大学物理基础教程（全一册） 第3版 课件 第2章 刚体的定轴转动

第2章

刚体的定轴转动2.1刚体定轴转动的运动学描述；2.3机械能守恒；第2章刚体的定轴转动教学内容2.2转动定律；2.4角动量守恒2.5

流体力学简介教学方法全章的教学始终以”类比法”进行。质点的运动描述刚体转动的运动描述力力矩牛顿第二定律定轴转动的转动定律,

力的功力矩的功；质点的动能刚体的转动动能;质点(系)的角动量定理刚体的角动量定理角动量守恒定律角动量守恒定律质点的机械能守恒定律定轴转动的机械能守恒定律1.刚体的运动

在讨论问题时可以忽略由于受力而引起的形状和体积的改变的理想模型。平动:

刚体在运动中，其上任意两点的连线始终保持平行。2.1.1刚体的运动形式刚体：[6]2-6刚体的定轴转动特点：各点运动状态一样，如：等都相同．

刚体平动质点运动2.1刚体定轴转动的运动学描述所有点的运动轨迹都保持完全相同．2.1刚体定轴转动的运动学描述5转动：分定轴转动和非定轴转动刚体的平面运动

只讨论定轴转动转轴(定轴转动)平动+转动一般刚体的运动：2.1刚体定轴转动的运动学描述6刚体的一般运动可看作：随质心的平动绕质心的转动+的合成2.1刚体定轴转动的运动学描述2.1.2刚体定轴转动的运动学对定轴转动的刚体可选取垂直于转轴的一个平面进行研究.xo•Pr

转动平面点P(r,)的转动可代表整个刚体的转动.描述点P转动的物理量为:1.角坐标

(t)一般规定逆时针转动为正.定义:单位:rad/s角位移2.角速度2.1刚体定轴转动的运动学描述角速度矢量

角速度方向规定为沿轴方向，指向用右手螺旋法则确定。3.角加速度定义:单位:rad·s-2刚体定轴转动时,只需用正负来表示方向.α>0时,刚体作加速转动;

反之减速转动.加速转动方向一致减速转动方向相反

定轴转动时方向只需用正负表示:α4.刚体匀变速转动当α为常量时有:质点作匀变速直线运动公式.类似于逆时针转动时，

>0顺时针转动时，

<02.1刚体定轴转动的运动学描述α>0时,刚体作加速转动;

反之减速转动.加速转动方向一致减速转动方向相反4.刚体匀变速转动当α为常量时有:质点作匀变速直线运动公式.类似于

定轴转动时方向只需用正负表示:α2.1刚体定轴转动的运动学描述10匀变速转动公式

刚体绕定轴作匀变速转动质点匀变速直线运动

当刚体绕定轴转动的

=常量时，刚体做匀变速转动．(1)

每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面；(2)

任一质点运动均相同，但

定轴转动的特点

(3)

运动描述仅需一个坐标．不同；2.1刚体定轴转动的运动学描述11角量与线量的关系2.1刚体定轴转动的运动学描述

一飞轮的半径为0.5m,转速n=150r/min转动，因受到制动而均匀减速，经t=20s后静止.试求：(1)角加速度和飞轮从制动到静止所转的圈数；(2)制动开始后t=8s时飞轮的角速度；(3)t=8s时飞轮边缘上一点P的线速度、切向加速度和法向加速度.例2.1解(1)初角速度的大小ω0==5rad/s；t=20s时，ω=0.设t=0时，θ0=0.对匀减速运动，代入方程

“－”号表示α的方向与与ω0的方向相反.飞轮在20s内的角位移为2.1刚体定轴转动的运动学描述解(1)初角速度的大小ω0==5rad/s；t=20s时，ω=0.设t=0时，θ0=0.对匀减速运动，代入方程

“－”号表示α的方向与与ω0的方向相反.飞轮2在30s内的角位移为(2)制动开始后t=8s时飞轮的角速度=3πrad/s(3)t=8s时飞轮边缘上一点P的线速度的大小≈4.71m/s≈

-0.393m/s2切向加速度和法向加速度大小≈44.4m/s2飞轮共转的圈数转角速度、切向加速度和法向加速度的方向2.1刚体定轴转动的运动学描述2.2转动定律2.2.1.力对转轴的力矩

