沪教版六年级数学下册期中期末满分冲刺专题09线段与角的画法(难点)(原卷版+解析)

专题09线段与角的画法（难点）一、单选题1．如图，点A，B在直线l上，下列说法错误的是（

）A．线段和线段是同一条线段B．直线和直线是同一条直线C．图中以点A为端点的射线有两条D．射线和射线是同一条射线2．若，，，则（

）A． B． C． D．3．点C是线段的三等分点，点D是线段的中点．若线段，则线段的长为（

）A． B． C．或 D．或4．小王在学习“线段与角”章节有关知识时，有如下说法：（1）若，则的余角的度数为；（2）两点之间直线最短；（3）一个锐角的余角比这个角的补角小90°；（4）互补的两个角一个是锐角一个是钝角．你认为小王以上说法正确的个数为（

）．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．已知点M是线段AB上一点，若，点N是直线AB上的一动点，且，则的（

）A． B． C．1或 D．或26．如图线段，点在射线上从点开始，以每秒的速度沿着射线的方向匀速运动，则时，运动时间为（

）A．秒 B．3秒 C．秒或秒 D．3秒或6秒7．平面内有五个点，过每两个点作一条直线，可以作几条直线（

）A．1条、4条、8条或10条 B．1条、5条、9条或10条C．1条、5条、6条、8条或10条 D．1条或10条8．如果和互补，且，则下列式子中：①；②；③；④，可以表示的余角的有（

）A．①② B．①④ C．①③④ D．①②④9．如图，在同一平面内，，，点为反向延长线上一点（图中所有角均指小于的角）．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个10．如图，若∠AOB=x°，OC是∠AOB的平分线，是∠AOC的平分线，是的平分线，是的平分线，则与大小关系是（

