高中数学 导数专项 第21讲 对数平均不等式及其应用

第14讲对数平均不等式及其应用

一、对数平均不等式及其证明

.2I~-b—aa+。.,b-a,u,；-r-a+b

设b>a>0,则a<-；~-<y/ab<--------<----<b,其中---------叫做IA对数平均数，-----

1,1\nb-\na2\nb-\na2

ab

叫做算术平均数，J不叫做几何平均数，不工不叫做调和平均数，我们把不等式疝<〈竺2

1,1\nb-\na2

--V-

ab

称之为：“对数平均不等式”.

下面证明不等式4ab<<丝2.

InZ?-In6?2

(1)先证旅<b-a.

\nh-\na

./—rb-a.,,b-ab

由yjab<---------Z得R\nb-\na<.——,n即nlIn—<

\nh-\nayjaba

记。=护，则21nr<r-；。>1).令f(f)=21nr-f+；Q>1),

一(I)2

<0,

所以/(r)在(l,+8)递减，而/(l)=0,因此当，>1时，/a)=21n/-r+,<0恒成立，即

t

In2〈口一恒成立.

aVctVb

b—a

(2)再证---------<——.

\nb-\na2

2(--D

,b-aa+b,2(b-a)ba人b

由---------<-----得ln6-lna<—------,即ln±<令t=—«>i)，则有

\nb-\na2atbaib.a

14--

a

12(f—1)、几2(，一1)14=(IP

\nt<------(/>1),设g(/)=ln/--------(/>1),g'(r)=>0,所以g(f)

1+Z1+2ta+i)2一t«+i)2

在(1,+8)递增，而g(l)=0,

因此当f>l时，g(此=hw—2"T)>o恒成立,即人。<竺±

1+，\nb-\na2

本证法，通过比值换元构造函数，再利用函数的单调性来证明不等式，这种把双变量变为单变量的方

法是证明不等式的基本方法.

lnlnZ?

几何意义：首先，我们先对对数平均不等式进行变形：2<£-<1,

a+ba-b7ab

1n"Tn'表示经过曲线y=lnx上两点A(a,lna)和B(b,lnb)的直线斜率，二一表示曲线

a-ba+b

丁=心》在》=上3处切线的斜率，，=表示曲线丁=也%在彳=而处切线的斜率.

2yjah

由此可知—<<1的几何意义是：曲线y=Inx上两点连线的斜率大于曲线y=\nx

a+ba-byjab

在两端点横坐标算术平均数处的切线的斜率，小于曲线y=lnx在两端点横坐标几何平均数处的切线的斜

率.于是对数平均不等式疝<"b<巴它的几何意义为:

Ina-In/72

对于曲线y=lnx上任意两点A(〃，lna)和8(A,ln〃)(QV。)，在区间(。，力)上都存在唯一实数

%,使得曲线y=lnx在x=x0处的斜率等于割线A8的斜率，且J茄</<?，这里的/就是。，

b的对数平均，(这个表述实际上就是高等数学里的拉格朗日中值定理)

拉格朗日(Lagrange)中值定理：若函数/(x)满足下列条件：

①/(x)在闭区间[a,们上连续；②/(x)在开区间(a/)上可导，则在(a,匕)内至少存在一点自，

使得拉格朗日中值定理的几种常见表达形式：

b-a

①于⑸-八止小义一),b«<a；

@f'[a+0(b-a)](b-a),O<0<\；

@/(«+//)-/(«)=f'(a+0h)h,O<0<\.

对数平均不等式主要是用来处理一些与指数、对数有关的不等式问题.

对数平均不等式解题范式：

下面以“已知函数/（x）=Inx-ox?+（2-。）工的两个零点为*,x2,求证:

,（％+%2）<0，，为例说明一下对数平均不等式解题范式.

步骤1：构建等量关系式.

因为王，%是函数/（x）=Inx-aF+（2-〃）x的两个零点，所以/（%）=/（电）=0,即

Inx1—ar；+（2-a）%=Inx2-ar；+（2-。）々.

