人教版初升高数学初升高数学衔接讲义第10讲函数的概念及其表示(学生版+解析)

第10讲函数的概念及其表示函数的概念函数的概念：一般地，设是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作.其中叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与值对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.思考：值域与集合是什么关系？说明：①“是非空的实数集”.一方面强调了中的元素只能是实数；另一方面指出了定义域、值域都不能是空集．②函数的三要素：定义域、对应关系、值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等(或为同一函数)；

③函数的“三性”：任意性、存在性、唯一性.区间的概念①设定义符号名称闭区间开区间半开半闭区间②符号“”读作“无穷大”，“”读作“负无穷大”，“”读作“正无穷大”.定义符号函数的表示方法①解析法；②图象法；③列表法.题型一函数的概念在下列从集合到集合的对应关系中，能确定是的函数的是，对应法则；，对应法则；，对应法则；，对应法则；，对应法则；，对应法则；，对应关系如图：若函数的定义域为，值域为，则函数的图象可能是()判断下列各组中的两个函数是否为同一函数.；；；；.已知函数.分别求下列函数值：①.②.③.④.⑤.⑥.⑦.⑧.⑨.若，则.题型二函数的定义域求下列函数的定义域.已知函数的定义域为，求函数的定义域；已知函数的定义域为，求函数的定义域；已知函数的定义域为，求函数的定义域；已知函数的定义域为，求函数的定义域；若函数的定义域为，求函数的定义域.题型三函数解析式已知函数为一次函数，满足，求的解析式；已知函数为一次函数，且，求的解析式.已知，求的解析式；已知，求的解析式；已知，求的解析式.已知，求的解析式；已知函数满足，求的解析式；已知函数满足，求的解析式.题型四函数值域求下列函数的值域：(1)(2)(3)(4)(5) (6)(7)(8)

求下列函数的值域. (2)(3)(4)题型五分段函数若函数，则.已知，若，则.已知，则不等式的解集是.把下列函数写成分段函数的形式，并画出其图像.(2)(3)(4)跟踪训练下列各图像中，是函数图像的是()函数的定义域为，则函数的图象与直线的交点个数为()A.0 B.1 C.2 D.0个或1个均有可能函数的定义域是()A. B. C. D.已知，若，则的值是()A.1 B.1或 C.1或或 D.若函数的定义域是，则的定义域是()A. B. C. D.已知函数的定义域是，则的定义域为()A. B. C. D. 已知，则()A. B. C.1 D.0已知，若，则.已知，则.函数，若，则的取值范围是.已知函数满足，则的解析式是.已知函数的定义域为，求实数的取值范围.求下列函数的值域：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)画出下列函数的图像：(1)；(2)；(3)第10讲函数的概念及其表示函数的概念函数的概念：一般地，设是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作.其中叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与值对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.思考：值域与集合是什么关系？说明：①“是非空的实数集”.一方面强调了中的元素只能是实数；另一方面指出了定义域、值域都不能是空集．②函数的三要素：定义域、对应关系、值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等(或为同一函数)；