转动平面满足右手法则.方向：（1）外力在转动平面内只有切向分力才可能改变转动状态。大小：即：

只有在转动平面内的力才能产生转动,才能改变刚体定轴转动的转动状态。2.外力不在转动平面内3.外力产生的合力矩对定轴转动:

合力矩是各分力产生的力矩的代数和.M=r×F┴

2.2.2转动定律(定轴)1.转动平衡：若2.转动定律：zOriF’i

mi

匀角速转动4.一对内力对转轴的力矩由于成对内力大小相等,方向相反，则其力臂必相同.故力矩大小相等.

一对内力对转轴的合力矩为零.故:整个刚体的合内力矩为零.Fi2.2转动定律设刚体中质元

mi受外力Fi,内力F’i作用法向力的力矩为零.对

mi用牛顿第二定律：切向分量式为：外力矩内力矩两边乘以riait=riα若2.转动定律：zOriFiFi

mi2.2.2转动定律(定轴)

转动平衡(匀角速转动）1.转动平衡：2.2转动定律对所有质元求和：∑Fit=（∑

miri2）α内力力矩和为零，则有定义：转动惯量刚体定轴转动定律矢量式设刚体中质元

mi受外力Fi,内力F’i作用法向力的力矩为零.对

mi用牛顿第二定律：切向分量式为：外力矩内力矩两边乘以riait=riα2.2转动定律对所有质元求和：∑Fisin

i

=（∑

miri2）α内力力矩和为零，则有定义：转动惯量刚体定轴转动第二定律上式为(1)定轴转动时M.I均为代

数量.式中M、I、α

必须对同一定轴而言。（2）定律具有矢量性和瞬时性。m反映质点的平动惯性，（4）地位相当与注意：I

反映刚体的转动惯性2.2转动定律由转动惯量的定义知:它是刚体中各质元的质量与各质元到转轴的距离平方的乘积之和.与转动惯量有关的因素：刚体的质量转轴的位置刚体的形状分立质量系统:2.2.3转动惯量(1)定轴转动时M.I均为代

数量.式中M、I、α

必须对同一定轴而言。（2）定律具有矢量性和瞬时性。m反映质点的平动惯性，（4）地位相当与注意：I

反映刚体的转动惯性2.2转动定律连续分布质量的刚体:单位:kg·m2质量为线分布质量为面分布质量为体分布其中、、

分别为质量的线密度、面密度和体密度。由转动惯量的定义知:它是刚体中各质元的质量与各质元到转轴的距离平方的乘积之和.与转动惯量有关的因素：刚体的质量转轴的位置刚体的形状分离质量系统:2.2.3转动惯量2.2转动定律

一质量为m,长为l的均匀细棒AB.求通过棒中心及一端并与棒垂直的轴的转动惯量.解:

建立如图坐标系xOdxx在x处取长为dx的质元例2.2转轴在中心连续分布质量的刚体:单位:kg·m2质量为线分布质量为面分布质量为体分布其中、、

分别为质量的线密度、面密度和体密度。2.2转动定律转轴在棒的端点xO用IC表示刚体过质心轴的转动惯量ICcdd=l/2比较两结论I’xOdxx例2。3

一质量为m,长为l的均匀细棒AB.求通过棒中心及一端并与棒垂直的轴的转动惯量.解:

建立如图坐标系例2.2在x处取长为dx的质元转轴在中心2.2转动定律转轴在棒的端点xO用IC表示刚体过质心的转动惯量cdd=l/2比较两结论ICI’平行轴定理IC是刚体通过质心的转动惯量,d是过质心的转轴到另一平行转轴的距离.△反映转动惯量性质的定理:1.平行轴定理可知，在刚体对各平行轴的不同转动惯量中，对质心轴的转动惯量最小。2.2转动定律平行轴定理IC是刚体通过质心的转动惯量,d是过质心的转轴到另一平行转轴的距离.2.垂直轴定理：△反映转动惯量性质的定理:1.平行轴定理