）A．= B．＜ C．＞ D．无法确定二、填空题11．计算：____________；____________°；当时钟指向时间为时，钟表上的时针与分针的夹角为____________度．12．两根木条，用叠合法比较他们的长短时，发现长的比短的长2cm，此时两根木条中点之间的距离是______cm（木条的粗细忽略不计）.13．如图，将三个相同的三角尺角的顶点重合放置，如果，，那么的度数是_____．14．如图，C、D是线段上两点，M、N分别是线段的中点，下列结论：①若，则；②，则；③；④．其中正确的结论是_____．15．如图，和都是直角．固定不动，将绕点O旋转，在旋转过程中，下列结论正确的有______．①如果，那么②是定值③若变小，则变大④16．如图，C为直线上一点，为直角，平分，平分，平分，各学习小组经过讨论后得到以下结论：①与互余；②；③与互补；④．请写出正确结论的序号_____．17．已知：，过点O作射线，平分，如果，且关于x的方程有无数多个解，那么___________．18．有一无弹性细线，拉直时测得细线长为，现进行如下操作：1．在细线上任取一点；2．将细线折叠，使点与点重合，记折点为点；3．将细线折叠，使点与点重合，记折点为点．（1）如图，的长为___________；（2）继续进行折叠，使点与点重合，并把点和与其重叠的点处的细线剪开，使细线分成长为，，的三段，当，则细线未剪开时的长为___________．三、解答题19．如图，已知，，，四点，请按要求作图，并解答．(1)画直线；(2)画射线；(3)连接与射线交于点；(4)若点是线段的中点，，，求MP的长．20．已知∠α、∠β，用尺规画出∠AOB=∠α+2∠β．（不写作法，标明字母）21．已知点B在线段上，点D在线段上．(1)如图1，若，D为线段的中点，求线段的长度；(2)如图2，若，E为线段的中点，，求线段的长度．22．已知线段a、b（如图），用直尺和圆规在方框内按以下步骤作图：（保留作图痕迹，不要求写出作法和结论）①画射线OP；②在射线OP上顺次截取OA＝a，AB＝a；③在线段OB上截取BC＝b；④作出线段OC的中点D．(1)根据以上作图可知线段OC＝；（用含有a、b的式子表示）(2)如果OD＝2厘米，CD＝2AC，那么线段BC＝厘米．23．如图，以点为O端点按顺时针方向依次作射线、、、、．并且使是的平分线，是的平分线．(1)若，，求的度数；(2)若，，求的度数；(3)当时，求的度数（用含n的式子表示）．24．已知点О为直线上一点，将直角三角板的直角顶点放在点O上，并在内部作射线．(1)如图l，三角板的一边与射线重合．①的余角是___________，补角是___________；②若，则的度数为___________；(2)如图2，将三角板放置到如图位置，使恰好平分，且，求的度数；(3)若仍将三角板按照如图2的方式放置，仅满足平分，试猜想与之间的数量关系为___________．25．图①是由一副三角尺拼成的图案．(1)图①中，的度数为___________度；(2)将图①中的三角尺绕点B旋转（）度能否使？若能，请写出当时，的度数；若不能，说明理由（图②③供参考）．26．如图1所示是某款手表实物图，其示意图如图2所示，已知表盘是以O为圆心，以厘米为半径的圆，为圆的直径，其中时针为线段，分针为线段，且点A、B、O、C、D都在同一条直线上．(1)若点B，C是线段的三等分点，求表长．(2)若手表显示是9点30分．①求此时时针与分针的夹角的大小；②此时，作射线，使，求的大小；(3)自9点30分起，至10点30分止，在这一小时期间，时针和分针在不停地旋转．若射线是的平分线，它也随之运动，则经过多少分钟后，恰好能使？27．将一副三角板如图1放置（，，，），在、（、）内作射线、，且，，将三角板绕着点顺时针旋转．(1)如图1，当点、A、在一条直线上时，______；(2)如图2，若旋转角为（），的度数是否会发生改变？若不变，求其值；若变化，说明理由．(3)如图3，当三角板旋转到内部时，求的值．28．综合与实践【问题发现】在数学探究课上，王老师带领同学们结束角平分线的探究后，安排同学打自主探究角的三等分线．小明进行了如下探究，如图①，若射线，是的三等分线，则称更靠近边的射线是射线的“友好线”，靠近边的射线是射线的“友好线”．(1)如图②，，射线是射线的友好线，求的度数．(2)【问题探究】如图③，，射线与射线重合并绕点O以每秒的速度逆时针方向旋转，与射线重合时停止．问旋转几秒后，是的“友好线”．(3)【问题拓展】如图④，，射线，分别与射线，重合，射线绕点O以每秒的速度逆时针方向旋转，同时射线绕点O以每秒的速度顺时针方向旋转，是否存在某一刻恰好是的“友好线”，若存在，求出时间t秒；若不存在，请说明理由．29．已知点O为直线AB上一点．(1)如图1，过点O作射线OC，使∠AOC：∠BOC＝3：2，求∠AOC与∠BOC的度数；(2)如图2，射线OC为∠AOB内部任意一条射线，射线OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的角平分线，写出∠DOE＝°，此时图中互余的角有对，互补的角有对．(3)如图3，在第（2）小题情况下，保持∠DOE的度数不变，但改变其他条件，并使得射线OC是∠BOD的角平分线，此时∠AOD与∠COE满足怎样的数量关系？并说明理由．30．如图，P是定长线段AB上一点，C、D两点分别从P、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线AB向左运动（C在线段AP上，D在线段BP上）（1）若C、D运动到任一时刻时，总有PD＝2AC，请说明P点在线段AB上的位置：（2）在（1）的条件下，Q是直线AB上一点，且AQ﹣BQ＝PQ，求的值．（3）在（1）的条件下，若C、D运动5秒后，恰好有，此时C点停止运动，D点继续运动（D点在线段PB上），M、N分别是CD、PD的中点，下列结论：①PM﹣PN的值不变；②的值不变，可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值．31．【阅读理解】如图1，一套三角板如图拼在一起，我们将三角板COD绕点O以每秒15°的速度顺时针旋转180°．【解决问题】（1）在旋转过程中，∠AOB、∠AOC、∠BOC之间有怎样的数量关系？（2）当运动时间为9秒时，图中有角平分线吗？找出并说明理由．（3）运动过程中，如图2，形成的三个角：∠AOB、∠AOC、∠BOC，当其中一个角的度数是另一个角的两倍时，则称射线OC是∠AOB的“优线”．①第（2）问中旋转后的射线OC是“优线”吗？为什么？②在整个旋转过程中，若旋转时间记为t秒，当射线OC是“优线”时，请直接写出所有满足条件的t值．32．定义：若，且，则我们称是的差余角．例如：若，则的差余角，(1)如图1，点O在直线AB上，射线OE是∠BOC的角平分线，若∠COE是∠AOC的差余角，求∠BOE的度数；(2)如图2，点O在直线AB上，若∠BOC是∠AOE的差余角，那么∠BOC与∠BOE有什么数量关系；(3)已知，点O在直线AB上，若∠COE是∠AOC的差余角，且OE与OC在直线AB的同侧，请你探究是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．专题09线段与角的画法（难点）一、单选题1．如图，点A，B在直线l上，下列说法错误的是（