步骤2：对等量关系式进行处理.

对题目给出的是含自然底数的指数形式，我们通常需要把指数分离出来，然后再对等式两边同时取对

数，而像本例本身就是含有自然底数的对数形式，不需要再进行两边取对数，我们通常把对数Inx分离出

来即可：Inx}-Inx2-ax\-ax；-¥（2-a）x2-（2-a）xl.

步骤3：恒等变形转化出对数平均数（或它的倒数），代入对数平均不等式（根据题目需要和放缩的方

向，可以恰当选择调和平均数等其它形式）进行求解.

变形可得：In玉一lnx2=。（玉+工2）（七一々）一（2-。）（七一/），转化出对数平均数（或它的倒数）：

%2一玉_1

Inx2-Inx]。（玉+%）+。-2

步骤4：根据证明的目标，从不等式a<」不<疝<—<竺2<〃中恰当选择放缩的方

1,1\nb-\na2

ab

向和放缩的工具.

本题目标：证/'（"|+&）=_?----。（王+马）+2-a<0,故工具的选择上应该是

2Xj+x2

b-aa+bx,-x,1x,+x,十],人红人“,》

---------<-----,即----=---!—=-----------------<—-----,再把％+W当一个整体解出来代入

\nb-\na2Inx2-Inx}a{x}+x2）+tz-22

目标M+2）__?---）+2-4<0,从而证明目标.

2Xj+x2

当然，考虑到目标r（士也）=’——。（玉+々）+2-。<。的结构形式，将目标变形为：

2X1+电

a（%+x,）+a—2>—^―,步骤3转化出对数平均不等式的倒数匕丛也”>二一，

玉+x2x2-Xj%+x2

22

即a（芯+%2）+。-2>-----更加有利于后面的操作，只需将。（％+%）+。-2>------左边移到右边，

X]+工2%+%2

即可得到目标/'（小玉）=’——a（x]+x2）+2-a<0.

2%+%2

二、对数平均不等式在极值点偏移中的应用

类型一：不含参数的极值点偏移问题

[例1]（2010年高考天津理科第21题（3））已知函数/（x）=xe-*（xeR）,如果玉工々，且

/（%,）=f（x2）,证明：xt+x2>2.

解析：由/（玉）=/（与）得X\e~X'-X2e~X1，又N工2，所以X|和马同号，

当x<0时，/'（x）=（l—x）xeT〉O,/（x）单调递增，

若不<0,々<0,则由/（为）=/（工2）得内=々，这与题设不符，所以X|>0，x2>0.

1xx

将等式再*“=%20-*两边同时取以自然对数得In*—X]=In/—/，即2~t=lnx2-Inx,,

所以=i,由对数平均不等式得把玉〉」=即土t玉>i,所以玉+々>2.

Inx2-InXj2Inx2-\nxl2

X]-x

下面证明2*+也

InX]-Inx2

2（i-1）

证明：（比值换元+构造函数）ln%>2（X|_X2）=」_,构造函数Q）=]n一型二2

巧再+勺i+1，+1

巧

2

所以g，（/）=l--0=上二20,所以g（r）是增函数，又因为a>1,所以g（土）>g（i）=o,

t（r+l）2z（r+l）2为A

2(i-1)

即ln%＞」一故国-了〈受等成立,命题得证.

In$一In巧2

打i+1

*2

【方法小结】利用对数平均不等式解题的一般步骤：

步骤1:构建等量关系式：

步骤2:对等量关系式进行处理；

步骤3：恒等变形转化出对数平均数（或它的倒数），代入对数平均不等式（根据题目需要和放缩的方

向，可以恰当选择调和平均数等其它形式）进行求解；

步骤4：根据证明的目标，从不等式----—<色心<。中恰当选择放缩的方

11\nb-\na2

—।—

ab

向和放缩的工具.在这特别强调一下：利用对数平均不等式证明的时候，必须要证明一下对数平均不等

式.本文为了节约篇幅，今后都把证明对数平均不等式省略，特此说明.