若z轴与薄板垂直，O-xy面在薄板内，则有：可知，在刚体对各平行轴的不同转动惯量中，对质心轴的转动惯量最小；2.2转动定律rdr在r处取宽为dr的细圆环设质量面密度细环元的面积:

dS=2rdr则dm=dS=2rdr与质量分布有关.解:

细圆环的质量可认为全部集中在半径为

R的圆周上,故求质量为m,半径为R的均匀细圆环和均质圆盘绕通过中心并与圆面垂直的转轴的转动惯量.例2.3推论：（1）薄圆筒（不计厚度）（2）对匀质圆盘:2.2转动定律1.与刚体的质量m有关)2.与刚体的几何形状(及质量分布)有关.3.与转轴的位置及转轴的取向有关.影响转动惯量大小的因素rdr在r处取宽为dr的细圆环设质量面密度细环元的面积:S=2rdr则dm=dS=2rdr与质量分布有关.由于对称性，有圆环利用垂直轴定理可以方便的求出圆环和圆盘绕直径的转动惯量圆盘2.2转动定律几种常见刚体的转动惯量2.2转动定律2.2.4定轴转动定律的应用求解步骤注意以下三个问题：（1）分析受力时，要特别注意力的作用点；（2）对于转动刚体，要先假定一个正的转向，然后根据转动定律列出转动方程.（对于质点平动与刚体转动相联系的题目，要用到角量与线量的关系；）（3）在一般情况下，由于转动，在轴上会产生附加压力.对于均质刚体，此附加压力为零.选取对象

分析情况

列出方程

求解方程2.2转动定律如图所示，轻绳经过水平光滑桌面上的定滑轮C连接两物体A和B，A、B质量分别为mA、mB，滑轮视为圆盘，其质量为mC，半径为R，AC水平并与轴垂直，绳与滑轮无相对滑动，不计轴处摩擦，求B的加速度，AC、BC间绳的张力大小例2.4N1T1N2T2解:A.B作平动,定滑轮作转动,

取物体运动方向为正，由牛顿定律及转动定律得联立以上方程求解得2.2转动定律例题2.5如图，一轻绳跨过一定滑轮，绳的两端分别悬挂有质量为m1、m2的物体，且m1<m2.设滑轮可视为均质圆盘，质量为m，半径为r，绳与滑轮之间无相对滑动，转轴对滑轮得摩擦力为零.试求物体的加速度和绳的张力.解：因为m1<m2，所以物体m2将下降，物体m1将上升，定滑轮将做顺时针转动.当整个系统运动时，滑轮的角加速度不为零，所受的合外力矩不为零，两边绳子拉力的大小不再相等.滑轮所受转轴得支持力和重力的作用线都通过转轴，这两个力对转轴的力矩为零分别取运动方向为其参考正方向，按牛顿第二定律和转动定律有FT2FT12.2转动定律分别取运动方向为其参考正方向，按牛顿第二定律和转动定律有，FT2FT1滑轮边缘上的切向加速度相等由以上各式可解得2.2转动定律滑轮边缘上的切向加速度相等由以上各式可解得讨论:

如果滑轮的质量不计，则有2.2转动定律2.3.1力矩的功力矩作功是力作功的角量表达式2.3.2*

力矩的功率功率一定时，

转速越低，力矩越大；

转速越高，力矩越小2.3

定轴转动的机械能守恒F对转轴的力矩：本质上是力的功如果力矩不变2.3定轴转动的机械能守恒定律2.3.2转动动能动能定理所有质元的动能之和为：1.质元的动能力矩做功：3.动能定理刚体定轴转动的动能定理2.刚体的动能2.3定轴转动的机械能守恒定律力矩做功：刚体定轴转动的动能定理合外力矩对定轴转动刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。2.3.3刚体的势能机械能守恒hhihcxOmC

m整个刚体：一个质元：3.动能定理2.3定轴转动的机械能守恒定律

一个不太大的刚体的重力势能相当于它的全部质量都集中在质心时所具有的势能。

对于含有刚体的系统,如果在运动过程中只有保守内力作功,则此系统的机械能守恒。2.机械能守恒5.刚体的机械能守恒定律合外力矩对定轴转动刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。hhihcxOmC

m一个质元：整个刚体：质心的高度2.3.3刚体的势能机械能守恒1.势能2.3定轴转动的机械能守恒定律例2-6均质杆的质量为m、长为l，一端为光滑的支点，最初处于水平位置，释放后杆向下摆动，如图所示.求杆在铅垂位置时，其下端的线速度υ.