）A．线段和线段是同一条线段B．直线和直线是同一条直线C．图中以点A为端点的射线有两条D．射线和射线是同一条射线【答案】D【分析】根据线段、射线、直线的特点判断即可．【解析】线段和线段是同一条线段，故A正确；直线和直线是同一条直线，故B正确；图中以点A为端点的射线有两条，故C正确；射线和射线不是同一条射线，故D错误；故选D．【点睛】本题考查了线段、射线、直线的特点，熟练掌握各自的特点是解题的关键．2．若，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先∠1、∠2已经是度、分、秒的形式，故将∠3化为度、分、秒的形式；再根据三个角的度数进行大小比较，即可得到结论．【解析】∵，，=25°，∴．故选A．【点睛】本题主要考查了角的大小比较，熟练掌握同一角的单位比较角的大小并灵活运用是解决本题的关键．3．点C是线段的三等分点，点D是线段的中点．若线段，则线段的长为（

）A． B． C．或 D．或【答案】D【分析】根据题意分两种情况作图，由线段之间的关系即可求解．【解析】∵点C是线段的三等分点，如图所示，当时，∴∵点D是线段的中点∴∴；如图所示，当时，∴∵点D是线段的中点∴∴；综上所述，线段的长为或．故选：D．【点睛】此题主要考查线段之间的关系，解题的关键是熟知线段的和差关系．4．小王在学习“线段与角”章节有关知识时，有如下说法：（1）若，则的余角的度数为；（2）两点之间直线最短；（3）一个锐角的余角比这个角的补角小90°；（4）互补的两个角一个是锐角一个是钝角．你认为小王以上说法正确的个数为（

）．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】利用余角的计算方法可判断说法（1）；利用线段公理可判断说法（2）；利用余角和补角的定义计算后可判断说法（3）；利用互补的定义可以判断说法（4）．【解析】（1），故正确；（2）两点之间线段最短，故错误；（3）设这个锐角为α度，则且余角为度，其补角为度，故余角比锐角小90°，故正确；（4）互补的两个角也可能都是直角，故错误．故选：B．【点睛】本题考查了线段与角的有关知识，理解掌握已经学过的基础知识是解题的关键．5．已知点M是线段AB上一点，若，点N是直线AB上的一动点，且，则的（

）A． B． C．1或 D．或2【答案】C【分析】根据N在线段AB上和线段AB外分情况讨论，再结合线段关系即可解题．【解析】当N在射线BA上时，，不合题意当N在射线AB上时，，此时当N在线段AB上时，由图可知∴，∴∵∴∴∴故选：C．【点睛】本题考查线段和差计算，解题的关键是画出图形根据图像找到线段直接的和差关系．6．如图线段，点在射线上从点开始，以每秒的速度沿着射线的方向匀速运动，则时，运动时间为（

）A．秒 B．3秒 C．秒或秒 D．3秒或6秒【答案】C【分析】根据题意可知，当PB=AB时，点P可以位于点B两侧，则通过分类讨论问题可解．【解析】解：由已知当PB=AB时，PB=，设点P运动时间为t秒，则AP=2t当点P在B点左侧时2t+=8解得t=，当点P在B点左侧时2t-=8解得t=所以t=或t=．故选：C．【点睛】本题考查了一元一次方程以及分类讨论的数学思想，解答时注意根据已知的线段数量关系构造方程．7．平面内有五个点，过每两个点作一条直线，可以作几条直线（

）A．1条、4条、8条或10条 B．1条、5条、9条或10条C．1条、5条、6条、8条或10条 D．1条或10条【答案】C【分析】根据5,4在一条直线上,3点都不在一条直线上,五点都不在一条直线上,分别画出图形,即可求得画的直线的条数.【解析】解:如下图，分以下四种情况：①当五点在同一直线上，如图：故可以画1条不同的直线；②当有四个点在同一直线上，故可以画5不同的直线；③当有两个三点在同一直线上，故可以画6条不同的直线；④当有三个点在同一直线上，故可以画8不同的直线；⑤当五个点都不在同一直线上时，因此当n=5时，一共可以画×5×4=10条直线．故可以作1条、5条、6条，8条或10条直线．故选C．【点睛】本题主要考查了平面上直线的确定方法，由于没有明确平面上五点的位置关系，所以是否全面的类讨论是解答本题的关键.8．如果和互补，且，则下列式子中：①；②；③；④，可以表示的余角的有（