2

【变式训练1]已知gL=—（为工巧），求证：x}x2>e.

司为

解析：设屿=3=a,贝,两式相减得皿国-Inx2=“（百-巧），即”」呻-1眸，不妨设

xxx2[lnx2=or2x}-x2

X1＞X2,所以为巧＞/两边取对数得lnX|+lnd＞2,由等比性质知结合皿=3=a可得：

X]“2

q=lnX|+lnw,]nX]+lnx,=“（X1+X2），故命题等价于证明〃（药+巧）＞2成立，将°=电百二3代入

xx

X}+x2~\~2

。出+无）＞2得M再Tn々西+电）＞2,即卢孚_＜上岁，这就是对数平均不等式，显然成立.

司一电In-In%22

类型二：含参数的极值点偏移问题

【例2】已知函数/（x）=lnx-%2+6a.

（1）当X€（l,T8）时，函数/（X）为递减函数，求4的取值范围;

（2）设了'（X）是函数/（X）的导函数，X,,当是函数/（X）的两个零点，且玉＜工2,

求证：尸（土产）＜0.

解析：（1）a＜\（过程略）.

Inx,-x,+ax,=0

（2）证明：由王，々是函数/（X）的两个零点，且不＜/，所以＜'\1,两式相减得:

Inx2-Xj+ax2=0

In强

2

In--(Xj-%])+a(x2-x()=0,所以。=———+(%)+x,),

Xj-x2-Xj

ln强2（工2-苞）_仙强

kuz，，/%+%2、2/、2x,x.+x,x

所以/'（-1——=-------（%）+/）+a=------+-=—!——=-------L

2xx+x2X]+x2x2-%x2-%

要证’（百上玉）＜0,只需证2（生一五）一]n&~＜0即可.

2x,+x2%

解法一（对数平均不等式）由2（二二L）一in三＜o变形得一2—＜In±二1吧.

X,+x2X[X]+冗2X2-xx

由对数平均不等式可知，上式显然成立.

2（——1）

解法二（比值换元+构造函数）由2（七一*）一]n±＜0变形得In强〉———，

玉+/玉药强+]

王

记”2>1,则有lnr>构造函数〃(/)=inf-%二D(t>l),

XIr+1f+1

14(7—1产

h'(t)=--------=-——J〉O(r>l),//«)在(l,+oo)单调递增,

t"+1)2(+1)2

2(——1)

h(t)-Inr--~~—>/z(l)=0,In^->-------,X'+'V?-)<0.

f+1x}$+]2

【方法小结】本例跟例题1相比，要构建对数平均数(或它的倒数)的障碍就是参数加，所以这种含参数

的应该首先消去参数再按照常规的对数平均数解题范式进行解题.

【变式训练】(2016年4月湖北七市教科研协作体高三文科第21题)

已知函数/(x)=m-』-lnx(xeR),若恰有两个零点用，x2(xt<x2),求证：x,+x2>2.

x

"2=—+In%

须

解析：X],%2是/(X)的两个零点，

1,

m=---FInx2

x2

口,，一

x.-x,Li-X)M!1

得—I-InXj=---1-In,即」——=Inx2-In,所以——=———=----

x}x2Inx2-Inx}x}x2

又由对数平均不等式得当―~>JT7,

Inx2-Inx(Y-

即」一>Jx]/,则王々>1，所以％+、>2dxix2>2,命题得证.

三、对数平均不等式在双变量中的应用

【例1】(2015年合肥高三模拟最后一卷)已知函数/(x)=lnx—Ac(keR).

(1)若%>0,求函数/(x)的单调区间；

2

(2)若函数y=/(x)的两个相异的零点斗，x2,求证：xtx2>e.

