随机信号通过线性系统的分析

关于随机信号通过线性系统的分析2024/7/521

系统分类确定系统随机系统线性系统非线性系统第2页,共68页，星期六，2024年，5月2024/7/531

线性时不变系统线性时不变系统x(t)y(t)线性时不变第3页,共68页，星期六，2024年，5月2024/7/541

信号通过线性时不变系统线性时不变系统

h(t)x(t)y(t)时域频域系统的冲激响应系统的传输函数第4页,共68页，星期六，2024年，5月2024/7/551

线性系统卷积定理：时域卷积定理：若给定两个时间函数已知，则频域卷积定理：第5页,共68页，星期六，2024年，5月2024/7/561

线性系统系统是线性的、时不变的、稳定且物理可实现(因果性)稳定：系统的冲激响应是绝对可积物理可实现：当t<0时，有h(t)=0第6页,共68页，星期六，2024年，5月2024/7/57线性系统1随机信号通过线性系统2白噪声通过线性系统3随机序列通过线性系统4第7页,共68页，星期六，2024年，5月2024/7/582

随机信号通过线性系统一个线性时不变系统可以完整地由它的冲激响应(或传输函数)来表征。理论上，根据输入随机信号的统计特性，就能确定一个已知线性系统输出的统计特性。一种特殊情况，当输入为高斯过程时输出也是高斯过程。第8页,共68页，星期六，2024年，5月2024/7/592.1

随机信号通过线性系统的时域分析线性系统输出的时域数字特征：数学期望均方值自相关函数互相关函数线性系统输出的频域数字特征：功率谱密度第9页,共68页，星期六，2024年，5月2024/7/5102.1

时域分析—均值设线性系统输入X(t)为平稳随机过程，其均值为

对于物理可实现系统系统输出随机信号的均值是常数第10页,共68页，星期六，2024年，5月2024/7/5112.1

时域分析—均方值由于X(t)为平稳随机过程，对于物理可实现系统第11页,共68页，星期六，2024年，5月2024/7/5122.1

时域分析—自相关函数当一个宽平稳随机信号输入到线性时不变稳定系统时，其输出随机信号也是宽平稳的。对于物理可实现系统第12页,共68页，星期六，2024年，5月2024/7/5132.1

时域分析—自相关函数若输入随机过程是严平稳的，则系统的输出也将是严平稳的；若输入是各态历经过程，则输出也具有各态历经性。第13页,共68页，星期六，2024年，5月2024/7/5142.1

时域分析—互相关函数若X(t)是平稳过程，则第14页,共68页，星期六，2024年，5月2024/7/5152.1

时域分析—互相关函数输入X(t)是平稳过程输出Y(t)也是平稳过程X(t)和Y(t)是联合平稳的

第15页,共68页，星期六，2024年，5月2024/7/5162.1

时域分析—系统输入为随机过程与加性噪声

线性系统h(t)X1(t)X2(t)X(t)Y(t)假设随机过程X1(t)、X2(t)是各自平稳且联合平稳的，它们之和X(t)通过线性系统后，产生对应的两个随机过程Y1(t)、Y2(t)之和Y(t)，可证得(1)Y1(t)、Y2(t)是各自平稳且联合平稳的；(2)X(t)和Y(t)也是联合平稳的。第16页,共68页，星期六，2024年，5月2024/7/5172.1

时域分析—系统输入为随机过程与加性噪声若输入的两个平稳过程X1(t)和X2(t)是不相关的，则有若输入的两个平稳随机过程的数学期望为零，则有

线性系统h(t)X1(t)X2(t)X(t)Y(t)第17页,共68页，星期六，2024年，5月2024/7/5182.2

随机信号通过线性系统的频域分析频域分析——功率谱密度自关函数和功率谱密度的关系——傅里叶变换对(1)线性系统输出的功率谱密度(2)系统输入与输出间互功率谱密度第18页,共68页，星期六，2024年，5月2024/7/5192.2

频域分析—系统输出的功率谱密度输出自相关函数和功率谱密度的关系由输入和输出的功率谱密度可确定系统的幅频特性系统的功率传输函数

第19页,共68页，星期六，2024年，5月2024/7/5202.2

频域分析—系统输出的平均功率系统输出的平均功率第20页,共68页，星期六，2024年，5月2024/7/5212.2

频域分析—系统输入与输出间互功率谱密度系统输入与输出间的互相关函数系统输入与输出间的互功率谱密度由和互功率谱密度的测量可以确定线性系统传输函数

第21页,共68页，星期六，2024年，5月2024/7/5222.2

频域分析—系统输入为两个平稳随机信号若输入是两个联合平稳的随机过程X1(t)和X2(t)之和，则有输出功率谱密度

第22页,共68页，星期六，2024年，5月2024/7/523若输入的两个联合平稳的随机过程X1(t)和X2(t)是不相关的输出功率谱密度

2.2

频域分析—系统输入为两个平稳随机信号第23页,共68页，星期六，2024年，5月2024/7/5242.2频域分析—系统输入为两个平稳随机信号若输入的两个联合平稳的随机过程X1(t)和X2(t)的数学期望均为0输出功率谱密度