）A．①② B．①④ C．①③④ D．①②④【答案】D【分析】根据与互补，得出，，求出的余角是，表示的余角，即可判断①；，即可判断②；，即可判断③；求出，即可判断④．【解析】解：与互补，，，表示的余角，①正确；，②正确，③错误；，④正确．故选：D．【点睛】本题考查了对余角和补角的理解和运用，注意：与互补，得出，；的余角是是解题的关键．9．如图，在同一平面内，，，点为反向延长线上一点（图中所有角均指小于的角）．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】由∠AOB=∠COD=90°，根据等角的余角相等得到∠AOC=∠BOD，结合即可判断①正确；由∠AOD+∠BOC=∠AOD+∠AOC+∠AOD+∠BOD，结合即可判断②正确；由∠BOC-∠AOD=∠AOC+90°-∠AOD，而不能判断∠AOD=∠AOC，即可判断③不正确；由E、O、F三点共线得∠BOE+∠BOF=180°，而∠COE=∠BOE，从而可判断④正确．【解析】解：∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠AOC=∠BOD，而∠AOF=∠DOF，∴180°-∠AOC-∠AOF=180°-∠BOD-∠DOF，即∠COE=∠BOE，所以①正确；∠AOD+∠BOC=∠AOD+∠AOC+∠AOD+∠BOD=∠COD+∠AOB=180°，所以②正确；∠COB-∠AOD=∠AOC+90°-∠AOD，而，所以③不正确；∵E、O、F三点共线，∴∠BOE+∠BOF=180°，∵∠COE=∠BOE，∴∠COE+∠BOF=180°，所以④正确．所以，正确的结论有3个．故选：C．【点睛】题考查了余角和补角、角度的计算、余角的性质以及角平分线的定义等知识，准确识图是解题的关键．10．如图，若∠AOB=x°，OC是∠AOB的平分线，是∠AOC的平分线，是的平分线，是的平分线，则与大小关系是（

