新教材人教B版高中数学选择性必修第一册各章综合测验及模块测验含答案解析

人教B选择性必修第一册综合测验

第一章空间向量与立体几何.....................................................1

第二章平面解析几何.........................................................15

模块综合测验..................................................................28

第一章空间向量与立体几何

一'单项选择题:本题共8小题,每小题5分洪40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.在平行六面体A8C0-A5C。中，向量相、和、就是()

A.有相同起点的向量B.等长的向量

C.共面向量D.不共面向量

ggc

解相向量而、而、而显然不是有相同起点的向量,A不正确；

由该平行六面体不是正方体可知，这三个向量不是等长的向量,B不正确.

又：,初一病=丽=后方，

/.AB'.AD',BD共面,C正确,D不正确.

2.已知2=(-2,-3,1历=(2,0,4)£=(-4,-6,2),则下列结论正确的是()

A.a〃c,b〃cB.a/7b,a±c

C.a〃c,aJ_bD.以上都不对

ggc

解析解=(-2,-3,l),b=(2,0,4),c=(-4,-6,2),.：a,b=-4+0+4=0,.：a_l_b.

3.在长方体ABCD-AIBIGDI中，瓦？+近+西=()

A.D/iB.取

C.DB]D.BD]

ggD

画如图所示，

长方体ABCO-AIBIGOI中,

瓦?+就+西=（函4-丽）+西=前+西=西.

4.如图所示，已知空间四边形ABC。,连接ACBDMG分别是BC,CD的中点，则方+

g丽+：前等于（）

A.ADB.GA

CAGD.MG

ggc

VM,G分别是BC,CD的中点,

1於M1

---

22

-->1-->1-->-->--->--->--->-->-->

.MB+-BC+-BD=AB+BM+MG=AM+MG=AG.

22

5.在四棱锥P-ABCD中，荏=(4,-2,3),同=(-4,1,0),荏=(-6,2,-8),则这个四棱锥的高h等于

()

A.lB.2C.13D.26

答案|B

阿函设平面ABCD的法向量为n=（x,y,z）,

(nAB=0,

4x-2y+3z=0,

则.而即

n=0,-4%+y=0.

不妨令x=3,则y=12,z=4,可得n=(3,12,4),

四棱锥的高/片粤=^=2.

\n\13

6.已知两不重合的平面a与平面ABC,若平面a的法向量为m=(2,-3,1),存=(1,0,-

2),前=(1,1,1),则()

A.平面a〃平面ABC

B.平面a_L平面A3C

C.平面a、平面ABC相交但不垂直

D.以上均有可能

fgA

理责由题意,ni-荏=2xl+(-3)x0+lx(-2)=0,得mJ_荏,ni•元=2xl+(-3)xl+lxl=0,得ni

1.AC,

所以平面A8C,所以平面a的法向量与平面ABC的法向量共线，则平面a〃平

面ABC.

7.直线AB与直二面角a-lf的两个面分别交于A,8两点，且A,B都不在棱I上,设直线AB

与a/所成的角分别为。和夕,则e+(p的取值范围是()

A.0°<0+9<90°B.0°<6+衿90°

C.90°<8+s<180°D.6+夕=90°

假画如图，分别过点A,3向平面尸,a作垂线，垂足为4囚,连接84481.

由已知a,及所以因此NB4B=0,NA84I=9.由最小角定理得N

BAA126,而Na44+s=90°,故。+3=8+90°-ZBA4i^90°,

当AB，/时,8+9=90°，应选B.

8.长方体4AM3A4-8以&&的底面为边长为1的正方形，高为2,则集合3工=瓦瓦•

4出/£{123,4}{1,2,3,4}}中元素的个数为()

A.lB.2C.3D.4

ggc

储画厂长方体4424344-81&&84的底面为边长为1的正方形，高为2,

.：建立如图的空间直角坐标系，

则A।(1,1,0)42(0,1,0),A3(0,0,0),A4(1,0,0),

Bi(1,1,2),B2(0,1,2),B3(0,0,2),B4(1,0,2),

则不％=(-1,0,2),

与石瓦=(0,0,2)相等的向量为灰瓦=A3B3=石瓦，此时灰瓦•4瓦=2x2=4,

与不瓦=(0,-1,2)相等的向量为不瓦，此时不瓦•灰瓦=2x2=4,

与石瓦*=(0,1,2)相等的向量为软瓦，此时不瓦•乖上2x2=4,

与瓦瓦=(1,0,2)相等的向量为不瓦，此时灰瓦•瓦瓦=-1+4=3,与无瓦=(-1,0⑵相等

的向量为瓦瓦，

此时不瓦•不瓦=1+4=5,

体对角线向量为=(-11,2),此时不瓦­=1+4=5,瓦瓦=(1,-1,2),/祖'•

A2B4=-l+4=3,

京=(1,1,2),京•砌=-1+4=3,

值;=(-1,1,2),用瓦•瓦瓦=1+4=5,

综上集合{x|x=不瓦•硒,iW{1,2,3,4}/W{1,2,3,4}}={3,4,5},集合中元素的个数为3

个.