第24页,共68页，星期六，2024年，5月2024/7/525线性系统1随机信号通过线性系统2白噪声通过线性系统3随机序列通过线性系统4第25页,共68页，星期六，2024年，5月2024/7/5263

白噪声通过线性系统白噪声是具有均匀功率谱密度的平稳随机过程系统输出功率谱密度

设线性系统的传输函数为，输入白噪声功率谱密度为

输入信号是白噪声，则输出随机信号的功率谱主要是由系统的幅频特性决定；系统只允许与其频率特性一致的频率分量通过，具有一定的选择性。第26页,共68页，星期六，2024年，5月2024/7/5273

白噪声通过线性系统——输出自相关函数系统输出功率谱密度

系统输出自相关函数系统输出平均功率第27页,共68页，星期六，2024年，5月2024/7/5283

白噪声通过线性系统——等效噪声带宽在一般的线性系统中，通常用3dB带宽来表示系统对输入确定信号频谱的选择性；等效噪声带宽则用来描述系统对输入白噪声功率谱的选择性。它们都仅由系统本身的参数决定。

第28页,共68页，星期六，2024年，5月当系统比较复杂时，计算系统输出噪声的统计特性是困难的。在实际中为了计算方便，常常用一个幅频响应为矩形的理想系统等效代替实际系统，在等效时要用到一个非常重要的概念——等效噪声带宽，它被定义为理想系统的带宽。若在保持平均功率不变的条件下，把实际系统输出功率谱密度等效成一定带宽内为均匀的功率谱密度。若等效的功率谱密度的高度为则这个带宽就定义为等效噪声带宽2024/7/5293

白噪声通过线性系统——等效噪声带宽

等效原则：平均功率相等等效系统的功率谱密度第29页,共68页，星期六，2024年，5月计算实际系统的等效噪声带宽H(0)|H(w)|max|H(w)|0wK|HI(w)|0w功率谱密度为白噪声激励

消耗在1电阻上的系统输出端总平均功率为

理想线性系统对同一白噪声输入的输出总平均功率为等效噪声带宽第30页,共68页，星期六，2024年，5月实际系统的等效噪声带宽为

对于一般的低通滤波器的最大值出现在＝0处，即对于中心频率为带通系统(如单调谐回路)

的最大值出现在处，即第31页,共68页，星期六，2024年，5月3

随机过程的带宽第32页,共68页，星期六，2024年，5月3

随机过程的带宽

信号的等效均方带宽：

定义为归一化功率谱密度的标准差。第33页,共68页，星期六，2024年，5月3

随机过程的带宽第34页,共68页，星期六，2024年，5月A0设白噪声的物理谱输出的物理谱

输出的自相关函数

输出平均功率

输出相关系数

输出相关时间

3

白噪声通过理想低通系统第35页,共68页，星期六，2024年，5月A0设白噪声的物理谱输出的物理谱

输出的自相关函数

输出平均功率

输出相关系数

输出相关时间

3

白噪声通过理想低通系统第36页,共68页，星期六，2024年，5月A0设白噪声的物理谱输出的物理谱

输出的自相关函数

输出平均功率

输出相关系数

输出相关时间

3

白噪声通过理想低通系统第37页,共68页，星期六，2024年，5月A0设白噪声的物理谱输出的物理谱

输出的自相关函数

输出平均功率

输出相关系数

输出相关时间

3

白噪声通过理想低通系统第38页,共68页，星期六，2024年，5月A0设白噪声的物理谱输出的物理谱

输出的自相关函数

输出平均功率

输出相关系数

输出相关时间

3

白噪声通过理想低通系统第39页,共68页，星期六，2024年，5月A0设白噪声的物理谱输出的物理谱

输出的自相关函数

输出平均功率

输出相关系数

输出相关时间

该式表明：输出随机信号的相关时间与系统的带宽成反比。这就是说，系统带宽越宽，相关时间越小，输出随机信号随时间变化(起伏)越剧烈；反之，系统带宽越窄，则越大，输出随机信号随时间变化就越缓慢。