解析：(1)/(X)的单调增区间为(0,工)；减区间为(工,+8),过程略.

kk

(2)证明：因为王,乙是函数y=/(x)的两个相异的零点，必有Z〉0,不妨设则有

Inxx—kx,

<,两式相减得：In^-ln^=k(x1-x,),可得

Inx2-kx2

k=M”2Tn$.要证>e)2)即证：|nx+lnx>2,将"一处两式相加得

X2-X|Inx2=kx2

InX]+111工2=左(玉+工2)，故只需证In%+ln%2=%(玉+工2)>2,即％=加上~史匹L〉---

X2-X1%+冗2

由对数平均不等式」一*＜三可知上式显然成立.

Inx2-In百2

【方法小结】用对数平均不等式解决双变量的不等式证明问题时，解题的模式还是用范式的步骤来解.这

种问题往往需要对证明目标进行变形，然后将对数平均数对变形的结果进行整体代换即可.

【变式训练2】(2015江南十校联考部分)已知函数f(x)=\nx-ax.若函数y=/(x)的图像在x=l处

的切线平行于无轴，且A(X|,y),8(%,%)(%＜/)是函数丁=/(%)的图像上任意两个不同的点，设

直线A8的斜率为％,证明：--1<Z:<--1.

々%

证明：由题意知，f'(x)=--a,f'(1)=--a=O,即a=l,所以/(x)=lnx—x.

X1

直线AB的斜率为心AZA=("---…)=lnx2-lnx,_

x2-X[x2-x1x2-玉

11/l1口…1711LST1In-Inx1

故要证----\<k<-----1,即证一<氏+1<一,只需证一<=----—<一,

x2X]x2X]x2X2-XyX]

由对数平均不等式知<1n刍二111a<—,

122

又玉<%，所以一二------<-------，

x2x2+x2玉+x2

h111山士1Inx-Inx.1人吃门什

ffij-,<i=—，故有—<7=-------<—，叩题得证.

X]X?y/%%%X?X2~Xj石

四.对数平均不等式在证明数列不等式中的应用

1、应用a＜—^士一＜%(。＞0)证明数列不等式.

\nb-\na

由对数平均不等式必＜b-a＜竺2(0＜。＜〃),可得后＜i,即

\nb—\na2\nb-\na2

a＜----—＜b(a＞0)・

\nh-\na

f

【例1】(2014年陕西卷理科第21题)设函数/(x)=ln(l+x),g(x)=xf(x)9x＞0,其中/'(x)是

/(x)的导函数.

(1)导g(x)=g(x),g“+i(x)=g(g“(尤))，neN+,求g,(x)的表达式;

(2)若/(x)Nag(x)恒成立，求实数。的取值范围；

(3)设〃eN+，比较g(l)+g(2)+…+g(〃)与“—/(“)的大小，并加以证明.

解析：(1),(2)略;

(3)证法一：(利用A。C放缩证明)由题意，得g(x)=_匚，所以

\nb-\na1+x

/八/-、/、12n111

g⑴+g(2)+・・・+g(〃)=7+7+・・・+--=n-(z-+-++-----)，

23〃+I23〃+1

1?n

而〃—〃—+因此，只需比较一+—+…+——和ln(〃+l)的大小关系即可.

23〃+1

现证ln(n+l)>—+—H----1-------.

23〃+1

当Z?>Q>0时，有一----</?,即!(。一。)<lnb-lna,令。=〃，=〃+

\nb-\nab

则一!一<ln(〃+l)—ln〃，对该式子赋值1,2,3,•••,”得：-<ln2-lnl,

〃+12

-<ln3-ln2,-<ln4-ln3.........—L<ln(〃+1)—ln〃，将以上式子左右两边分别相加可得:

34n+l

—I—F,—I------<ln(〃+l),故ln(〃+l)〉—I1--------得证，从而命题得证.