二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多

项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对得3分.

9.设向量a,b,c可构成空间一个基底，下列选项中正确的是()

A.若a_Lb,b_Lc,贝！Ja±c

B.则a,b,c两两共面，但a,b,c不可能共面

C.对空间任一向量p,总存在有序实数组(x,y,z),使p=ra+yb+zc

D.则a+b,b+c,c+a一定能构成空间的一个基底

答案|BCD

解析由a,b,c是空间一个基底，知：

在A中,若a_Lb,b_Lc,则a与c相交或平行，故A错误；

在B中,a,b,c两两共面，但a,b,c不可能共面，故B正确；

在C中，对空间任一向量p,总存在有序实数组(x,y,z),使p=xa+.yb+2C,故C正确；

在D中,a+b,b+c,c+a一定能构成空间的一个基底，故D正确.

10.已知向量2=(1,2,3)方=(3,0,-1)«=(-1,5,-3),下列等式中正确的是()

A.(ab)c=bc

B.(a+b)-c=a-(b+c)

C.(a+b+c)2=a2+b2+c2

D.|a+b+c|=|a-b-c|

答案|BCD

解稠A.左边为向量，右边为实数，显然不相等，不正确；

B.左边=(4,2,2)(1,5,-3)=0,右边=(1,2,3>(2,5,-4)=2+10-12=0,.：左边=右边，因此正确.

C.a+b+c=(3,7,-1),左边=32+72+(-1)2=59,右边=12+22+32+32+0+(-1)2+(-1)2+52+(一

3产=59,

.:左边=右边，因此正确.

D.由C可得左边=闻，：.a-b-c=(-l,-3,7),

.：m1)工|=闻，.：左边=右边，因此正确.故BCD正确.

11.在正方体A3C0-A出GA中,E,F,G,"分别为AB,CGAOi,GDi的中点，则下列结论

正确的是()

\.AiE±AC\B.8F〃平面ADOIAI

C.BFLDGD.AtE//CH

答案|BCD

|解析卜殳正方体的棱长为1,以。为原点,D4QC,。。所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,

建立如图所示的空间直角坐标系，则AI(1,0,1),£(1,J,0),C(0,1,0),F(0,1,|),CI(0,1,1),W(

0,i1),GQ,0,1)4(1,0,0),B(1,1,0),D(0,0,0),

则砧==(-l,O,i),DG=g,0,1),CH=

所以《:•宿=，，所以A\E与ACi不垂直，故A错误；

显然平面ADDiAi的一个法向量v=(0,1,0),

有加・v=0,所以BF〃平面AOOiAi,故B正确；

BF•丽=0,所以即」。G,故C正确；

砧=上百，所以4E〃C”,故D正确.

12.将正方形45co沿对角线8D折成直二面角A-3Q-C有如下四个结论：

①②△ACD是等边三角形;③43与平面BCD所成的角为60°;④43与CD所

成的角为60°.其中正确的结论有()

A.①B.②C.③D.④

|答案,BD

fZ

解胡如图所示，建立空间直角坐标系。孙z,设正方形A8CO的边长为企，则0(1,0,0),8(-

l,0,0),C(0,0,1)次(0,1,0),所以前=(0,-1,1),前=(2,0,0),丽=(1,O,-1W=(l,-l,0),AB=(-1,-

l,0W-BD=0,

故AC，8。,。正确.

又|北|=夜,|而|=&,|而|=a,

所以△ACD为等边三角形，②正确.

对于③为平面BCD的一个法向量，

cos<福而>=亘旦

I福丽I

=(-1,-1,0)-(0,1,0)_V2

V2V1-V2i2■

因为直线与平面所成的角6[0°,90°],所以AB与平面BCD所成的痢为45°,故③

错误.

又cos<AB,CD>=ABCD

IABIICDI

_(-l,-l,0)(l,0,-l)_1

V2V2i25

因为异面直线所成的角为锐角或直角，所以AB与CD所成的角为60°,故@正确.

三、填空题:本题共4小题,每小题5分，共20分.

13.在棱长为a的正四面体中，屈-JC+AC-BD=.

2

gg-aT

龌画棱长为。的正四面体中H3=3C=a,且方与近的夹角为120°,AC1BD./.AB-

BC+AC-BD=a-acosl20°+0=--.