③函数的“三性”：任意性、存在性、唯一性.区间的概念①设定义符号名称闭区间开区间半开半闭区间②符号“”读作“无穷大”，“”读作“负无穷大”，“”读作“正无穷大”.定义符号函数的表示方法①解析法；②图象法；③列表法.题型一函数的概念在下列从集合到集合的对应关系中，能确定是的函数的是，对应法则；，对应法则；，对应法则；，对应法则；，对应法则；，对应法则；，对应关系如图：【答案】(4)(5)(7)【解析】(1)在对应法则下，不能被3整除的在中没有对应的数；(2)(3)在对应法则下，在中有两个对应的数，不是唯一确定；(6)A中不是数集；(4)(5)(7)满足函数的特征.若函数的定义域为，值域为，则函数的图象可能是()【答案】B判断下列各组中的两个函数是否为同一函数.；；；；.【答案】(1)不是；(2)不是；(3)是；(4)是；(5)不是.【解析】(1)的定义域为，定义域为R，不是同一函数；要使函数有意义，则，解得，要使有意义，则， 解得或，两个函数的定义域不同，不是同一函数；两个函数的定义域和对应法则完全相同，是同一函数；函数，定义域和对应法则均相同，是同一函数；的定义域为，定义域为R，不是同一函数.已知函数.分别求下列函数值：①.②.③.④.⑤.⑥.⑦.⑧.⑨.若，则.【答案】(1)①2；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；(2).题型二函数的定义域求下列函数的定义域.【答案】(1)；(2)；(3)；(4).【解析】(1)，解得，所以定义域为；(2)，解得，所以定义域为；(3)，解得，所以定义域为；(4)，解得，所以定义域为.已知函数的定义域为，求函数的定义域；已知函数的定义域为，求函数的定义域；已知函数的定义域为，求函数的定义域；已知函数的定义域为，求函数的定义域；若函数的定义域为，求函数的定义域.【答案】(1)；(2)；(3)；(4)；(5).【解析】)(1)的定义域为，由，得，的定义域为；(2)的定义域为，，，的定义域为；(3)的定义域为，，的定义域为，由得，的定义域为；(4)的定义域为，，的定义域为，由得，的定义域为；(5)的定义域为，中有：，解得，的定义域为.题型三函数解析式已知函数为一次函数，满足，求的解析式；已知函数为一次函数，且，求的解析式.【答案】(1)；(2)或.【解析】(1)依题意可设，则，解得，；(2)依题意可设，则，，解得或，或.已知，求的解析式；已知，求的解析式；已知，求的解析式.【答案】(1)；(2).【解析】(1)设，则，，；(2)设，则，，.已知，求的解析式；已知函数满足，求的解析式；已知函数满足，求的解析式.【答案】(1)；(2)；(3).【解析】(1)由两式相加得，；(2)①，②，由①②得；(3)，，由两式得.题型四函数值域求下列函数的值域：(1)(2)(3)(4)(5) (6)(7)(8)【答案】(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8).【解析】(1)，则，所以值域为；(2)，，故值域为；(3)，在上单调递增，，故值域为；(4)，在上单调递减，且，，故值域为；(5)，且，，故值域为；(6)设，则，，又在上单调递增，，故值域为；(7)设，则，，又在上单调递增，，故值域为；(8)设，则，，又在单调递减，在单调递增，，故值域为.求下列函数的值域. (2)(3)(4)【答案】(1)；(2)；(3)；(4).【解析】(1)解法一：，设，则，，当时，；当时，，由对勾函数图象可知，，，即，综上所述，值域为.解法二：，由得，即，当时，，符合题意；当时，方程有解需满足，解得且，综上所述，值域为.(2)设，则，，在上单调递增，，故值域为；(3)，设，则，，在上单调递增，，，故值域为；(4)，，，，，，故值域为.题型五分段函数若函数，则.已知，若，则.已知，则不等式的解集是.【答案】(1)4；(2)；(3).【解析】(1)，；(2)若，则，解得(舍去)；若，则，解得或(舍去)，综上，；(3)，则由得或，解得或，综上，解集为.把下列函数写成分段函数的形式，并画出其图像.(2)(3)(4)【答案】略跟踪训练下列各图像中，是函数图像的是()【答案】D函数的定义域为，则函数的图象与直线的交点个数为()A.0 B.1 C.2 D.0个或1个均有可能【答案】B函数的定义域是()A. B. C. D.【答案】B【解析】依题意，解得，故定义域为，选B.已知，若，则的值是()A.1 B.1或 C.1或或 D.【答案】D【解析】若，则，解得(舍去)；若，则，解得或(舍去)；若，则，解得(舍去)，综上，，选D.若函数的定义域是，则的定义域是()A. B. C. D.【答案】B【解析】函数的定义域是，则在中有，解得，故定义域为，选B.已知函数的定义域是，则的定义域为()A. B. C. D. 【答案】A【解析】的定义域是，，的定义域为，由解得，故定义域为，选A.已知，则()A. B. C.1 D.0【答案】D【解析】，，，选D.已知，若，则.【答案】【解析】若，则，解得或(舍去)；若，则，解得(舍去)，综上，.已知，则.【答案】11【解析】依题意.函数，若，则的取值范围是.【答案】【解析】依题意，则不等式化为，若，则，解得，此时；若，则，解得(舍去)；若，则，解得(舍去)，综上，的取值范围是.已知函数满足，则的解析式是.【答案】【解析】设，则，，.已知函数的定义域为，求实数的取值范围.【答案】【解析】依题意，，恒成立，当时，不等式化为恒成立，符合题意；当时，则，解得，综上所述，的取值范围为.求下列函数的值域：(1