23n+l23n+\

(证法二：由对数平均不等式的单变量形式证明)由题意，得g(x)==,

1+x

12n

所以g(l)+g(2)+・一+g(〃)=一+-+••♦+——，而〃一/(〃)=〃-ln(〃+l)，

23n+l

由8(1)=^>1-1112=1-/(〃)进行猜想，有g(l)+g(2)+…+g(”)>〃—/(〃)，

12n

该不等式等价于一+-+・・・+——<ln(n+l).

23n+l

xx

由对平均不等式的单变量形式：当了>-1时，恒有InxN——,可知当x>0时，恒有1n(x+l)>——

x+1x+1

令工=’，有ln(1+—)>J，即ln(%+l)-lnk>——,其中,

kk2.4.11+Z

I

于是有支Un(Zr+l)-ln%]>t(」一),BRln(n+l),猜想得证.

*=i«=iZ+l23n+l

【方法小结】本题作为压轴题，难度较大，题目采取多步设问，层层递进的方式出题，上一

问的结论可用于下一问，其中第二问是为第三问做铺垫的“梯子”，但是还是步臊繁琐，求

解过程复杂.在这里，证法一利用对数平均不等式的变形一^—<匕，进一步变形为

lnb-\na

-(b-a)<\nh-\na,再根据所要证明的式子的需要，对。，。进行赋值a=〃，b=n+\

b

从而使问题大大地简化，易于被学生接受.证法二则是利用对数平均不等式的单变量形式来

证明，这需要学生掌握对数平均不等式的单变量常见的几种形式：

r-12(

①当Ovx<l时，恒有二-------；

②当x21时，恒有(—-<Inx<.l；

X4-1y/x

事实上，对于这两个命题，当X=1时，是显然成立的.

I,一Lr~rb-aa+b

当xW1时，对7ab<--------<-----,

\nb-\na2

Y|丫I1

令。=1,b=x得Jx<----<----,再注意到Inx正，负两种情况，容易得到这两

\nx2

个命题.

XX-1

③当%>—1时，恒有----<lnx<—,现证这个结论如下：

X+lyjx

—ri.,r---7--r(尤+1)-1(x+l)+lx,.

证明：当x>0时，-----------<---------=—+1<x+l,

“ln(x+l)-l22

x

即1<<x+l<=><ln(x+l)<x.

ln(x+l)-lx+1

(x+D—1<(x+l)+lx.,

当一1vxvO时,x+1<J(x+1)•1<=—+1<1,

ln(x+l)-lnl22

X1XX4X

即x+l<-------<1o----<--------<1<=>----<ln(x+l)<x,

ln(x+l)x+lln(x+l)x+1

当且仅当犬=0时等号成立.

【变式训练1】(2012年天津卷理科第20题)已知函数f(x)=x—ln(x+。)的最小值为0,其中。>0.

(1)求。的值；

(2)若对任意的xw[0,+a>)有了。)4履2成立，求实数人的最小值；

(3)证明：V-....ln(2»+l)<2-------<2

i=i2i—12n+1

解析：(1)、(2)略；

2222

(3)证明：由⑴知，a=l,所以待证不等式等价于：—+—+—+・.・+-----<ln(2n+l).

3572n-l

当0<avZ?时，一---—<b,变形得vInh-lna,

\wb-\nab

22

令a=2〃一l,〃=2〃+1,则----------=------<ln(2n+1)-ln(27:-1),

2(n+l)-l2〃+l

对该式子赋值1，2,3,•••,〃得：

222

—<In3-In2,—<In5-ln3,—<In7-In5,…，

357

---------<ln(2n+1)-ln(2«-1),

2(〃+1)—1

2222

将以上式子左右两边分别相加得：一+—+—+・.・+-----<ln(271+1),

3572n-l

〃2

即Z———ln(2n+l)<2

/=!2z—1

2.应用■；■」＜0一。（。＞。＞0）证明数列不等式.

—1I—1InZ?—Ina

ab

[例2]（2013年大纲卷理科第22题）已知函数/（x）=m（l+x）—Nl+"）

1+x

(1)若xNO时，/(x)<0,求4的最小值；

⑵设数列｛a”｝的通项a“=l+]+§^----1—,证明：a2„—an+-^―>In2.