2

14.已知2=(1,2,-)，)]=(*,1,2),且但+21))〃(22-1)),贝!]xy=.

gg-2

由题中条件得a+2b=(1+2r,4,-y+4),2a-b=(2-x,3,-2j-2),E)(a+2b)//(2a-b),

所以存在AGR使得1+2x=，2-x)且4=32且-y+4=2(-2y-2),所以2=；K=[J=-4,所以

xy=-2.

15.设PA，RtA43C所在的平面a,ZBAC=90°,PB,PC分别与a成45°和30°

角,PA=2,则PA与BC的距离是;点P到BC的距离是.

mv3V7

解耐作AD_L3C于点。，

p

：/A，面ABC,

.：PA_LAD.：A£>是PA与BC的公垂线.

易得A3=2,AC=2b，BC=4,AO=K,连接PD,则POL3cp到BC的距离PD=回

16.已知向量01=伍力,0）,11=（（?,41）,其中02+〃=/+^=],现有以下命题：

。向量n与z轴正方向的夹角恒为定值（即与c,d无关）；

@n-n的最大值为企；

&km,n>（m,n的夹角）的最大值为斗；

定义uxv=|u|・|v|sin<u,v>,则|mxn|的最大值为企.

其中正确的命题有.（写出所有正确命题的序号）

gg①③④

解析|①取z轴的正方向单位向量a=（0,0,l）,

则cos<n,a>=7--=,2:一=马=邑，,：向量n与z轴正方向的夹角恒为定值2,

|n||a|Vc2+d2+l2xlV224

命题正确；

.」一。2+。2b2+d2a2+c2+b2+d21+11

（^irn=ac+0dW--------1--------=---------------=——=1,

2222'

当且仅当时取等号，因此m・n的最大值为1,命题错误；

③由（2）^[得|m・n|<1,・：・1WnvnW1,

.mn

..cos<m,n>=——

|m||n|

ac+bd=2

Va2+d2Vc2+d2+l2—lxV22!

.：<m,n>的最大值是小，命题正确;

4

④由值可知:年Wcos<m,n>wj,

・：2W<m,n>W郊，淳<sin<m,n>WL・：mxn=|m|x|n|xsin<m,n><lx&xl=鱼,命

442

题正确.

综上可知，正确的命题序号是⑦③④

四、解答题:本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）如图所示，在四棱锥M-ABCD中，底面ABC。是边长为2的正方形，侧棱AM的

长为3,且AM和A3,A。的夹角都是60°,N是CM的中点，设a=彳^,b=同,。=询，试以

a,b,c为基向量表示出向量前，并求BN的长.

gfi/V=5C+CW=AD+1CM=AD+|（AM-AC）=AD+|[AM-（AD+AB）]

=4希+四+网.

所VABN=-|a+|b+jc,

丽2=前2=(_4+%+%)2

222

=-(a2+b2+c2-2a-b-2a-c+2b-c)=—.

44

18.（12分）如图，正三棱柱ABC-AxB\C\中，底面边长为伞.

（1）设侧棱长为1,求证:

⑵设AB\与BCy所成的角为;，求侧棱的长.

(1)怔明福=AB+两，西=蒋+~BC.

因为平面ABC,

所以两•通=0,两•BC=0.

又△ABC为正三角形，

所以</B,BC>=TI-<BA,BC>=n-^=与.

因为福•~BC[=(AB4-西)•(西+BC)

.>....>>2.'”一‘>

—AB,BBI+AB,BC+B+BB】•BC

=\AB\-\BC\-cos<AB,BC>+BB^

=-1+1=0,

所以AB」3G.

⑵解由(1)知福•~BC^=\AB\-\BC\-cos<AB,BC>+'BB^2=西

又|AB1I=1AB2+BB1=不2+BB1=\BCT\,

---.2

所以cos(福，沆7>=出国=[,

2+西2

所以|西|=2,即侧棱长为2.

19.(12分)已知空间中三点A(2,0,-2),3(11,-2),C(3,0,-4),设a=AB,b=AC.

⑴若|c|=3,且c〃近,求向量c;

(2)已知向量ka+b与b互相垂直，求k的值；

(3)求△ABC的面积.

解⑴：•空间中三点A(2,0,-2),B(1l,-2),C(3,0,-4),设a=AB,b=AC,

.：BC=(3,0,-4)-(1,-1,-2)=(2,1,-2),

:卜|=3,且c〃近，

・：c-mBC=m(2,l,-2)

・：|c|=(2m)2+m2+(-2m)2=3|m|=3,

.：〃2=壬1,.：c=(2,l,-2)或c=(-2,-l,2).

(2)由题得a=(-l,-l,0),b=(l,0,-2),

.:版+b=4-11,0)+(1,0,-2)=(1

:响量Aa+b与b互相垂直,.：(依+1))力=1/+4=0,解得％=5../的值是5.