）A．= B．＜ C．＞ D．无法确定【答案】C【分析】根据角平分线的性质可得，，，进而可得，即有，据此即可作答．【解析】∵OC平分∠AOB，，∴，∵OC1平分∠AOC，∴，∵OC2平分，∴，依次类推可知：，∴可知，∴，∴，∵根据题意可知，∴，即有：，故选：C．【点睛】本题主要考查了图形规律的探索，依据角平分线的性质推导出是解答本题的关键．二、填空题11．计算：____________；____________°；当时钟指向时间为时，钟表上的时针与分针的夹角为____________度．【答案】【分析】①利用角度的四则运算即可得到答案；②根据、进行换算，即可得到答案；③根据时针一小时转，一分钟转，分针一分钟转，分别计算时针、分针与0点的夹角，计算角度差即可得到答案．【解析】解：①，故答案为：；②，，，，故答案为：；③当时钟指向时间为时，时针走过小时，分钟走过分钟，时针与0点的夹角为，分针与0点的夹角为，钟表上的时针与分针的夹角为，故答案为：．【点睛】本题考查了角度的四则运算，角的单位换算，钟面角，解题关键是掌握角度的加法法则：进行角度的加法运算时，同单位相加，即度与度相加、分与分相加、秒与秒相加，秒够60进1分，分够60进1度；同时也要掌握时针一小时转，一分钟转，分针一分钟转．12．两根木条，用叠合法比较他们的长短时，发现长的比短的长2cm，此时两根木条中点之间的距离是______cm（木条的粗细忽略不计）.【答案】1【分析】根据点D是的中点，点E是的中点，得，整理得，即可得答案．【解析】解：如下图，点D是的中点，点E是的中点，，点D是的中点，点E是的中点，，，故答案为：1．【点睛】本题考查了线段的中点及线段的和差，熟练掌握线段的中点及线段的和差的计算方法是解题的关键．13．如图，将三个相同的三角尺角的顶点重合放置，如果，，那么的度数是_____．【答案】/12度【分析】根据，得到，即可求解．【解析】解：如图，，，，，故答案为：【点睛】本题考查了角度的计算，解题的关键是熟练掌握角的和差定义，灵活运用知识点解决问题．14．如图，C、D是线段上两点，M、N分别是线段的中点，下列结论：①若，则；②，则；③；④．其中正确的结论是_____．【答案】①②③【分析】由可得得出，由中点的意义得出，进一步得出，从而可判断①正确；由可得，由中点的意义可得结论，从而判断②正确；由由中点的意义可得代入可判断③正确；由得，代入可得故可判断④错误．【解析】解：如图∵，∴∴，∴，∴，∴，即，故①正确；∵，∴，∵M、N分别是线段的中点，∴，∴，故②正确；∵M、N分别是线段的中点，∴∵，∴，故③正确；∵，∴，∵，∴，故④错误，故答案为：①②③．【点睛】本题考查了两点间的距离，能够利用中点的性质求解一些线段之间的关系是解题的关键．15．如图，和都是直角．固定不动，将绕点O旋转，在旋转过程中，下列结论正确的有______．①如果，那么②是定值③若变小，则变大④【答案】①②③④【分析】由题意得到，，进行整理即可分别进行判断．【解析】解：，，，，，即，即，当，则，故①正确；，，故②正确；，若变小，则变大，故③正确；，，，故④正确；综上所述，故答案为：①②③④．【点睛】本题考查了角的有关计算；解题的关键是结合图形对角进行正确拆分、组合．16．如图，C为直线上一点，为直角，平分，平分，平分，各学习小组经过讨论后得到以下结论：①与互余；②；③与互补；④．请写出正确结论的序号_____．【答案】①③④【分析】①由平分，平分可得，进而可得与互余；②平分，结合①可求；先证，进而可证与互补；④由，可判断④正确．【解析】解：∵平分，平分，∴，，∴，∴，∴，即与互余，故①正确；∵平分，∠，∵，∴，故②错误；∵，∴∴，∴，∵，∴与互补，故③正确；∵，，∴，故④正确．故答案为：①③④．【点睛】本题考查余角和补角，角平分线的定义，角的和差，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．17．已知：，过点O作射线，平分，如果，且关于x的方程有无数多个解，那么___________．【答案】或/或【分析】先通过方程有无数多个解解出的值，然后分类讨论C点的位置直接求解即可．【解析】关于x的方程有无数多个解，则，解得1.当C在内部时，如图平分，设，则，，，解得2.当C在外部时，如图平分，设，则，，，解得综上所述：或．故答案为：或．【点睛】此题考查一元一次方程解的情况，以及角的计算，解题关键是无数组解的情况是未知数的系数和常数项分别为0，解题技巧是射线需要分类讨论不同的位置．18．有一无弹性细线，拉直时测得细线长为，现进行如下操作：1．在细线上任取一点；2．将细线折叠，使点与点重合，记折点为点；3．将细线折叠，使点与点重合，记折点为点．（1）如图，的长为___________；（2）继续进行折叠，使点与点重合，并把点和与其重叠的点处的细线剪开，使细线分成长为，，的三段，当，则细线未剪开时的长为___________．【答案】42或6【分析】（1）根据点与是线段的中点即可得到答案；（2）根据条件得到，分两种情况：当时，当时以及当时讨论即可．【解析】解：（1）点为的中点，点为的中点，，，；（2），细线剪开后分成，，三段，，当时，，，，，，，；当时，，，，，，，．故答案为：；或．