(1)解析：由已知/'(0)=0,r(x)=(l22)x：%\_f(O)=O.

(l+x)~

若几<〈，则当0<x<2(l—24)时，f'(x)>0,所以/(x)>0.

若义之；，则当x>0时，/'(x)<0,所以当x>0时，/(x)<0.

综上，4的最小值是

2

⑵证法一：(利用7二<1证明):

1।1In/?-Ina

—I—

ab

当。>Q>0时，[2<—-__--,Hpin/?-ln6Z<—

1,1\nb-\na2ab

ab

令a=〃，b-n+l,则ln(”+l)-In”

所以，ln(〃+l)-ln〃<!('+-^-),ln(n+2)-ln(«+l)

2nn+\2nn+l

<〈(一^+―!^)，ln(n+3)-ln(n+2)<^(—!—+—^―),…，

2〃+l〃+22〃+2〃+3

ln2n-ln(2/?-l)<-(^—+—),将以上不等式左右两边分别相加得：

22n-l2n

、11111

-1/11111------1-------F•••H11即

2nn+ln+2〃+32n-l4nn+1几+2-------2n-l2n4〃

ln2<(a,“一凡)+」—，问题得证.

4〃

x-\

证法二：（对数平均不等式的单变量形式证明）：由命题2知，当X＞1时，有lnx＜,令x=尸,可

4x

/ec,1,,、丁“4+1,k+1Z+lk

得21nf<f--(Z>1),再令f=-----,得21n------<--------------

tkkkk+1

,即ln5<4(L+—分别令A=〃，rt+1,n+2,…，2n-l,

k%+lk2kk+V

得到“个不等式，两边叠加，化简得ln2〃—In〃〈工•▲+」一，

2n〃+1

两边叠加，化简可得ln2〃—ln〃<，.▲+」―+——+…+-----+-■—

2n〃+1〃+22n-l2In

=—!—+——+•••+-----,即姑2<(4„—«,)+」-，问题得证•

〃+1〃+22/7-12〃4〃24〃

证法三：(利用第一问结果证明)令/l=g.由(1)知，当x>0时，f(x)<0,

口「x(2+x)，八、皿1,2k+11k+1

即------->ln(l+x),取x=一,则-------->ln

2+2xk2:(&+1)~k~

于是

2n-\i春2Z+12«-1卜+1

y[一+1>-------->VIn-----=ln2n-lnAt=ln2,

£2k2伏+1)£2*4+1)-k=nKL

所以612n—4?---->In2.

4/2

【方法小结】方法二利用对数平均不等式的单变量形式Inx〈亍I,先对无赋值变形

x=t2,再对r进行赋值/=——，构建对数不等式，最后对左进行赋值，这个思路不宜想

k

到，另外操作赋值过多，难度较大；方法三借助第一问/1=4，ln(l+x)<-

2

加以赋值，并进行变形，令％，2k+i

=1ln(l+-)<-=1(1+—),即如(左+l)-lnk

kk2Z(Z+1)2kZ+l

从而达到放缩的目的；方法一利用对数平均不等式衍生2b-ahi,、，

<!(,+—L)_-<---------,再变形为

2kk+\—1I।—1In/?-Ina

ab

\nb-]na<—(—+—)(b-a),再结合结论进行恰当赋值令Q=〃，6=〃+1,相对其他两种方法而言,

2ab

还是比较容易操作.

【变式训练2】(2010年高考湖北省理科数学第题)已知函数f(x)=cu+2+c(。>0)的图像在点

X

(1,/(1))处的切线为丁=%一1.

(I)用。表示人,C;

(II)若/(x)Nlnx在(1,+8)上恒成立，求。的取值范围；

(III)证明：141F,,H>ln(H+1)H-----------(〃21).

23n2(〃+1)

解析：(I)b=a-l,c=l一2。；(II)[―,+co)(端点效应+分类讨论).