(3)荏=(-1,-l,0W=(1,0,-2),FC=(2,1,-2),

cos<AB,AC>=^^-急=扁,sin＜荏心=后=高

\AB\-\AC|

.".S^ABC=^\AB\x\AC\xsin<AB,AC>=^X迎x«x岛=宗

20.(12分)已知民AG,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点.

(1)用向量法证明瓦EG,“四点共面；

⑵用向量法证明：8。〃平面EFGH-

(3)设M是EG和户口的交点，求证:对空间任一点O,有丽=^(OA+OB+OC+OD).

|证明|(1)如图，连接BGjBD=2EH,BC=2BF,JO']EG='EB+BG=~EB+^(BC+前)=丽4-

BF+EH=EF+EH,

由共面向量定理的推论知&F、G、”四点共面.

(2)因为前=用一荏=：而一1而

=；须一隔=渺.

所以EH〃BD,叉EHu平面EFGH,BDU平面EFGH,

所以BO〃平面EFGH.

A

(3)连接OM,OA,OB,OC,OD,OE,OG,

由Q）知丽前,

_1..>'…—一>……一>

同理尸G=；BD,所以EH=FG,

EH〃FG,EH=FG,所以EG、FH交于一点M且被M平分，所以丽=^（0E+0G）=1

OD)]

+OB)+^(OC+

1-->-->--»--»

=：(0A+0B+0C+0D).

21.（12分X2021全国甲，理19）已知直三棱柱ABC-4BG中，侧面A413B为正方

形,AB=BC=2,E,尸分别为AC和CCi的中点，。为棱43上的点

（1）证明:8/，。£

（2）当3D为何值时，平面8BGC与平面。bE所成的二面角的正弦值最小?

证明⑴如图，连接4E,取BC中点M,连接

C

:分别为AC,8C中点，

.,.EM//AB.

又A8〃48i,.：A|Bi〃EM

则点四点共面，故DEu平面4BME又在侧面BCGBi中,

MBBi,

•：NFBM=NMBiB.

又NM8]B+N3iM8=90°,

.：ZFBM+ZBlMB=90°,/.BFLMB\.

又8E，43i,MBinAi3i=8i,M8iASu平面48ME,.：3月，平面4BME,.：3尸，

DE.

(2),.'BFLA\B\,.,.BFLAB,

/.AF2=BF2+AB2=CF1+BC2+AB2=9.

又A/=尸。2+4。2,.：4。2=8,则AB±BC.

如图，以8为原点,3C,BA,8BI为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则

B(0,0,0),C(2,0,0)4(0,2,0),£(l,1,0),尸(2,0,1).则齐=(11,1),前=(-11,2),

设DBi=f,则D(0j,2),0WW2.

则平面B3GC的法向量为m=(0,1,0),设平面OEF的法向量为n=(x,y,z),.：

n=0,

n=0,

p-y+z=0,

1I-X+(t-l)y+2z=0,

・：n=(l+，32-。.

贝Ucos〈m,n>=、3—.3

J(l+t)2+32+(2^o

要求最小正弦值，则求最大余弦值.

当时二面角的余弦值最大，

则三时二面角正弦值最小.

22.(12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形4。〃8。,/4。。=90°,平

面PA。，底面ABCRQ为AO的中点，〃是棱PC上的点,PA=PO=2,BC=IO=1,CO=V5.

L

AB

(1)求证:平面P5CL平面PQB;

(2)当PM的长为何值时，平面QM8与平面PDC所成的角的大小为60°?

(1)怔明|VAD//BC,Q为AO的中点,8C=I。，

.,.BC//QD,BC=QD,

.：四边形BCDQ为平行四边形,.：BQ〃CD

rZADC=90°,.'.BC±BQ.

VPA=PD,AQ=QD,.'.PQ±AD.

又丁平面PADJ_平面ABC。,平面PAOn平面ABCO=AO,.：PQJ_平面ABCD,/.PQ

IBC.

又：,PQnBQ=Q,.：3C，平面PQB.

:'BCu平面PBC,.：平面PBCL平面PQB.

⑵网由⑴可知PQ_L平面ABCD如图，以Q为原点，分别以QA,Q8,QP所在直线为x轴,y

轴,z轴，建立空间直角坐标系，则G(0,0,0),D(-1,0,0),P(0,0,V3),B(0,V3,0),C(-1,V3,0),

X

:.QB=(0,V3,0),DC=(0,V3,0),DP=(1,O,V3),PC=(-1,V3,-V3),

PC=J(-1)2+(V3)2+(-V3)2=V7.

