《微积分（第4版）》 示范课课件 导数概念

微积分WEIJIFEN第三章导数与微分第一节导数的概念第二节求导法则第三节微分及其应用

返回yOxy=f(x)

返回第三章导数与微分(Derivatives)第一节导数概念一、微积分产生的历史背景二、速度与切线三、导数的概念四、左导数与右导数五、导数的几何意义六、可导性与连续性的关系七、函数变化率第一节导数的概念

在此期间,在自然科学领域发生了几件重大事件：★1608年望远镜的发明,引起了天文学研究的高潮,推动了光学研究的发展.★1619年开普勒经过观测研究,提出了行星运动三大定律,引起了全世界的关注.★1638年伽利略建立了自由落体定律与动量守恒定律的数学表达式,激起人们用数学求解问题的热情.微积分WEIJIFEN

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返回一.微分学产生的历史背景

十七世纪人类创建了微积分.微积分的创建是人类精神的最高胜利.它对自然科学的发展产生了深远的影响.

在此阶段,人们提出了一系列与物体运动速度、加速度,曲线的切线相关联的问题.

这些问题将其概括为两类：(1)变速直线运动物体的瞬时速度问题.(2)平面曲线的切线问题.光线在曲面上的反射行星运动轨迹与速度

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这两类问题尽管内容和提法不同,但从思想方法上看都有一个共同的特征就是研究变量的变化程度及其相互关系.研究的代表人物是科学大师牛顿与莱布尼茨.牛顿（Newton,1643-1727）莱布尼茨（Leibniz,1597-1652）

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返回微积分WEIJIFEN二、速度与切线

例设物体作自由落体运动,其运动方程为.其中s表示位移,t表示时间.求时刻的瞬时速度

分析对瞬时速度的理解

速度:用来描述物体运动快慢的物理量称为速度.这里的速度是与时间间隔相关联的,它是距离与时间之比,它反映的是该段时间间隔内的平均速度.即

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瞬时速度:

物体运动中某一时刻的速度.在此无时间间隔、无法运动、无法体现速度,构成矛盾体.为了确定瞬时速度就要给出数学上瞬时速度的定义.问题解决的思想方法：欲求瞬时速度平均速度（当很小时）

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返回微积分WEIJIFEN其平均速度为问题的求解过程：当时间很小时,在此越小,

越接近v,当小得不能再小时

当时间在取得增量时,位移有增量

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返回微积分WEIJIFEN数据观察：时随的变化情况9.319.7519.79519.799519.799951[0.9,1][0.99,1][0.999,1][0.9999,1][0.99999,1]-

0.1-

0.01-

0.001-

0.0001-

0.0000110.299.8499.80499.800499.800049[1,1.1][1,1.01][1,1.001][1,1.0001][1,1.00001]0.10.010.0010.00010.00001时间区间时间区间由极限概念知,瞬时速度为平均速度的极限

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设物体作变速直线运动,其运动方程为s=s(t).其中s表示位移,t表示时间.求时刻的瞬时速度

当时间在取得增量时,则在到的时间段内,位移有增量则在t0到这段时间内的平均速度为1.变速直线运动的瞬时速度

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返回微积分WEIJIFEN当越小时,平均速度将越接近瞬时速度,当无限趋近于零时,平均速度也将无限趋近瞬时速度.为此,瞬时速度为平均速度当时的极限,即

在此,平均速度称为位移s在t0到时间段内的平均变化率,而瞬时速度则称为位移s在时间t=t0的(瞬时)变化率.

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返回微积分WEIJIFEN变速直线运动的速度概括以匀代变，运用极限实现匀与变的转化.思想方法变速直线运动自由落体运动

瞬时速度

平均速度

方程

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返回微积分WEIJIFEN2.平面曲线的切线斜率

圆的切线:与圆只有一个接触点的直线称为圆的切线.

对于一般曲线而言与曲线只有一个接触点的直线未必为曲线的切线.

莱布尼茨曾把曲线的切线定义为连接曲线上无限接近的两点的直线.

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返回微积分WEIJIFENＭ附近另取C上一点N,作割线ＭN.

割线的极限位置ＭT是指:当点N沿曲线C趋于Ｍ时,弦长,且夹角∠MCTN切线的定义：设有平面曲线C及C上一点Ｍ,当点N沿曲线C趋于Ｍ时,如果割线ＭN直线ＭT就称为曲绕点Ｍ旋转而趋于极限位在点置ＭT.线C在点Ｍ处的切线.