所受重力为保守力.选地球和细杆为系统，取竖直位置时质心位置为零势能点，机械能守恒，解:细杆绕一端的转动惯量方向向左例题2.7

如图所示，一均质细杆质量为m，长为l，可绕过一端o的水平轴自由转动，杆于水平位置由静止开始摆下．求：2)杆转过角时的角速度.解:2.选地球和细杆为研究对象，所受重力为保守力，合外力矩为零.取水平位置为重力势能零点，机械能守恒定律，细杆转过

角

时的角速度1)初始时刻的角加速度1)细杆绕一端的转动惯量水平位置时重力对转轴的力矩由得解法二：

细杆受到重力和转轴的作用力，转轴对细杆的力矩为零，故其所受合外力矩等于重力矩.这里细杆所受重力作用在其质心上，故细杆所受重力矩可表示为重力矩对细杆所做功该过程中细杆的转动动能增量

由定轴转动的动能定理得求的角速度为2.4刚体角动量角动量守恒定律1.质点的角动量定义:质点m对点O的角动量Oxyzrv

d•m大小:L=mvrsin

复习：特例:

质点在平面上作圆周运动,质点对O的角动量大小为:L=rmv=mr2

zov•mr若考虑方向有2.质点的角动量定理2.4.1刚体定轴转动的角动量刚体上的一个质元

mi

对z轴(或O点)的角动量为4.刚体定轴转动的角动量刚体对定轴Oz的角动量为2.4.刚体的角动量角动量守恒定律刚体绕某定轴转动时,作用于刚体的合外力矩等于刚体绕此定轴的角动量随时间的变化率.2.4.2角动量定理根据刚体定轴转动的转动定律定轴转动刚体的角动量满足L=Iω再看力矩对时间的累积

:Mdt=dL两边积分:叫冲量矩.作用在物体上的冲量矩等于物体角动量的增量.——角动量定理2.4.刚体的角动量角动量守恒定律2.4.3角动量守恒定律如:M=0,则有:L=I

=恒量即：如果刚体所受合外力矩为零,或者不受外力矩作用,刚体的角动量保持不变。——角动量守恒定律.1.当I=恒量,I

=I0

,则

=0,匀角速转动如:回转仪,定向装置.注意：再看力矩对时间的累积

:Mdt=dL两边积分:叫冲量矩.作用在刚体上的冲量矩等于刚体角动量的增量.——角动量定理2.4.刚体的角动量角动量守恒定律2.当I可变化时,

I

=I0

如:滑冰运动员旋转时两臂收拢转速快。※讨论:1.在有心力作用下的质点,

其角动量守恒.如:天体的运动,电子的绕核运动,合外力都不为零,则动量不守恒,但角动量守恒.2.若刚体由几部分组成,

角动量守恒时,如一部

分运动,则其它部分必

反向运动.2.4.刚体的角动量角动量守恒定律例题1.10

如图所示，我国第一颗人造地球卫星“东方红”绕地球运行的轨道为一椭圆，地球的中心O在椭圆的一个焦点上，已知地球的平均半径为，卫星在近地点A时，距地面的距离为，速率为在远地点时距地面的距离求卫星在远地点B时的速率v2解

由于卫星在轨道上运动受地球的引力始终指向地心O，引力对地心O的力矩为零，所以卫星对地心O的角动量守恒.近地点的角动量远地点的角动量因为角动量守恒，所以46流体液体和气体统称为流体。液体：气体：易压缩不易压缩最显著的特征是：形状不定，具有流动性。流体力学是力学的一个独立分支，它是研究流体的平衡和机械运动规律及其应用的一门学科。2.5流体力学基础流体力学流体质量元微观上看为无穷大，不必深入研究流体分子的无规则热运动；宏观上看为无穷小的一点，有确定的位置、速度、密度和压强等；流体动力学（用P、V、h、等物理量描述）流体静力学（用P、F浮、等物理量描述）流体力学的研究内容2.5流体力学基础48教学内容2.5.1流体静力学2.5.2流体运动学（理想流体）连续性方程2.5.3流体动力学--伯努利方程2.5.4实际流体的运动规律—牛顿黏性定律、泊肃叶公式、斯托克斯公式2.5流体力学基础1.静止流体内一点的压强静止流体内部的相互作用力只能是垂直于截面的正压力。或者说，静止流体内任一点沿各个方向的压强都相等.流体内部某点取一无限小的假想面元ΔS，作用于面元上的压力大小为Δ