【点睛】本题主要考查线段中点的计算，根据条件得出线段之间的关系式是解题的关键．三、解答题19．如图，已知，，，四点，请按要求作图，并解答．(1)画直线；(2)画射线；(3)连接与射线交于点；(4)若点是线段的中点，，，求MP的长．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析(4)2【分析】（1）（2）（3）根据直线，射线，线段的定义画出图形即可；（4）求出，根据进行计算求解．【解析】（1）如图，直线即为所求，（2）如图，射线即为所求，（3）如图，线段，点即为所求，（4）∵，，∴，∵点是线段的中点，∴，∴．【点睛】本题考查作图-复杂作图，直线，线段，射线的定义等知识，解题的关键是掌握直线，射线，线段的定义，属于中考常考题型．20．已知∠α、∠β，用尺规画出∠AOB=∠α+2∠β．（不写作法，标明字母）【答案】见解析【分析】根据用尺规作图作角等于已知角作图即可．【解析】解：分别以∠α、∠β的顶点为圆心，任意长度为半径作弧，分别交∠α、∠β的边于P、Q、M、N；作射线OB，以O为圆心，以相同长度为半径作一个优弧，交射线OB于点C，以C为圆心，PQ的长度为半径作弧，交优弧于点D，作射线OD，再以D为圆心，MN的长为半径作弧，交优弧（∠DOB外部）于点E，作射线OE，然后以E为圆心，MN的长为半径作弧，交优弧（∠EOB外部）于点A，作射线OA，如图所示：∠AOB=∠α+2∠β，∠AOB即为所求．【点睛】此题考查的是用尺规作图作角等于已知角，掌握用尺规作图作角等于已知角是解决此题的关键．21．已知点B在线段上，点D在线段上．(1)如图1，若，D为线段的中点，求线段的长度；(2)如图2，若，E为线段的中点，，求线段的长度．【答案】(1)线段的长度为；(2)线段的长度为．【分析】（1）由线段的中点，线段的和差求出线段的长度为；（2）由线段的中点，线段的和差倍分求出的长度为．【解析】（1）解：如图1所示：∵，∴，又∵D为线段的中点，∴，∴；（2）解：如图2所示，设，∵，∴，∴，∴，∵E为线段的中点，∴，∴，又∵，∴，解得：，∴．【点睛】本题综合考查了线段的中点，线段的和差倍分等相关知识点，重点掌握直线上两点之间的距离公式计算方法．22．已知线段a、b（如图），用直尺和圆规在方框内按以下步骤作图：（保留作图痕迹，不要求写出作法和结论）①画射线OP；②在射线OP上顺次截取OA＝a，AB＝a；③在线段OB上截取BC＝b；④作出线段OC的中点D．(1)根据以上作图可知线段OC＝；（用含有a、b的式子表示）(2)如果OD＝2厘米，CD＝2AC，那么线段BC＝厘米．【答案】(1)作图见解答，(2)6【分析】利用基本作图画出对应的几何图形，（1）根据线段的和差得到；（2）先利用点为的中点得到厘米，则厘米，然后利用进行计算．【解析】（1）解：如图，；故答案为：；（2）解：点为的中点，厘米，，厘米，（厘米）；故答案为：6．【点睛】本题考查了作图复杂作图，两点间的距离，解题的关键是掌握复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．23．如图，以点为O端点按顺时针方向依次作射线、、、、．并且使是的平分线，是的平分线．(1)若，，求的度数；(2)若，，求的度数；(3)当时，求的度数（用含n的式子表示）．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据角平分线的定义求出，，即可求出结果；（2）根据角平分线的定义得出，，设，则，根据列出方程，解方程得出，再根据角度之间的关系即可得出答案；（3）设，，根据图形得出，，根据列出等式，得出即可得出答案．【解析】（1）解：∵是的平分线，∴，∵是的平分线，∴，∴；（2）解：∵平分，平分，∴，，设，，∴，∴，解得：，即，∴．（3）解：设，，依题意可知，，；由得：，，∴．【点睛】本题主要考查了角平分线的有关计算，解题的关键是熟练掌握角平分线的定义，数形结合．24．已知点О为直线上一点，将直角三角板的直角顶点放在点O上，并在内部作射线．(1)如图l，三角板的一边与射线重合．①的余角是___________，补角是___________；②若，则的度数为___________；(2)如图2，将三角板放置到如图位置，使恰好平分，且，求的度数；(3)若仍将三角板按照如图2的方式放置，仅满足平分，试猜想与之间的数量关系为___________．【答案】(1)①，；②(2)(3)【分析】（1）①根据余角和补角的定义进行解答即可；②根据和即可得出答案；（2）设，则，根据恰好平分，得出，根据列出方程，解方程，得出x的值，求出，即可得出答案；（3）设，，则，根据平分，得出，根据，得出，即可得出答案．【解析】（1）解：①∵，，∴的余角是，补角是；故答案为：，；②∵，∴，∵，∴，故答案为：；（2）解：设，则，∴，∵恰好平分，∴，∴，解得：，∴，∴；（3）解：设，，则，∵平分，∴，∴，∵，∴，整理得：，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查了余角和补角的定义，角平分线的定义，解题的关键是数形结合，熟练掌握角平分线的定义．25．图①是由一副三角尺拼成的图案．