2024-2025学年新教材高中数学第4周检测高一30%+第一章20%+直线的方程50%新人教A版选择性必修第一册

第4周检测(高一30%+第一章20%+直线的方程50%)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知a,b∈R,i为虚数单位,则“复数z=a+bi是虚数,但不是纯虚数”是“a2+b2≠0”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2.已知A(-1,-4),B(λ,2)两点所在直线的倾斜角为3π4,则实数λ的值为(A.-7 B.-5 C.-2 D.23.函数f(x)=xx2+14.已知直线x+ay-1=0与直线(a-1)x+ay+1=0平行,则实数a的值是()A.2或0 B.2 C.0 D.-25.已知△ABC中,|AB|=2,|AC|=3,且△ABC的面积为32,则A=(A.30° B.30°或150° C.60° D.60°或120°6.直线l过点P(2,-1)且在两坐标轴上的截距之和为0,则直线l的方程为()A.x-y-3=0 B.2x+y-3=0C.x+2y=0或x-y-3=0 D.x+y-1=0或2x+y-3=07.如图,已知两座灯塔A和B与海洋视察站C的距离都等于30km,灯塔A在视察站C的北偏东20°的方向,灯塔B在视察站C的南偏东40°的方向,则灯塔A与灯塔B之间的距离为 ()A.30km B.302kmC.33km D.303km8.已知直线l1:(a+sin30°)x+y+1=0,l2:x+(3tan120°)y+2=0,若l1⊥l2,则实数a的值为()A.-72 B.-56 C.5二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.下列说法错误的有()A.坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率B.直线的倾斜角的取值范围是[0,π]C.若一条直线的斜率为1,则此直线的倾斜角为45°D.若一条直线的倾斜角为α,则此直线的斜率为tanα10.下列说法正确的是()A.直线y=ax-3a+2必过定点(3,2)B.直线y=3x-2在y轴上的截距为-2C.直线3x+y+1=0的倾斜角为60°D.过(x1,y1),(x2,y2)两点的全部直线的方程为y11.已知E,F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BC和CD的中点,则()A.A1D与B1D1是异面直线B.直线A1D与EF所成角的大小为45°C.直线A1F与平面B1EB所成角的余弦值为1D.二面角C-D1B1-B的余弦值为6三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.已知log189=a,18b=5,则log3645=.(用a,b表示)

13.若A(a,0),B(0,b),C(-2,-2)三点共线,则1a+114.过点P(3,-2)且与直线x-3y+3=0的夹角为π3的直线的一般式方程是四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)已知在▱ABCD中,A(1,2),B(5,0),C(3,4).(1)求点D的坐标;(2)试判定▱ABCD是否为菱形.16.(15分)已知f(α)=sin((1)化简f(α);(2)若α是第三象限角,且cosα-3π2=15,求f(α(3)若角A是△ABC的内角,且f(A)=35,求tanA-sinA的值17.(15分)已知点A(2,1),直线l:(a-1)x+y+2+a=0(a∈R).不论a取何值,直线l过定点P.(1)求点P的坐标,及点A(2,1)到直线l距离的最大值;(2)若直线l在两坐标轴上的截距相等,求a的值.18.(17分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,∠ABC=120°,AB=1,BC=4,PA=15,M,N分别为棱BC,PC的中点,PD⊥DC,PM⊥MD.(1)证明:AB⊥平面PDM;(2)求直线AN与平面PDM所成角的正弦值.19.(17分)某小组共有A,B,C,D,E五名同学,他们的身高(单位:m)以及体重指标(单位:kg/m2)如下表所示:同学ABCDE身高/m1.691.731.751.791.82体重指标/(kg/m2)19.225.118.523.320.9(1)从该小组身凹凸于1.80的同学中任选2人,求选到的2人身高都在1.78以下的概率;(2)从该小组同学中任选2人,求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率.