设询=加？，则询=(U,何,-B),且0W/IW1，得M(-/l,V3/l,V3-V32),

.：QM=(-A,V3A,V3(1-A)).

设平面MBQ的法向量为m=(x,y,z),则

m=0,即C-Ax+V3Ay+V3(l-A)z=0,

m=0,[V3y=0.

令则产02e二^^..：平面MBQ的一个法向量为m=(V5,0,高).

设平面PDC的法向量为n=(£,y,z),则

令％'=3,则y=O,z'=-V^・：平面POC的一个法向量为n=（3,0,-V3）.

・：平面QM8与平面POC所成的锐二面角的大小为60。，

.：cos60°=5=|31-后今|1

|n||m|g13+3)22

.U=|,.：PM=ipC=y.^^「加=?时，平面QM8与平面P0C所成的角大小为60°.

第二章平面解析几何

一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分洪40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.在平面直角坐标系中，记d为点P（cos仇sin。）到直线x-my-2^0的距离，当6,m变化时0

的最大值为（）

A.lB.2C.3D.4

ggc

|解析|：cos26>+sin2^=l,

.：P为单位圆上一点,而直线mny-2=0过点4(2,0),."的最大值为|。4|+1=2+1=3,

故选C.

2.已知点P(-2,4)在抛物线y2=2px(p>0)的准线上，则该抛物线的焦点坐标是()

A.(0,2)B.(0,4)C.(2,0)D.(4,0)

Ige

庭画因为点P(-2,4)在抛物线y2=2px的准线上，所以£=-2,所以p=4,则该抛物线的焦点坐

标是(2,0).

3.已知直线/i：xcos2a+V5y+2=0,若八，/2,则倾斜角的取值范围是()

A.日B.M

叱用唔%

H]c

解析因为l\:xcos2a+V3>'+2=0的斜率ki=-c°^ae[-日,o],当cosa=0时，即M=0时，女不存

在，此时倾斜角为之由/」/2,公用时，可知直线/2的斜率k=±->8，此时倾斜角的取值

范围为时).

综上可得/2倾斜角的取值范围为植

丫2人

4.(2021全国乙，文11)设8是椭圆C：Y+/=1的上顶点，点P在C上，则|PB|的最大值为

()

A.|B.V6C.V5D.2

ggA

阿相(方法一)由椭圆方程可得a=V5,b=1,故椭圆的上顶点为8(0,1).设P(x,y),则有

2

gv+V=L

故f=5(l-y2),由椭圆的性质可得・1WyW1.则|P5|2=x2+(y-l)2=5(l-y2)+(y-l)2=-4y2-

2y+6=-4(/+丫)+6=-4(y+"2+空.

JJ?J44

因为-10W1,所以当y=一时,|PB|2取得最大值，且最大值为所以|P8|的最大值为|.

(方法二)由题意可设P(V^cos6,sin⑨(。eR),又仅0,1),则|PB|2=5cos2^+(sin^-

l)2=5cos26+sii?d2sin0+1=-4sin282sin0+6,于是当sin，=2时,最大，此时|PB「=-

4

4x--2x(-i)+6=-i+-+6=—,

16\47424

故|P8|的最大值为李

5.在一个平面上,机器人到与点C(3,-3)的距离为8的地方绕C点顺时针而行，它在行进过

程中到经过点A(-10,0)与8(0,10)的直线的最近距离为()

A.8V2-8B.8V2+8C.8V2D.12V2

ggA

|g而|机器人到与点C(3,-3)距离为8的地方绕C点顺时针而行，在行进过程中保持与点C

的距离不变，

.：机器人的运行轨迹方程为(x-3)2+6+3)2=64,如图所示；

：2(-10,0)与5(0,10),

♦：直线AB的方程为+看=1，即为光-＞'+10=0,

则圆心C到直线A3的距离为4=畔雪=8近＞8,.：最近距离为80-8.

V1+1

6.设P是双曲线捺一*1(。＞0力＞0)上的点,四尸2是焦点，双曲线的离心率是2且N

BP尸2=90°，△丹产人的面积是7,则等于()

A.3+V7B.9+V7C.10D.16

藕A

7,

-2mn=，

健画由题意，不妨设点P是右支上的一点,|PE|=m,|P尸2|=〃,则：=上42•:

77^Ii-C,

C_4

一3,

a=3,c=4.

.,.b=y/c2-a2=V7..,.a+b=3+V7.

7.位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥(如图所示)有“仙境之桥”之称，它的桥形可近似地

看成抛物线,该桥的高度为〃，跨径为则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为()

解析根据题意，以桥顶为坐标原点，桥形的对称轴为y轴建立如图所示的平面直角坐标系,

该抛物线方程可写为x2=-2/?^(p>0).

