．对任意，都有②．对任意，都有③．对任意，都存在，④．若，，则有11．若的解集为，则实数c的范围为______．12．若关于的方程的解集为空集，求实数的取值范围______(区间表示).四、解答题13．设函数，且.(1)求的解析式；(2)写出函数具有的性质（至少两个，不用证明）.14．已知函数．(1)用分段函数的形式表示函数f(x)；(2)画出函数f(x)的图象，并写出函数f(x)的值域．15．已知函数.(1)画出函数的图像并写出它的值域；(2)若，求x的取值范围；5.2函数的表示方法TOC\o"1-4"\h\z\u5.2函数的表示方法 1知识框架 1一、基础知识点 1知识点1函数的表示方法 3知识点2分段函数 4二、典型题型 5题型1求函数解析式 7题型2分段函数的求值问题 9三、难点题型 9题型1已知分段函数的值求参数或自变量 10题型2分段函数的值域或最值 12四、活学活用培优训练 25一．基础知识点知识点1函数的表示方法例1设已知函数如下表所示：12345543215432143215则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】代入，根据表格，依次验证即可【详解】由题意，当时，，不满足；当时，，满足；当时，，满足；当时，，满足；当时，，不满足；故不等式的解集为故选：C例2（多选题）一水池有2个进水口，1个出水口，每个进水口的进水速度如图甲所示，出水口的出水速度如图乙所示．已知某天0点到6点，该水池至少打开一个水口，且水池的蓄水量如图丙所示，则下列判断正确的有（

）A．点到点只打开了两个进水口 B．点到点三个水口都打开C．点到点只打开了一个出水口 D．点到点至少打开了一个进水口【答案】ACD【分析】由甲、乙图知：每个进水口进水速度为，每个出水口出水速度为，再分析丙图中点到点、点到点、点到点的蓄水量的变化可得进水口和出水口的打开情况，即可得正确选项.【详解】由甲、乙图知：每个进水口进水速度为，每个出水口出水速度为，对于A：由丙图知：点到点蓄水量增加，所以只打开了两个进水口，只进水不出水，故选项A正确；对于B：点到点蓄水量不变，说明三个水口都打开进出一样多蓄水量不变，故选项B正确；对于C：点到点蓄水量减少，说明每个小时减少，所以打开了一个进水口和一个出水口，故选项C不正确；对于D：由选项ABC的分析可知，点到点至少打开了一个进水口，故选项D正确；故选：ACD.例3已知函数．(1)分别计算，的值．(2)由（1）你发现了什么结论？并加以证明．(3)利用（2）中的结论计算的值．【答案】(1)，(2)结论；证明见解析(3)【分析】（1）根据函数的解析式，代入计算，即可求解；（2）根据函数的解析式，代入运算，即可得到；（3）根据，结合分组求和，即可求解.(1)解：由题意，函数，，．(2)解：由（1），得结论．证明如下：由．(3)解：由．知识点2分段函数(1)在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式．像这样的函数，通常叫做分段函数．(2)分段函数定义域是各段定义域的并集，其值域是各段值域的并集．(3)分段函数图象：画分段函数的图象，应在各自定义域之下画出定义域所对应的解析式的图象．分段函数是一个函数，因此应在同一坐标系中画出各段函数图象．例1若，则的最小值是A．0 B．1 C．3 D．不存在【答案】B【分析】根据分段函数特征，画出函数图象，集合图象即可求得最小值．【详解】由可知，该函数为取较大值函数画出函数的图象如图所示：由图象可知，最小值为当所以此时所以最小值为所以选B【点睛】本题考查了函数图象的综合应用，利用图象求函数的最值，属于基础题．例2（多选题）具有性质的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，给出下列函数，其中满足“倒负”变换的函数是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】对于选项A、B、D，代入化简判断即可；对于选项C，分类讨论再化简判断即可．【详解】对于选项A，f（）x，﹣f（x）x，故满足“倒负”变换；对于选项B，f（）x，﹣f（x）x，故不满足“倒负”变换；对于选项C，当0＜x＜1时，f（）＝﹣x，﹣f（x）＝﹣x，当x＝1时，f（1）＝0，成立，当x＞1时，f（），﹣f（x），故满足“倒负”变换；对于选项D，f（），﹣f（x），故不满足“倒负”变换；故选：AC．例3已知函数，.(1)求，，的值；(2)若，求实数a的值.【答案】(1)，，(2)或【分析】（1），代入直接计算，然后先求出再计算；（2）按分段函数定义分类讨论解方程．（1）由题可得，，因为，所以；（2）①当时，，解得，不合题意，舍去；②当时，，即，解得或，因为，，所以符合题意；③当时，，解得，符合题意；综合①②③知，当时，或．二．典型题型题型1求函数解析式解题技巧：求函数解析式的常用方法(1)待定系数法：已知函数f(x)的函数类型，求f(x)的解析式时，可根据类型设出其解析式，将已知条件代入解析式，得到含待定系数的方程(组)，确定其系数即可．(2)换元法：令t＝g(x)，注明t的范围，再求出f(t)的解析式，然后用x代替所有的t即可求出f(x)，一定要注意t的范围即为f(x)中x的范围．(3)配凑法：已知f(g(x))的解析式，要求f(x)时，可从f(g(x))的解析式中拼凑出“g(x)”，即用g(x)来表示，再将解析式两边的g(x)用x代替即可．(4)代入法：已知y＝f(x)的解析式求y＝f(g(x))的解析式时，可直接用新自变量g(x)替换y＝f(x)中的x.(5)方程组法(消去法)，适用于自变量具有对称规律的函数表达式，如：互为倒数eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(fx，f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))))，互为相反数(f(－x)，f(x))的函数方程，通过对称构造一个对称方程组，解方程组即可．在构造对称方程时，一般用eq\f(1,x)或－x替换原式中的x即可．例1已知是一次函数，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设出函数的解析式，再根据给定条件列出方程组，求解作答.【详解】依题意，设，则有，解得，所以.故选：D例2（多选题）若函数，则（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】由换元法求出，可判断C；分别令或可判断A，B；求出可判断D.【详解】令，则，所以，则，故C错误；，故A正确；，故B错误；（且），故D正确．故选：AD．例3（1）已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式；（2）已知，求函数的解析式；（3）已知是R上的函数，，并且对任意的实数x，y都有，求函数的解析式.【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）待定系数法：先设含待定系数的解析式，再利用恒等式的性质或将已知条件代入，建立方程（组），通过解方程（组）求出相应的待定系数.（2）方程组法：已知关于与的表达式，构造出另外一个等式，通过解方程组求出.（3）特殊值法（赋值法）：通过取特殊值代入题设中的等式，使抽象的问题具体化、简单化，求出解析式.【详解】（1）设，由得：c＝1.由得：，整理得，∴，则，∴.（2）∵，①∴，②②×2－①得：，∴.（3）令，则，∴.题型2分段函数的求值问题解题技巧：1．分段函数求函数值的方法(1)确定要求值的自变量属于哪一段区间．(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值．2．已知函数值求字母取值的步骤(1)先对字母的取值范围分类讨论．(2)然后代入不同的解析式中．(3)通过解方程求出字母的值．(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内．例1已知函数，则（