(1)图①中，的度数为___________度；(2)将图①中的三角尺绕点B旋转（）度能否使？若能，请写出当时，的度数；若不能，说明理由（图②③供参考）．【答案】(1)(2)能，120°或80°【分析】（1）直接根据三角板中角度的特点进行求解即可；（2）分三种情况：当逆时针旋转（），当逆时针旋转（），当顺时针旋转度，根据角度之间的关系建立方程求解即可．【解析】（1）解：由题意得，，∴，故答案为：；（2）解：第一种情况：逆时针旋转（），∵，∴，解得，∴．第二种情况：逆时针旋转（），∵，∴，解得，∴．第三种情况：顺时针旋转，∵，∴，解得．∵，∴不合题意，舍去．综上，当时，的度数为120°或80°．【点睛】本题主要考查了三角板中角度的计算，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．26．如图1所示是某款手表实物图，其示意图如图2所示，已知表盘是以O为圆心，以厘米为半径的圆，为圆的直径，其中时针为线段，分针为线段，且点A、B、O、C、D都在同一条直线上．(1)若点B，C是线段的三等分点，求表长．(2)若手表显示是9点30分．①求此时时针与分针的夹角的大小；②此时，作射线，使，求的大小；(3)自9点30分起，至10点30分止，在这一小时期间，时针和分针在不停地旋转．若射线是的平分线，它也随之运动，则经过多少分钟后，恰好能使？【答案】(1)（厘米）(2)①105°；②75°或135°(3)经过或30分钟后，恰好能使【分析】（1）由线段的三等分点的含义可得答案；（2）①由时针每分钟走，结合钟面上每格的角度为，从而可得答案；②射线有两种可能需分类讨论：如图，当射线在的内部时，；当射线在的外部时，再结合角的和差关系可得答案；（3）分两种情况讨论：所以当分针未追上时针前，如图，当分针追上时针后，如图，再建立方程解题即可．【解析】（1）解：∵点B，C是线段的三等分点，∴，∴此时表长（厘米）．（2）①∵时针每分钟走，分针每分钟走，而钟面上每格的角度为，∴．②要使，射线有两种可能需分类讨论：如图，当射线在的内部时，；当射线在的外部时，．（3）∵射线是的平分线，且，∴．设自9点30分起经过t分钟，则，∵9点30分时时针与分针所成的夹角为105°，所以当分针未追上时针前，如图，∴，解得；当分针追上时针后，如图，∴，解得综上，经过或30分钟后，恰好能使．【点睛】本题考查的是线段的和差关系，线段的三等分点的含义，钟面角的含义，角的旋转定义的理解，一元一次方程的应用，理解题意，建立方程解题是关键．27．将一副三角板如图1放置（，，，），在、（、）内作射线、，且，，将三角板绕着点顺时针旋转．(1)如图1，当点、A、在一条直线上时，______；(2)如图2，若旋转角为（），的度数是否会发生改变？若不变，求其值；若变化，说明理由．(3)如图3，当三角板旋转到内部时，求的值．【答案】(1)(2)的度数不发生改变，且；(3)【分析】（1）先根据点、A、在一条直线上，，求出，根据，求出，即可得出答案；（2）根据旋转得出，，根据，，得出，，根据得出结果即可；（3）根据，，结合，，得出，，求出，根据求出结果即可．【解析】（1）解：∵点、A、在一条直线上，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴；故答案为：；（2）解：的度数不发生改变，且；∵旋转角为，∴，，∵，，∴，，∴；（3）解：当三角板旋转到内部时，，，∵，，∴，，∴，∴．【点睛】本题主要考查了几何图形中的角度计算，解题的关键是数形结合，搞清楚度数间的数量关系．28．综合与实践【问题发现】在数学探究课上，王老师带领同学们结束角平分线的探究后，安排同学打自主探究角的三等分线．小明进行了如下探究，如图①，若射线，是的三等分线，则称更靠近边的射线是射线的“友好线”，靠近边的射线是射线的“友好线”．(1)如图②，，射线是射线的友好线，求的度数．(2)【问题探究】如图③，，射线与射线重合并绕点O以每秒的速度逆时针方向旋转，与射线重合时停止．问旋转几秒后，是的“友好线”．(3)【问题拓展】如图④，，射线，分别与射线，重合，射线绕点O以每秒的速度逆时针方向旋转，同时射线绕点O以每秒的速度顺时针方向旋转，是否存在某一刻恰好是的“友好线”，若存在，求出时间t秒；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)旋转20秒后，是的“友好线”(3)存在；当或时，恰好是的“友好线”【分析】（1）根据“友好线”定义求出的度数即可；（2）根据“友好线”定义求出的度数，然后再求出的度数，根据旋转速度求出旋转时间，即可得出答案；（3）分两种情况讨论，当在右侧时，当在左侧时，分别画出图形，列出关于t的方程，解方程即可得出答案．【解析】（1）解：∵，∴当射线是射线的“友好线”时，．（2）解：∵，∴当是的“友好线”时，，∴，∴旋转时间为（秒），即旋转20秒后，是的“友好线”．（3）解：存在；当或时，恰好是的“友好线”．当在右侧时，如图所示：此时，，∵恰好是的“友好线”，∴，∴，解得：；当在右侧时，如图所示：此时，，∵恰好是的“友好线”，∴，∴，解得：；综上分析可知，当或时，恰好是的“友好线”．