:•该抛物线经过点停,/),代入抛物线方程可得?=2%解得片方:桥形对应的抛

物线的焦点到准线的距离即为

p=—8九.

8.平面直角坐标系中，设4-0.98,0.56),3(1.02,2.56),点M在单位圆上，则使得为直

角三角形的点M的个数是()

A.lB.2C.3D.4

,A/r

-3-2-A023x

解册根据题意，如图，若△MAB为直角三角形，分3种情况讨论：

(DZMAB=90°，则点M在过点A与A8垂直的直线上，设该直线为人,又由A(-

0.98,0.56),8(1.02,2.56),则人心篙：：：,

±.UZ-(-U.7O)

则刖『-I,直线1\的方程为y-0.56=-(x+0.98),即x+y+0.42=0,

此时原点O到直线/,的距离"=喀=生幺<1,直线/i与单位圆相交，有2个公共点,

V2100

即有2个符合题意的点M;

②NM8A=90°,则点M在过点B与AB垂直的直线上，设该直线为12,

同理可得，直线b的方程为y-2.56=-(x-L02),即x+y-3.58=O,此时原点O到直线b的

距离”号=需>1，

直线/2与单位圆相离，没有公共点，即没有符合题意的点M-,

③NAMB=90°,此时点M在以A3为直径的圆上，

又由4(-0.98,0.56),3(1.02,2.56),设AB的中点为C,则C的坐标为

(0.02,1.56),|/IB|=V4T4=2V2,5!'J以A3为直径的圆的圆心。为(0.02,1.56),半径

r=^\AB\-^2,

此时|OC|=J(0.02)2+(156)2=,2.4340,

则有a-l<|OC|〈迎+1,两圆相交，有2个公共点，即有2个符合题意的点M.

综合可得，共有4个符合条件的点M.

二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多

项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对得3分.

9.已知圆Ci：x2+.y2=r2,0］。2：0。)2+(广/?)2=产(r>0)交于不同的A(xi,yi),8(x2,y2)两点,下列结

论正确的有()

A.a(xi-X2)+b(y\-y2)=0

B.2ax\+2/?yi=a2-^h2

CJC\+尤2=。

D.y\+y2=2b

|答案|ABC

I解析I两圆方程相减可得直线AB的方程为序+店口^^^二。,即2依+2力=〃2+力2,故B正确;

分别把A(xi,yD,8(X2,y2)两点代入2办+2勿=。2+匕2得

20rl+20yi=序+。22al2+2勿2=层+。2,

两式相减得2a(x\-%2)+2Z?(y1-yi)=0,

即4(X1-X2)+优>」-丁2)=0,故A正确；

由圆的性质可知，线段AB与线段C1C2互相平分,•：为+也=。,y+”二〃,故C正确,D错

沃'VT.

10.若P是圆C：Q+3)2+3-3)2=1上任一点，则点P到直线y=kx-\距离的值可以为()

A.4B.6

C.3V2+1D.8

答案|ABC

解画直线)，=依-1恒过定点A(0,-l)点，当直线与AC垂直时，点P到直线y=Ax-l距离最大，

等于AC+r,圆心坐标为(-3,3),

所以为［(召产+(3+1)2+1=6,

当直线与圆有交点时，点P到直线的距离最小为0,所以点P到直线>=丘-1距离的

范围为［0,6］.

11.在平面直角坐标系中，曲线。上任意点P与两个定点420)和点8(2,0)连线的斜率之

和等于2,则关于曲线C的结论正确的有()

A.曲线C是轴对称图形

B.曲线。上所有的点都在圆f+产=2外

C.曲线。是中心对称图形

D.曲线C上所有点的横坐标x满足|M>2

固剽BC

解析设P(x,y),则"A+BB=2,即1++=2(#土2),整理得/-冲=4(存土2),

所以曲线C是中心对称图形，不是轴对称图形，故c正确,A错误；

由/-盯=4>2=『+优所以曲线C上所有的点都在圆f+尸=2外，故B正确；

由婿孙=4可知,无£R且#0,片土2,故D错误.

12.已知P是椭圆E:=+学=1上一点,F1,凡为其左右焦点，且△BPB的面积为3,则下列

84

说法正确的是()

A.P点纵坐标为3

B.ZF1PF2>^

。△司尸出的周长为4(a+1)

D.AF,PFi的内切圆半径为|(V2-1)

H]CD

解析设P点坐标为(x,y),sWx2cx[y|=1x4x|y|=3j^y=/y=-|,故A错误；

椭圆中焦点三角形面积为S=/?2tan-(^为焦点三角形的顶角),S=4tan2=3,得tan-=

2224

则g故B错误；

，\研2=2。+2。=4(内1),故C正确；

设△F1PF2的内切圆半径为艮，(4a+4)=3,得/?='(或-1),故D正确.