）A．0 B． C． D．1【答案】D【分析】根据分段函数解析式计算可得.【详解】解：因为，所以，所以；故选：D例2（多选题）已知函数的图象由如图所示的两条线段组成，则有（

）A．函数在区间上的最大值为2B．C．D．，不等式的解集为【答案】ACD【分析】根据题意求得函数分段函数的解析式，再根据解析式并结合函数图象依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：根据题意，当时，设解析式为，图象经过，所以，解得，所以；时，设解析式为，图象经过，所以，解得，所以解析式为；即，，所以C正确；对于A选项，由于，，所以结合函数图像，函数在区间上的最大值为2，故A正确；对于B选项，根据函数图像得，故B错误；对于D选项，由于，，所以当，使得不等式的解集为，故D正确.故选：ACD例3已知函数的解析式.(1)求；(2)若，求a的值；(3)画出的图象，并写出函数的值域（直接写出结果即可）.【答案】(1)(2)或(3)图象见解析，【分析】（1）根据解析式直接求解可得；（2）根据a的范围分段解方程可得；（3）根据解析式直接描点作图即可.（1）∵函数的解析式，∴，.（2）∵，，∴或或，解得或.（3）画出函数的图象如图所示：

由图可知，的最大值为，函数的值域为.三．难点题型题型1已知分段函数的值求参数或自变量解题技巧：1．分段函数求函数值的方法(1)确定要求值的自变量属于哪一段区间．(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值．2．已知函数值求字母取值的步骤(1)先对字母的取值范围分类讨论．(2)然后代入不同的解析式中．(3)通过解方程求出字母的值．(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内．例1已知函数若，则实数（

）A．－5 B．5 C．－6 D．6【答案】A【分析】先求，再由列方程求解即可.【详解】由题意可得，因为，即，所以，得，故选：A例2（多选题）已知函数，若，则的值可能是（

）A． B．3 C． D．5【答案】AD【分析】直接根据分段函数的解析式，解方程即可求解.【详解】因为函数，且，所以，解得：；或者，解得：.故选：AD例3已知函数(1)求，，的值；(2)若，求实数a的值；(3)若，求实数m的取值范围．【答案】(1)；；；(2)或；(3)．【分析】（1）根据函数的解析式即得；（2）分类讨论，解方程即得；（3）分类讨论，解不等式组即得.（1）由题可得，，因为，所以；（2）①当时，，解得，不合题意，舍去；②当时，，即，解得或，因为，，所以符合题意；③当时，，解得，符合题意；综合①②③知，当时，或；（3）由，得或或，解得或，故所求m的取值范围是.题型2分段函数的值域或最值解题技巧：例1函数的值域为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用分段函数的性质求解.【详解】解：,当，，当，，所以，故选：A例2（多选题）若函数存在最大值，则实数a可能的值是（

