排列数高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修三

排列数（第一课时）

我们不妨先从一些特殊的问题开始探究.请看问题1问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？第1步：确定参加上午活动的同学，从3人中任选1名，有3种选法.根据分步乘法计数原理得N=3×2=6种.一、公式的引入上午下午3种第1位第2位3种2种假定有排好顺序的2个空位，代表上午和下午第2步：确定参加下午活动的同学，当参加上午活动的同学确定后，参加下午活动的同学只能从剩下的2人中去选，有2种选法.2种一、公式的引入问题2：从1，2，3，4这4个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？解:第1步：确定百位数，共有4种选法;

第2步:确定十位数，共有3种选法

第3步：确定个位数，共有2种选法

4种百位十位个位第1位第2位第3位4种3种2种假定有排好顺序的3个空位,代表百位、十位、个位3种2种问题3：以上涉及到的这些具体问题有什么共同特征？一、公式的引入从3个不同的元素中任取2个元素的排列总数为6.从4个不同的元素中任取3个元素的排列总数为24.

排列数定义：排列数定义和表示：我们把从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示.符号中的A是英文arrangement(排列)的第一个字母追问：排列数与排列的区别？一、公式的引入排列数是所有排列的个数，它是一个数.排列：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，

并按照一定的顺序排成一列，它不是数.问题4：一般地，从n个不同的元素中任取m个（m≤n）不同元素的排列数是多少呢？二、公式的推导2.从3个不同的元素中任取2个元素去填空，一个空位填上一个元素，同理：3.每一种填法就得到一个排列；第1位第2位

1.假定有排好顺序的2个空位4.

反之，任何一种排列总可以由这种填法得到.因此，所有不同填法的总数就是排列数从特殊情况开始研究，请结合2个具体实例说明你的研究思路和结果.问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？推广二、公式的推导第1位第2位3种2种第1位第2位

1.假定有排好顺序的2个空位问题5：如何从两个特殊的排列数推广到？第1位第2位

...第1位

第2位第3位

？

二、公式的推导三、公式的辨析

问题6：排列数公式有什么特点？（1）观察公式的右侧，共有几个因数？各因数大小有什么规律？（2）比较n和m的大小关系，并说明公式右边的最后一个因数有什么特点？排列数公式的特点：1.公式中右侧是m个连续正整数的连乘积；2.连乘积中最大因数为n，后面依次减1，最小因数是(n－m＋1).把n个不同元素全部取出的一个排列叫做n个元素的一个全排列.全排列数为:排列数公式：正整数1到n的连乘积1×2×···×n称为n的阶乘用

表示,即m个数例如：三、公式的辨析3.全排列：4.阶乘：四、公式的应用解：

例3计算：什么关系？问题7：由例3可以看到，观察这两个结果，从中你发现它们的共性了吗？证明：排列数公式的连乘形式排列数公式的阶乘形式四、公式的应用能否将它进行推广?四、公式的应用追问：能否以现实生活为背景，以例3的或或为所研究问题的方法数，编几道应用题？（分4个小组讨论，每组一个代表发言）（1）从7

个同学中任选3个人站成一排拍照，有多少种不同的排法？（）（2）一个火车站有7股岔道，如果每股道只能停放1列火车，现要停放3列不同的火车，共有多少种不同停放方法？（）（3）7个同学排成一列，其中甲乙丙丁4人从矮到高顺序不变，有多少种不同排法？（）（4）从7个同学中选出3个人排在第一排，剩下4个人排在第二排，有多少种不同的排法？

（）以数字为背景，编一道应用题，请看例4例4

用0~9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？分析：在0~9这10个数字中，因为0不能在百位上，而其他9个数字可以在任意数位上，因此0是一个特殊的元素.一般地，我们可以从特殊元素的位置入手来考虑问题.四、公式的应用追问：（1）这是不是一个排列问题?解题思路：是②“0是否出现及出现的位置”③“用从10个数中取出3个数的排列数减去其中百位是0的排列数”①“百位数字不能是0”例4

用0~9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？解法1：由于三位数的百位上的数字不能是0，所以可以分两步完成：

第2步，确定十位和个位上的数字，可以从剩下的9个数字中取出2个，有种取法.百位十位个位

第1步，确定百位上的数字，可以从1~9这9个数字中取出1个，有种取法；

根据分步乘法计数原理，所求的三位数的个数为:四、公式的应用解法2：符合条件的三位数可以分成三类：百位十位个位0百位十位个位0百位十位个位第3类,十位上的数字是0的三位数,可以从剩下的9个数字中取出2个放在百位和个位,有种取法.第2类,个位上的数字是0的三位数,可以从剩下的9个数字中取出2个放在百位和十位,有种取法；第1类,每一位数字都不是0的三位数,可以从1~9这9个数字中取出3个,有种取法；根据分类加法计数原理，所求三位数的个数为例4

用0~9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？四、公式的应用解法3:从0~9这10个数字中选取3个的排列数为即所求三位数的个数为它们的差就是用这10个数组成的没有重复数字的三位数的个数其中0在百位上的排列数为例4

用0~9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？四、公式的应用四、公式的应用追问：根据例4，你能归纳出求排列问题的一般步骤吗？2.根据计数原理给出用排列数符号表示的运算式子；1.判断排列问题;3.利用排列数公式求出结果.例4

用0~9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？带有限制条件的排列问题：“特殊”优先原则直接法间接法位置分析法元素分析法以位置为主，优先考虑特殊位置以元素为主，优先考虑特殊元素先不考虑限制条件，计算出来所有排列数，再从中减去全部不符合条件的排列数，从而得出符合条件的排列数方法归纳四、公式的应用追问：根据例4，你能总结排列问题的一般方法吗？例4

用0~9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？四、公式的应用(1)个位是0的有

个；变式1:用0~9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数且是偶数?解法一：元素分析法，考虑特殊元素0，可以分为三类：00(1)0在个位的有个；(2)0在十位的有个；(3)没有0的有个.∴共有解法二：位置分析法，先考虑个位，可以分为两类：(2)个位不是0的有

个；

∴共有

四、公式的应用变式2:用0~9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数且是奇数?解法一：元素分析法，考虑特殊元素0，可以分为两类：(1)0在十位的有

个；(2)没有0的有个.∴共有0解法二：位置分析法：先考虑个位

五、课堂小结2.排列数公式