三、填空题:本题共4小题,每小题5分，共20分.

13.经过点P(l,4),且在两坐标轴上的截距相反的直线方程是.

|答案[y=4x或y=x+3

丽根据题意，分2种情况讨论：

⑦直线经过原点，则直线/的方程为y=4x;

②直线不经过原点,设直线方程为x-y=a,把点P(l,4)代入可得1-4=。，解得a=-3,即直

线的方程为y=x+3.

综上可得,直线的方程为y=4x或y=x+3.

22

14.若双曲线上-芸=1的一个焦点到坐标原点的距离为3,则m的值为.

mm-5-----------

客剽7或-2

丽依题意可知c=3,

当双曲线的焦点在x轴上时，租>5=m+tn-5=9,所以m=7;当双曲线的焦点在y轴上

时,m<0,(?2=・Z%+5・〃2=9,所以m=-2.

综上,m=7或m=-2.

15.如图，过抛物线尸=4%的焦点尸作直线,与抛物线及其准线分别交于AAC三点，若

斤二3而,则直线AB的方程为,|AB|=_.

国氯y

庭画抛物线的焦点坐标为尸(1,0),准线方程为x=-l,设

:同=3而,.：(-24)=3(。-1力)=(3a-3,3b),则3a-3=-2,m=34即冶,此时"=4xg,得

b=-卡=-^■，即m=-2y/3,

则。(-1,-2遍),则48的斜率k=^=V3,

则直线方程为y=V3(x-l),

代入V=4x,得3x1-\Qx+3=O,^X\+X2=y,|/4BI=X1+X2+2=Y+2='y-

16.已知点。(0,0)/(4,0)乃(0,4).若从点尸(1,0)射出的光线经直线A3反射后过点。(-2,0),

则反射光线所在直线的方程为;若从点M(m,0)*6(0,4)射出的光线经直线

A8反射，再经直线OB反射后回到点M则光线所经过的路程是(结果用团表

示).

|答案卜-2y+2=0yj2m2+32

庭画根据题意，设点Pg力)与点P(l,0)关于直线A8对称，则Pi在反射光线所在直线上，

又由4(4,0),5(0,4),

则直线A8的方程为x+y=4,

则有恒一；=4解需二?PP",3)，

反射光线所在直线的斜率k=-=

4-(-2)2

则其方程为y・0=：(九+2),即x・2y+2=0;

设点M3仇)与点M关于直线AB对称，点强与M关于y轴对称,易得M2(-/??,0);

线段的长度就是光线所经过的路程，

fb0=1,—A

则有常。无，解得b；二4-m即M«，4加)，又由此(如,0),则

1=4,、u

k2----------2---------'

1(4+m)22y/2m2+

\MIM2\=+(4-m)=32.

四、解答题:本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)已知△A8C三个顶点的坐标分别为A(2,4),B(0,-5),C(10,0),线段AC的垂直平分

线为/.

(1)求直线/的方程；

(2)点P在直线/上运动，当|AP|+|8P|最小时，求此时点P的坐标.

解1)直线AC的斜率为以。=芸咛，

所以直线/的斜率为ki=2,

直线AC的中点为(6,2),所以直线/的方程为y-2=2(x-6),即2x-y-10=0.

(2)由(1)得点A关于直线/的对称点为点C,所以直线与直线/的交点即为

|AP|+|8P|最小的点.由8(0,-5),0(10,0)得直线8C的方程为二+上=1,即x-2y-10=0,联立方

10-5

程圜黑::;解得.*,所以点P的坐标喏,中).

18.(12分)已知直线l-ax-y-3a+\=0恒过定点P,过点P引圆C:(x-l)2+/=4的两条切线，设

切点分别为48

(1)求直线A3的一般式方程；

(2)求四边形PACB的外接圆的标准方程.

陶⑴丁直线/:y-l=a(x-3).

.:直线/恒过定点P(3,1).由题意可知直线x=3是其中一条切线，且切点为A(3,0).

由圆的性质可知AB,PC,

•'kpc=—=•：AAB=-2,所以直线AB的方程为y=-2(x-3),即2x+y-6=0.

3-12

(2)由题意知|PC|=J(3-1K+(1-0)2=V5.

VPA±AC,PB±BC,

所以四边形PACB的外接圆是以PC为直径的圆,PC的中点坐标为(2,所以四边

形PACB的外接圆为(x-2)2+(y-y2=*

22

19.(12分)已知尸咫分别是双曲线后盘一k=1g>0力>0)的左、右焦点,P是双曲线上一

点,后到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍，

⑴求双曲线的渐近线方程；

(2)当NFIPF2=60°时,△PFIB的面积为488,求此双曲线的方程.