2

(III)证明：当人>。>0时，[2<-----------,gp\nh-\na<—(—+—)(h—a),令a=n,

1,11nb-\nalab

—।—

ab

b=n-\-\,则ln(〃+l)-ln——!—),所以，

2n〃+1

ln(n+l)-lnn<-(-+—!—),因止匕ln2—In1<，(1+2)，In3-ln2<-(-+-),

2n/?+1212223

・・・，ln(〃+l)—ln〃<—(―+——),将以上不等式左右两边分别相加得:

2nn+\

ln(7z+1)<—F(—I---1■…H—)4-----------,即ln(n4-1)<1H-----1---1■…

223n2(n+l)23

11可化得命题得证.

+一十1+'+1+…+!>ln(〃+1)+---,

n2(〃+1)223n2(〃+1)

>b-a（）证明数列不等式.

3.应用b>a>0

In。一Ina

1

【例3】设数列｛a｝的通项公式可，其前〃项和为S“，求证：S„<ln（n+1）.

n“(〃+1)+1

b-ai,।&(8-a)

证明：当S〉a>0）时,>-,---B1-P3-t-il-n--b-—\na>―,■,

In/?-In(2yla2+b2

V2V2

令Z?=〃+l,a=n,则111(〃+1)—111〃>

+(“+1)2,2/+2/1+1

>,>a,即a“<ln(〃+l)-ln〃，对该不等式两边的〃同时赋值1,2,3........〃得

j2"+2〃+2n

a｝<In2-In1,a2<In3-In2,<In4-In3,・・•，<ln(n4-1)-Inn,将以上不等式左右两

边分别相加得：

4+4+%+•••+〃〃<(ln2-lnl)+(ln3-ln2)+(ln4-ln3)d-----F(ln(n+l)-lnn),

即S„<ln(n+1).

4.应用i<巴心S>4>0)证明数列不等式.

\nb-\na2

［例4］设数列｛〃〃｝的通项公式。“=1+；+；+・・・+：,证明：a〃<ln(2/2+l).

证明：当S>a>0)时，--------<,\nb-\na>>令Q=2〃-1,Z?=2〃+l,则

\nh-lna2a+h

ln(2n+l)-ln(2n-l)>-,对该不等式两边的〃同时赋值1,2,3,…，〃得：ln3-lnl>l,

n

In5-In3>—,In7-In5>—,・•・，

23

ln(2n+l)-ln(2n-l)>-,将以上不等式左右两边分别相加化简得：

n

1H1---1--••4—<ln(2〃+1),a»<ln(2〃+1).

23〃

【变式训练】(2102年高考湖北文科第题)设函数/'(x)=ar"(l-x)+力(x>0),〃为正整数，a,b

为常数，曲线y=/(x)在(1"(1))处的切线方程为x+y=l.

(1)求a,8的值；

(2)求函数/(x)的最大值

(3)证明：/(%)<—.

ne

n

解析：(1)。=1,Z?=0；(2)

(〃+1产’

(3)证明：当(。>。>0)时，h~a令。=〃，。=〃+1,则("+D-"

\nh-\na2ln(n+l)-lnn

(〃+1)+〃[(〃+1)一〃1匚匚、।]/八11

<--------<〃+1,即nn--------------<n+\,所以In(几+1)-ln〃>----,即nn

2ln(n+1)-InHn+1

,,+|

In—该不等式两边同乘以〃+1得In(四)向>l=lne,gp(—)<e,

n〃+1nn

nn1nn1

所以一由(2)知/(x)W---<—,命题得证.

(n+1严ne(〃+1严rne

5.应用‘^―〉疯g>a>0)证明数列不等式.

\nb-\na

【例5】(2014年福建预选赛)已知函数/(x)=aln(x+l)+——+3x—1.

x+1

(1)若xNO时，f(x)NO恒成立，求。的取值范围;

234〃+1

(2)求证:--