F，则该点流体的压强为可以证明，静止流体内某一点处的压强大小只取决于该点的位置，与压强作用面的取向无关.2.5.1流体静力学2.5流体力学基础2.静止流体中的压强分布（重力场中）1）水平方向：由力学平衡条件得2）竖直方向：由力学平衡条件

在同一静止流体内部，等高点的压强相等，也可以说，水平面是一个等压面。在静止流体内部同一竖直线上两点的压强不等，压强随其在流体内部的高度增加而减小。得2.5流体力学基础同一种静止流体内，高度差为h的任意两点间的压强差都等于

3）流体上表面处压强为p0,在上表面下深为h处的流体的压强为3.帕斯卡原理内容：施加到静止流体某处的压强能等值地传到流体内的任何地方.应用：在油压和水压机械中有广泛地应用，对液压机而言，如果在小面积活塞上施加一个较小的力，使得小活塞处压强增加，则压强传到大面积活塞处就能获得较大的力2.5流体力学基础4.

阿基米德原理内容：物体在流体中所受到的浮力等于该物体所排开的同体积流体的重量.应用：阿基米德原理在潜水艇及热气球的设计中有重要应用.整个物体所受浮力为2.5流体力学基础53粘性粘性——流体流动时，在内部产生的切应力。流体流动时，各层流体的流速不同。快层必然带动慢层，慢层必然阻滞快层。层与层之间的相对滑动，产生内摩擦力。zFv0ffvv+dv2.5.2流体运动学2.5流体力学基础541.理想流体的概念理想流体——没有粘性并且不可压缩的流体。2.流体流动的描述方法拉格朗日的追踪法——流元、流块欧拉的速度场法——流场

(流速场)流体力学理论的主流方法。流速场定常流动流速与时间无关理想流体没有粘性,流体在流动过程中机械能不会转化为内能。3.流速场定常流动2.5流体力学基础55流线流管流线：流速场中的一系列假想的曲线。在每一瞬时，曲线上每一点的切线方向与该处流体质元的速度方向一致。流管：通过流体内闭合曲线上各点的流线所围成的细管。由于每一点都有唯一确定的流速，因此流线不会相交，流管内外的流体都不会穿越管壁。

4.流线与流管2.5流体力学基础565.连续性方程

——体积流量守恒（连续性方程）流量：数值上等于单位时间内通过面积△S的流体的体积。流管入口端的流量等于出口端的流量。Δt——质量流量守恒对于理想流体（或不可压缩流体）同一流管截面大的地方流速小，截面小的地方流速大2.5流体力学基础例已知一个水龙头流出的水柱，高度相距为h的两处横截面积分别为S1和S2，求水龙头的体积流量。2.5流体力学基础581.伯努利方程2.5.3.流体动力学—伯努利方程丹尼尔·伯努利瑞士数学家、力学家可由质点系的机械能定理推导。见P71—能量守恒定律在流体力学中的表现2.5流体力学基础59——伯努利方程

当△S趋于零时，细流管就缩为流线。表明压强、动能体密度、势能体密度三项之和在流线上各点处处相等，保持为一恒量。伯努利方程的物理意义是：

在水里工程、交通工具设计等方面有广泛应用。

对某一确定的流体，写成在同一流管内任一截面上，压力头速度头位置头之和为常量。理想流体做定常流动时，同一流线上各点的压强、单位体积流体的动能与势能之和为一常量。2.5流体力学基础602.伯努利方程的应用1）流速与压强的关系由于水平放置，流体的平均高度相同，故连续性方程的结果代入上式就得到简单易记的话：流速大，压强小；流速小，压强大。如果即则2.5流体力学基础612）出口的流速例题2.9水电站常用水库出水管处水流的动能来发电，出水管到水面的距离为h

，