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返回微积分WEIJIFEN平面曲线的切线斜率M

为曲线上一点,N为M附近当时,割线斜率的极限值就是切线的斜率.TMNx0x0+

xyOx

L

x

yy=f(x)

割线斜率为设平面曲线y=f(x),一点,作割线M

N.

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返回微积分WEIJIFEN平面曲线的切线斜率切线斜率为割线斜率极限切线为割线的极限位置平面曲线的切线斜率平面曲线的切线MNTxyxyMTxN

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返回微积分WEIJIFEN瞬时速度与曲线的切线斜率对比概括运用极限实现匀与变、直与曲的转化.瞬时速度切线斜率平均变化率与变化率结构特征

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返回微积分WEIJIFEN三、导数的概念

定义设y=f(x)在点x0的某邻域内有定义，属于该邻域,记若极限即存在,则称其极限值为y=f(x)在点x0

处导数,记为或记为即

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返回微积分WEIJIFEN即函数在x0的导数值等于其导函数在x0的函数值.

定义设y=f(x)在(a,b)内每个点都可导,则称为y=f(x)在(a,b)内的导函数,简称导数.或记为给定点的导数与导函数之间关系说明：导数也可表示为y=f(x)在(a,b)内可导.若,则称

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返回微积分WEIJIFEN例解由导数定义有

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返回微积分WEIJIFEN四、左导数与右导数左导数右导数或

定理函数y=f(x)在x=x0可导的充分必要条件是y=f(x)在x=x0

的左、右导数存在且相等.

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例讨论函数

在x=0和x=1处的可导性.解所以y=f(x)在x=0可导,且

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若在点M处函数可导则其切线方程为五、导数的几何意义

导数的几何意义是曲线y=f(x)在点M(x0,f(x0))处的切线斜率.TMNx0x0+

xyOx

L

x

yy=f(x)

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返回微积分WEIJIFEN六、可导性与连续性的关系设f(x)在x=x0可导,即此时即有则由极限定理知所以,若f(x)在x=x0处可导，则f(x)在x=x0

处连续.反之,若f(x)在x=x0处连续，则f(x)在x=x0处不一定可导.

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返回微积分WEIJIFEN例讨论f(x)=|x|在点x=0处的连续性与可导性.因此f(x)=|x|在x=0连续.因此f(x)=|x|在点x=0处不可导.解所以

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返回微积分WEIJIFEN解因此在点x=0处连续，但因此在点x=0处不可导.(极限不存在).综上所述,若y=f(x)在点x0处可导,则y=f(x)在点x0

处连续,反之不然.例讨论f(x)=在点x=0处的连续性与可导性.

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返回微积分WEIJIFEN连续关系概念导数可导一定连续；连续未必可导连续但不可导函数图形特征xyoxyoxyo

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返回微积分WEIJIFEN七、函数变化率

设函数y=f(x)在点x处可导,则比值称为函数y=f(x)在点x处的变化率.它反映函数y=f(x)在点x处的变化快慢程度.

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返回表示区间长度为的区间上y对x的平均变化率.而平均变化率的极限.微积分WEIJIFEN

例设细杆自一端起,长度为x的一段质量为m=m(x),求细杆在x=x0处的线密度.

解当x在x0取得增量时,则在x0到的小段上,则细杆在x=x0处的线密度为小段x0到间的细杆的平均线密度的极限.即xo细杆的质量增量为

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返回微积分WEIJIFEN常见实际问题的函数变化率人口增长速度人口总量边际成本总成本化学反应速度浓度细杆线密度质量电流强度电量瞬时速度路程变化率意义函数变化率函数

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已知某一曲线在任意点处的切线斜率为,则其曲线所满足的数学模型为已知物体的冷却速度与物体周围温差成正比，则其数学模型为变化率数学模型举例

（1）几何问题（k为常数）（2）冷却问题

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返回微积分WEIJIFEN导数计算举例

利用定义求函数导数步骤：（1）求增量（2）算比值（3）求极限（4）得导数

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返回微积分WEIJIFEN例求的导数解(1)求增量(2)算比值(3)求极限所以

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返回微积分WEIJIFEN所以解由导数概念得例求的导数

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