3

白噪声通过理想低通系统第40页,共68页，星期六，2024年，5月A|H

(w)|0系统的中心频率远大于系统的带宽，则称这样的系统为窄带系统。3

白噪声通过理想带通系统第41页,共68页，星期六，2024年，5月若输入白噪声的物理，则输出的物理谱为

3

白噪声通过理想带通系统第42页,共68页，星期六，2024年，5月输出相关函数为

3

白噪声通过理想带通系统第43页,共68页，星期六，2024年，5月输出自相关函数等于与的乘积，其中只包含的成分。当满足时，与相比，是的慢变化函数，而是的快变化函数。可见是RY()的慢变化部分是RY()的包络。而是RY()的快变化部分．

理想带通系统输出的相关函数等于其相应的低通系统输出的相关函数与的乘积。3

白噪声通过理想带通系统第44页,共68页，星期六，2024年，5月3

白噪声通过理想带通系统第45页,共68页，星期六，2024年，5月输出的相关系数为

带通系统输出的平均功率为

带通系统的相关时间是由相关系数的慢变部分定义的，因此带通系统的相关时间与低通系统的相关时间一致：3

白噪声通过理想带通系统第46页,共68页，星期六，2024年，5月

高斯带通系统的频率响应为：设输入白噪声的功率谱系统输出功率谱为

3

白噪声通过理想高斯线性系统第47页,共68页，星期六，2024年，5月

高斯带通系统的频率响应为：设输入白噪声的功率谱输出相关函数

3

白噪声通过理想高斯线性系统第48页,共68页，星期六，2024年，5月

高斯带通系统的频率响应为：设输入白噪声的功率谱输出相关函数

3

白噪声通过理想高斯线性系统第49页,共68页，星期六，2024年，5月

高斯带通系统的频率响应为：设输入白噪声的功率谱输出平均功率

相关系数3

白噪声通过理想高斯线性系统第50页,共68页，星期六，2024年，5月

高斯带通系统的频率响应为：设输入白噪声的功率谱

等效噪声带宽相关时间3

白噪声通过理想高斯线性系统第51页,共68页，星期六，2024年，5月2024/7/5523

最佳线性滤波器

很多应用中需要在噪声背景中检测微弱信号，接收机输出的信噪比越高，越容易估计信号，所以通常以输出信噪比最大作为准则来设计接收机。特别的当噪声是白噪声时，最佳滤波器称为匹配滤波器。第52页,共68页，星期六，2024年，5月2024/7/553线性系统1随机信号通过线性系统2白噪声通过线性系统3随机序列通过线性系统4第53页,共68页，星期六，2024年，5月2024/7/5544

随机序列通过线性系统随机序列通过线性系统后统计特性改变

自相关函数(2)功率谱密度

随机序列通过两类系统(1)一阶FIR滤波器（MA模型）q阶非递归滤波器(2)一阶递归滤波器（AR模型）p阶递归滤波器第54页,共68页，星期六，2024年，5月2024/7/5554

随机序列通过一阶FIR滤波器

一阶FIR滤波器

当a=b=1/2时，平均器b0b1

(n)1nnh(n)系统的冲击响应是有限长度的系统是稳定的，因果的。第55页,共68页，星期六，2024年，5月系统的传递函数取a=1,b=1输入均值为零，相关函数为RX(m)m功率谱为相关函数是有限长度的，X(n)一定是平稳的第56页,共68页，星期六，2024年，5月2024/7/5574

随机序列通过q阶非递归滤波器

输出的自相关函数q阶非递归滤波器

（滑动平均movingaverage模型）

该滤波器也称为横向滤波器（TransversalFilter)，滤波器一定是稳定的和因果的（Stableandcausal）这是一个全零滤波器第57页,共68页，星期六，2024年，5月2024/7/5584

随机序列通过一阶递归滤波器

一阶递归滤波器

第58页,共68页，星期六，2024年，5月系统的传递函数H()

系统稳定的条件：|a|<1第59页,共68页，星期六，2024年，5月均值：mx=E[y(n)]=0假定X(0)=0自相关函数为：y(n)是非平稳的，但当|a|<1时是渐近平稳的。系统稳定的条件和渐近平稳的条件相同第60页,共68页，星期六，2024年，5月2024/7/5614

随机序列通过一阶递归滤波器

一阶递归滤波器

这种滤波器具有“无限长”的记忆，因而对所有的k值输出的自相关函数均不严格为零，即所有的输出时刻对应的随机变量都是相关的。然而，当样本之间的间隔k增加时，可以预料到自相关函数将减小。这表明了随时间间隔的增加，相互依存性减少（滤波器的记忆随时间增大而减小）。第61页,共68页，星期六，2024年，5月2024/7/5624

随机序列通过p阶递归滤波器

p阶递归滤波器

（自回归Autoregresive模型）这是一个全极点滤波器第62页,共68页，星期六