【点睛】本题主要考查了几何图形中的角度计算，解题的关键是理解题目中“友好线”的定义，数形结合，注意分类讨论．29．已知点O为直线AB上一点．(1)如图1，过点O作射线OC，使∠AOC：∠BOC＝3：2，求∠AOC与∠BOC的度数；(2)如图2，射线OC为∠AOB内部任意一条射线，射线OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的角平分线，写出∠DOE＝°，此时图中互余的角有对，互补的角有对．(3)如图3，在第（2）小题情况下，保持∠DOE的度数不变，但改变其他条件，并使得射线OC是∠BOD的角平分线，此时∠AOD与∠COE满足怎样的数量关系？并说明理由．【答案】(1)∠AOC＝180°，∠BOC＝72°．(2)90，4，5．(3)∠AOD＝2∠COE．理由见解析．【分析】（1）设∠AOC＝3x，则∠BOC＝2x.然后根据平角180°列方程求得x，进而完成解答；（2）先根据角平分线的定义可得∠COD＝∠AOC、∠COE＝∠BOC，然后再结合∠DOE＝∠COD+∠COE即可求得90°；然后根据余角、补角的定义即可确定余角和补角的对数；（3）根据射线OC是∠BOD的角平分线可得∠BOC＝90°﹣∠AOD，然后再根据∠AOD+∠DOC+∠BOC＝180°即可解答．【解析】（1）解：设∠AOC＝3x，则∠BOC＝2x，根据题意得：3x+2x＝180°，∴x＝36°，∴∠AOC＝180°，∠BOC＝72°．（2）解：∵射线OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的角平分线，∴∠COD＝∠AOC，∠COE＝∠BOC，∴∠DOE＝∠COD+∠COE＝（∠AOC+∠BOC）＝×180°＝90°；∵∠COD+∠COE＝90°，∠AOD+∠COE＝90°，∠AOD+∠BOE＝90°，∠COD+∠BOE＝90°，∴互余的角有4对；∵∠AOD+∠BOD＝180°，∠COD+∠BOD＝180°，∠BOE+∠AOE＝180°，∠COE+∠AOE＝180°，∠AOC+∠BOC＝180°，∴互补的角有5对．故答案为：90，4，5．（3）解：∠AOD＝2∠COE．理由如下：∵射线OC是∠BOD的角平分线，∴∠BOC＝∠BOD＝（180°﹣∠AOD）＝90°﹣∠AOD，∵∠AOD+∠DOC+∠BOC＝180°，∴∠AOD+（90°﹣∠COE）+（90°﹣∠AOD）＝180°，∴∠AOD＝2∠COE．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、平角的定义、补角、余角的定义，灵活运用相关定义成为解答本题的关键．30．如图，P是定长线段AB上一点，C、D两点分别从P、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线AB向左运动（C在线段AP上，D在线段BP上）（1）若C、D运动到任一时刻时，总有PD＝2AC，请说明P点在线段AB上的位置：（2）在（1）的条件下，Q是直线AB上一点，且AQ﹣BQ＝PQ，求的值．（3）在（1）的条件下，若C、D运动5秒后，恰好有，此时C点停止运动，D点继续运动（D点在线段PB上），M、N分别是CD、PD的中点，下列结论：①PM﹣PN的值不变；②的值不变，可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值．【答案】（1）点P在线段AB上的处；（2）；（3）②的值不变.【分析】（1）根据C、D的运动速度知BD=2PC，再由已知条件PD=2AC求得PB=2AP，所以点P在线段AB上的处；（2）由题设画出图示，根据AQ-BQ=PQ求得AQ=PQ+BQ；然后求得AP=BQ，从而求得PQ与AB的关系；（3）当点C停止运动时，有CD＝AB，从而求得CM与AB的数量关系；然后求得以AB表示的PM与PN的值，所以MN＝PN−PM＝AB．【解析】解：（1）由题意：BD=2PC∵PD=2AC，∴BD+PD=2（PC+AC），即PB=2AP.∴点P在线段AB上的处；（2）如图：∵AQ-BQ=PQ，∴AQ=PQ+BQ，∵AQ=AP+PQ，∴AP=BQ，∴PQ=AB，∴（3）②的值不变.理由：如图，当点C停止运动时，有CD=AB，∴CM=AB，∴PM=CM-CP=AB-5，∵PD=AB-10，∴PN=AB-10）=AB-5，∴MN=PN-PM=AB，当点C停止运动，D点继续运动时，MN的值不变，所以.【点睛】本题考查了比较线段的长短．利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．31．【阅读理解】如图1，一套三角板如图拼在一起，我们将三角板COD绕点O以每秒15°的速度顺时针旋转180°．【解决问题】（1）在旋转过程中，∠AOB、∠AOC、∠BOC之间有怎样的数量关系？（2）当运动时间为9秒时，图中有角平分线吗？找出并说明理由．（3）运动过程中，如图2，形成的三个角：∠AOB、∠AOC、∠BOC，当其中一个角的度数是另一个角的两倍时，则称射线OC是∠AOB的“优线”．①第（2）问中旋转后的射线OC是“优线”吗？为什么？②在整个旋转过程中，若旋转时间记为t秒，当射线OC是“优线”时，请