）A． B． C．1 D．2【答案】BCD【分析】求出二次函数部分的对称轴，再讨论a与对称轴的大小，求出a的的取值范围即可得到答案【详解】解：图象的对称轴方程为，①当，时，有最大值，又，所以，所以此时有最大值1；②当，时，有最大值，当时，在单调递减，所以，所以要有最大值，得，解得，与矛盾，舍去，综上，当时，有最大值，故选：BCD．例3求函数在－的最值.【答案】最大值是，最小值是.【分析】确定函数的单调性后，由端点处函数比较可得．【详解】在上递增，对称轴是，在上递减，在上递增，，，，，所以当时，函数最大值是；当时，函数最小值是.四．活学活用培优训练一、单选题1．已知函数，若，则（

）A． B．6 C． D．【答案】D【分析】分析函数的单调性，结合已知条件可得出关于的等式，求出的值，代值计算可得的值.【详解】因为，所以，函数在和上均为增函数，因为，所以，可得，由题意可得，即，解得，合乎题意，所以，.故选：D.2．设是非空集合，且，定义在上的函数的值域为（

）A． B． C． D．以上都不对【答案】D【分析】分和两种情况讨论，根据所给定义得到函数的值域，即可判断；【详解】解：当时，，所以，即的值域为；当时，，所以的值域为；故选：D3．已知函数，关于函数的结论正确的是（

）A． B．的值域为C．的解集为 D．若，则x的值是1或【答案】B【分析】根据函数解析式，画出函数图象，结合图象一一判断即可；【详解】解：因为，函数图象如下所示：由图可知，故A错误；的值域为，故B正确；由解得，故C错误；，即，解得，故D错误；故选：B4．函数（

）A．的最小值为0，最大值为3 B．的最小值为，最大值为0C．的最小值为，最大值为3 D．既无最小值，也无最大值【答案】C【分析】化简函数的解析式得到分段函数，然后求解函数的最值即可．【详解】解：函数所以当时，；当时，；当时，；函数的最大值为3，最小值为．故选：C．5．已知定义在R上的函数f(x)=x+1，g(x)=（x+1）2，，用M(x)表示f(x)，g(x)中的较大者，记为M(x)=max{f(x)，g(x)}，则M(x)的最小值为（

）A．-1 B．0 C．1 D．2【答案】B【分析】求出M(x)的解析式，利用分段函数求最值即可【详解】若f(x)=x+1g(x)=（x+1）2，则若f(x)=x+1g(x)=（x+1）2则或故M(x)=当，，当，，故M(x)的最小值为0故选：B6．函数，则的最大值和最小值分别为（

）A．10，6 B．10，8 C．8，6 D．10，7【答案】A【分析】分当和时，分别判断函数的单调性，计算函数的最值，可得出的最大值和最小值．【详解】当时，在上单调递增，则最大值为，最小值为当时，在上单调递增，则最小值为，最大值小于综上可得，的最大值和最小值分别为故选：A【点睛】本题考查分段函数的性质，考查函数的单调性和最值，属于基础题．二、多选题7．已知，，且，则的最值情况是（

）A．有最大值 B．有最小值C．无最小值 D．无最大值【答案】CD【解析】根据已知求出分段函数的分段区间，作出函数的图象，利用数形结合即可判断的最值情况.【详解】由得；由，得或，所以，作出函数的图象(如图)：可得无最大值，无最小值．8．下列函数中值域为的有（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】逐项判断函数的值域，即可得解.【详解】对于A，函数的值域为，故A正确；对于B，函数的值域为，故B错误；对于C，当时，函数，当时，，所以函数的值域为，故C正确；对于D，函数的值域为，故D错误.故选：AC.【点睛】本题考查了函数值域的求解，考查了运算求解能力，属于基础题.9．已知函数，关于函数的结论正确的是（

）A．的定义域为B．的值域为C．若，则的值是D．的解集为【答案】BC【解析】根据分段函数的形式可求其定义域和值域，从而判断A、B的正误，再分段求C、D中对应的方程的解和不等式的解后可判断C、D的正误．【详解】由题意知函数的定义域为，故A错误；当时，的取值范围是当时，的取值范围是，因此的值域为，故B正确；当时，，解得（舍去)，当时，，解得或（舍去），故C正确；当时，，解得，当时，，解得-，因此的解集为，故D错误.故选：BC．【点睛】本题考查分段函数的性质，对于与分段函数相关的不等式或方程的解的问题，一般用分段讨论的方法，本题属于中档题．三、填空题10．狄利克雷函数是高等数学中的一个典型函数，若，则称为狄