参考答案第4周检测(高一30%+第一章20%+直线的方程50%)1.A由复数z=a+bi是虚数,但不是纯虚数知,a≠0,且b≠0,而a2+b2≠0等价于a≠0或b≠0,所以“复数z=a+bi是虚数但不是纯虚数”是“a2+b2≠0”的充分不必要条件.故选A.2.A因为直线的倾斜角为3π所以该直线斜率为tan3π4=-由2-(-4)λ-(-13.B因为f(x)=xx所以当x>0时,f(x)>0;当x<0时,f(x)<0,只有B符合.故选B.4.B当a=0时,两直线都为x=1,重合,故舍去;当a≠0时,由两直线平行,得到-1a=-a-1a经检验,两直线不重合,成立.综上,实数a的值是2.故选B.5.B在△ABC中,|AB|=2,|AC|=3,且△ABC的面积为32,则S△ABC=12|AB||AC|sinA=1所以sinA=12,所以A=30°或150°.故选B6.C当直线l过原点时,此时过点P(2,-1)的直线方程为y=-12x,即x+2y=当直线l不过原点时,因为两坐标轴上的截距和为0,所以可设直线l的方程为xa+将点P(2,-1)的坐标代入直线方程,可得2a+-1-a=1,解得a=3,即x-y-3=0.综上可得,直线l的方程为x+2y=0或7.D由题意可知,AC=BC=30km,∠ACB=120°,由余弦定理得,AB=AC302+302-2×30×30×(8.C由题意知l1⊥l2,则(a+sin30°)×1+1×3tan120°=0,即a+12-3=0,解得a=52.9.ABD坐标平面内与x轴垂直的直线没有斜率,故A不正确;直线的倾斜角的取值范围是[0,π),故B不正确;一条直线的斜率为1,则此直线的倾斜角为45°,故C正确;当α=π2时,该直线斜率不存在,故D不正确.10.AB对于A,当x=3时,y=2恒成立,即直线y=ax-3a+2必过定点(3,2),故A正确;对于B,当x=0时,y=-2,即直线y=3x-2在y轴上的截距为-2,故B正确;对于C,直线3x+y+1=0的斜率为-3,倾斜角为钝角,故C不正确;对于D,当x2=x1时,过(x1,y1),(x2,y2)两点的直线方程为x=x1,式子x-x111.AD由异面直线定义可知A正确;以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系如图所示,设正方体棱长为2,则点D(0,0,0),A1(2,0,2),E(1,2,0),F(0,1,0),D1(0,0,2),B1(2,2,2),B(2,2,0),C(0,2,0),A1D=(-2,0,-2),EF=(-1,-设直线A1D与EF所成角的大小为θ,则cosθ=|A所以θ=60°,故B错误;由题意可知,平面BEB1的法向量为DC=(0,2,0),A1F=(-2,1,设直线A1F与平面B1EB所成角为α,则sinα=|A所以cosα=1-D1B1=(2,2,0),B1C=(-2,0,设平面D1B1B的法向量为m=(x1,y1,z1),则m令x1=1,则y1=-1,z1=0,得m=(1,-1,0).设平面D1B1C的法向量为n=(x2,y2,z2),则n·D1B1=2x2+2y2=0,n·B1C=-2设二面角C-D1B1-B的平面角为β,且β为锐角,则cosβ=|m·故选AD.12.a+b2-a因为18b又log189=a,所以log3645=log13.-12因为A(a,0),B(0,b),C(-2,-2)三点共线,所以kAB=kBC,即b-00-a=b+20+2,化简可得2故1a+114.3x+3y-33+6=0或x-3=0由已知可得x-3y+3=0的斜率为33,即倾斜角为π所以与它的夹角为π3的直线的倾斜角为π3+π6当倾斜角为π2当倾斜角为5π6时,斜率为-当斜率不存在时,直线方程为x=3;当斜率为-33时,直线方程为y+2=-33(x-3),整理得3x+3y-33+6=故直线的一般式方程为3x+3y-33+6=0或x-3=0.15.解(1)设点D坐标为(a,b),因为四边形ABCD为平行四边形,所以kAB=kCD,kAD=kBC,所以0-2所以D(-1,6).(2)因为kAC=4-23-1=1,k所以kAC·kBD=-1,所以AC⊥BD,所以▱ABCD为菱形.16.解(1)f(α)=sin(π-α)(2)因为cosα-3π2=-sinα=15所以sinα=-15,又α所以cosα=-1-(-故f(α)=-cosα=26(3)因为角A是△ABC的内角,且f(A)=35所以cosA=-35,则π2所以sinA=1-所以tanA-sinA=sinAcosA-sinA=417.解(1)直线l:(a-1)x+y+2+a=0(a∈R),化为a(x+1)+(-x+y+2)=0,由x+1=0,∴不论a取何值,直线l恒过定点P(-1,-3).当PA⊥l时,点A(2,1)到直线l的距离取最大值,|PA|=9+16=5.(2)令y=0,则x=-a-2a-1(a≠1),令x=解得a=±2.当a=1时,易知不满足条件,所以a=±2.18.(1)证明由题可得,CD=AB=1,CM=12BC=2,∠DCM=由余弦定理可得,DM2=CD2+CM2-2CD·CMcos60°=1+4-2×1×2×12=则CD2+DM2=1+3=4=CM2,即CD⊥DM.又PD⊥DC,PD∩DM=D,PD,DM⊂平面PDM,∴CD⊥平面PDM.∵CD∥AB,∴AB⊥平面PDM.(2)解∵AB⊥平面PDM,PM⊂平面PDM,∴AB⊥PM.又PM⊥MD,而直线AB与DM相交,AB,DM⊂平面ABCD,∴PM⊥平面ABCD.在△ABM中,由余弦定理得AM=A=1+4-∴PM=PA2-A取线段AD中点E,连接ME,则ME,DM,PM两两垂直,以M为坐标原点,ME,MD,MP所在直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图所示,则A(-3,2,0),P(0,0,22),D(3,0,0),M(0,0,0),C(3,-1,0).又N为棱PC中点,∴N32,-12,2,AN=332,-由(1)得CD⊥平面PDM,∴平面PDM的一个法向量n=(0,1,0),从而直线AN与平面PDM所成角的正弦值为|AN19.解(1)从身凹凸于1.80的同学中任选2人的样本空间Ω={(A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D)},共6个样本点.设M=“选到的2人身高都在1.78以下”,则M={(A,B),(A,C),(B,C)},共3