高中数学第三章函数的概念与性质函数的最大小值学案新人教A版必修第一册

第2课时函数的最大(小)值

课程标准

(1)理解函数的最大值和最小值的概念及其几何意义.(2)能借助函数的图象和单调性,

求一些简单函数的最值.(3)能利用函数的最值解决有关的实际应用问题.

新知初探•课前预习一一突出基础性

教材要点

要点函数的最大值与最小值

最大值最小值0

一般地，设函数y=f(x)的定义域为7,如果存在实数〃满足：Vx^I,都

有

条件

f(禽___Mf(x)____M

m照£/,使得________

结论称〃是函数y=f{x)的最大值称〃是函数y=f(x)的最小值

几何意义f(x)图象上最高点的—f(x)图象上最低点的—

助学批注

批注❶函数的最值与值域的关系：

(1)函数的值域一定存在，函数的最值不一定存在.

(2)若函数的最值存在，则最值一定是值域中的元素.

(3)若函数的值域是开区间，则函数无最值；若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点

值就是函数的最值.

基础自测

1.思考辨析(正确的画“V”，错误的画“X”)

(1)任何函数都有最大(小)值.()

(2)如果一个函数有最大值，那么最大值是唯一的.()

⑶函数f(x)取最大值时，对应的x可能有无限多个.()

(4)如果f(x)的最大值、最小值分别为弘通,则/'(x)的值域为［m，M\.(

2.函数/'(x)=3在［1,+8)上()

X

A.有最大值无最小值

B.有最小值无最大值

C.有最大值也有最小值

D.无最大值也无最小值

3.函数f(x)=-2x+l(xe［—2,2］)的最小、最大值分别为()

A.3,5B.—3,5

C.1,5D.15,3

4.函数f(x)在［—2,2］上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是

题型探究•课堂解透一一强化创新性

题型1利用函数的图象求函数的最值

x?_x,Qvxv2

例1已知函数f(x)2求函数F(X)的最大值、最小值.

—,x>2,

>x-l

方法归纳

图象法求最值的一般步骤

巩固训练1若xGR,f(x)是y=2—y=x这两个函数中的较小者，则f(x)的最大

值为()

A.2B.1

C.-1D.无最大值

题型2利用函数的单调性求最值

例2已知函数f(x)=吧.

X+1

(1)判断函数在区间(-1,+8)上的单调性，并用定义证明你的结论;

(2)求该函数在区间［2,4］上的最大值和最小值.

方法归纳

函数的最大(小)值与单调性的关系

(1)若函数f(x)在区间［a,6］上是增(减)函数，则f(x)在区间［a,6］上的最小(大)值是

最大(小)值是H6).

(2)若函数F(x)在区间［a,6］上是增(减)函数，在区间［6,c］上是减(增)函数，则『(x)

在区间［a,c］上的最大(小)值是/'(6),最小(大)值是/'(a)与/<c)中较小(大)的一个.

巩固训练2求函数了=六在区间［2,6］上的最大值和最小值.

题型3求二次函数的最值

例3(1)已知函数『(x)=x?—2x—3,若xe［O,2］,求函数『(x)的最值.

(2)求函数f(x)=x-2x+2在区间［力，2+1］上的最小值gif).

(3)已知函数f(x)=/—ax+1,求f(x)在［0,1］上的最大值.

方法归纳

求二次函数最值问题的解题策略

一般都是讨论函数的定义域与对称轴的位置关系，往往分三种情况：(1)定义域在对称

轴左侧；(2)对称轴在定义域内；(3)定义域在对称轴右侧.在讨论时可结合函数图象，便于

分析、理解.

巩固训练3已知二次函数F(x)=-f+2ax—a在区间［0,1］上有最大值2,求实数a

的值.

第2课时函数的最大QJ、)值

新知初探•课前预习

［教材要点］

要点

W》f(xj=M纵坐标纵坐标

［基础自测］

1.答案：⑴x(2)V(3)V(4)X

2.解析：函数f(x)=工是反比例函数，当xG(0,+8)时，函数图象下降，所以在［1,

X

+8)上/'(X)单调递减，/U)为/•(£在［1,+8)上的最大值，函数在［1,+8)上没有最小

值.

答案：A

3.解析：因为f(x)=—2x+l(xd［—2,2］)是单调递减函数，所以当x=2时，函数

的最小值为-3.当x=-2时，函数的最大值为5.

答案：B

4.解析：由图象知点(1,2)是最高点，点(一2,—1)是最低点，

••J^inax2,yiain1•

答案：一1,2

题型探究•课堂解透

例1解析：作出/U)的图象如图:

由图象可知，当x=2时，f(x)取最大值2；当时，/(x)取最小值一；.

24

所以fix)的最大值为2,最小值为一3

4

巩固训练1解析：在同一坐标系中，作出函数的图象(如图中的实线部分),

则f(x)max=f(l)=1.

答案：B

例2解析：(1)〃工)在(-1,+8)上单调递增，证明如下：任取一1〈X《X2,

则—f(xj=2-x詈、,

X1+1X2+l(X1+1)(X2+1)

因为一1Vxi〈X2=Xi+l>0,X2+IX),Xi—刘VO,

所以_f(xj—f(x2)<0=>f(xi)<f(x2),

所以f(x)在(一1,+8)上单调递增.

(2)由⑴知Hx)在⑵4］上单调递增，

所以f(x)的最小值为f(2)=筌=|，

最大值A4)=有=：

巩固训练2解析：设荀，热是区间⑵6］上的任意两个实数，且荀〈物则

F(xJ-『(X2)=-^----一=(八

Xi-1X2-l(Xi-lJCXz-l)

由于2<xi<6,得上2一矛1〉0,—(T2—1)>0,于是广(xi)—F(X2)>0,/(JTI)>f(x2)

所以，函数尸二在区间［2,6］上单调递减.

X-1

x=2时取最大值，最大值是2,在x=6时取最小值，最小值为|.

例3解析：(1)•.•函数f(x)=V—2x—3开口向上，对称轴x=l,.♦./•(X)在［0,1］上

单调递减,在［1,2］上单调递增,且f(0)=/(2).

图1

f(x)max=f(O)=f(2)=—3,f(X)min=f(l)=-4.

⑵当t+Kl,即KO时，函数图象如图1所示，

函数/1(X)在区间［力，t+1］上为减函数，所以最小值为g(t)=/■(t+1)=「+1;

当t>l时，函数图象如图2所示，

图2

图3

函数f(x)在区间［得:+1］上为增函数，

所以最小值为g(t)=f(t)=f-2t+2.当Wb+1,即OWtWl时,

函数图象如图3所示，最小值为

g(t)=/,(1)=1,

(t2+1,t<0

综上所述，g(t)=<1,0<t<1

(t2-2t+2,t>1

⑶因为函数F(x)=f—ax+1的图象开口向上，其对称轴为x=|,

当：即aWl时，F(x)的最大值为f(l)=2—a；

当今：，即a>l时，f(x)的最大值为AO)=1.

2—a,a<1

综上f(A)

1,a>1

巩固训练3解析：f(x)=—(^x—a