解⑴因为双曲线的渐近线方程为法±ay=0,

则点巳到渐近线距离为善驾=伙其中c是双曲线的半焦距)，所以由题意知c+a=2A

vb2+a2

又因为屋+从=/,解得b=^a,

故所求双曲线的渐近线方程是4x土3y=0.

(2)因为/尸1尸&=60°，由余弦定理得IPFIF+IP&R21PBMPF21cos60°=1尸国产,

即|「川2+|尸尸2臼PF1].|P尸2|=4d.

又由双曲线的定义得||PFi|-IPF211=2”，

平方得『/1|2+|尸产2|2-2尸£|.尸&|=4/,相减得|尸产]|.修尸2|=4，-4/=4廿.

2

根据三角形的面积公式得S=1|PFi|-|PF2|sin60°=苧4〃=例2=48同得&=48.

由⑴得。2=/2=27,

故所求双曲线方程是过一些=1.

2748

20.（12分）已知过抛物线f=2〃）。>0）的焦点，斜率为9的直线交抛物线于

A（xi,力）,8（X2,”）（为<*2）两点，且IAB|=9.

（1）求该抛物线的方程；

（2）0为坐标原点，。为抛物线上一点，若赤=瓦求2的值.

|g⑴抛物线*=2p〉的焦点为（0,0,

所以直线AB的方程为）=今+|，

=立4-E

联立y4X2，消去X,得4y2-5py+p2=0,所以yi+y2=拳由抛物线定义得

x2=2py,

|A8|=yi+），2+p=9,即詈+p=9,所以p=4.

所以抛物线的方程为炉=8p

（2）由〃=4知，方程4）2-5py+p2=o,

可化为/5卜+4=0,

解得>1=1）2=4,故幻=-2&泪=4鱼.

所以A（-2a,1）,3（4夜,4）.

贝=瓦?+2而=（-2鱼,1）+〃4疯,4）=（-2或+4a九1+4/1）.因为C为抛物线上一点,

所以（-2或+4&2=8（I+%,

整理得乃-22=0,所以2=0或2=2.

21.（12分X2021全国乙，文20）已知抛物线Gy2=2px（p>0）的焦点/到准线的距离为2.

（1）求。的方程；

(2)已知。为坐标原点，点P在C上，点Q满足同=9下,求直线0Q斜率的最大值.

阿⑴在抛物线C中,焦点F到准线的距离为p,故p=2,C的方程为六4乂

(2)设点P(XIJI),Q(X2,»).

又尸(1,0),则PQ=(X2-xij2・yi),QF=(l・孙・”).

因为闻=9而，

所以%2-xi=9(1・及)J2・y1=・9”，

得xi=10x2-9,yi=10y2.

又因为点P在抛物线C上,所以比=4孙

所以(10/2)2=4(10X2-9),

则点Q的轨迹方程为产|六套

易知直线OQ的斜率存在.

设直线OQ的方程为y=kx,当直线OQ和曲线丁=|心费相切时，斜率取得最大值、最

小值.

(y=kx,、、29

由1229得之/二工长益，

□=孑云，525

即Fx2_|x+£=0,(*)

当直线OQ和曲线产刍畸相切时，方程(*)的判别式/=0,即(-|)2一必2卷=0,解得

上士y斤以直线。。斜率的最大值为去

22.

(12分)如图所示，取同离心率的两个椭圆成轴对称内外嵌套得一个标志，为美观考虑，要

求图中标记的①，②③三个区域面积彼此相等.(已知椭圆面积为圆周率与长半轴、短半

22\

轴长度之积，即椭圆会+k=1(〃泌＞0湎积为SiffiM=nab'

(1)求椭圆的离心率的值；

(2)已知外椭圆长轴长为6,用直角角尺两条直角边内边缘与外椭圆相切，移动角尺绕外椭

圆一周，得到由点M生成的轨迹将两椭圆围起来，整个标志完成.请你建立合适的坐标系,

求出点M的轨迹方程.

g(l)建立如图平面直角坐标系.设外椭圆的方程为捺+，=l(aM>0),

丁内外椭圆有相同的离心率且共轴，可得内椭圆长轴为。，设内椭圆短轴长为力,焦距

长为匕得£=葭，*力，2=庐一。，2=户字=芈2=与

abaa2a2a2

22

・：内椭圆的方程为靠+市二1.

a2

图中标记的①，②③三个区域面积彼此相等,由对称性只需S外=35内，即似ib=3n*

得层二3尻

即〃2二3(。2-廿),故e=半.

(2)同(1)建立如图平面直角坐标系，由于外椭圆长轴为6,.：。=3,又e=y,ZC=V6