数学文化专项习题集

数学文化专项习题集

110题

一、数学文化与阅读.................................................................2

二、数学文化与函数.................................................................6

三、数学文化与数列.................................................................8

四、数学文化与新定义..............................................................14

五、数学文化与三角函数............................................................17

六、数学文化与立体几何...........................................................20

七、数学文化与概率统计...........................................................27

八、数学文化与排列组合...........................................................32

九、数学文化与解析几何...........................................................33

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一、数学文化与阅读

例1.在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》(1261年)一书中，用如图1所示的三角

形，解释二项和的乘方规律.在欧洲直到1623年以后，法国数学家布莱士•帕斯卡的著作(1655

年)介绍了这个三角形.近年来国外也逐渐承认这项成果属于中国,所以有些书上称这是“中国

三角形”(Chinesetriangle).。世纪德国数学家莱布尼茨发现了“莱布尼茨三角彩'如图2.在杨

辉三角中相邻两行满足关系式:C+C+1=C扎其中n是行数,r£N.请类比上式，在莱布尼茨

三角形中相邻两行满足的关系式是.

2

22

±±±

363

2J_±1

1472724

11

2_Lj_j_1

121J203020y

1331

2JL±±±1

14641z而而而而k

15101051

…____1_______1_________1_________1___]

csc；・y…d-lCJCLC?CLC…ecc…cue"c；.c

图1图2

例2.在数学中，泰勒级数用无限项连加式——级数来表示一个函数，包括正弦，余弦，正切

三角函数等等，其中泰勒级数是以于1715年发表了泰勒公式的英国数学家布鲁克•泰勒(Sir

BrookTaylor)的名字来命名的.1715年，泰勒提出了一个常用的方法来构建这一系列级数并

适用于所有函数，这就是后来被人们所熟知的泰勒级数，并建立了如下指数函数公式：

exxxxxx

x—n--0—4--2—3—R

,其中xR,

nN,n!1234

n,例如：

on!0!1!2!3!n!

；的近似值为(精确到0.001)()

0!1,1!1,2!2,3!

6.试用上述公式估计

e

A.1.601B.1.642C.1.648D.1.647

例3.“克拉茨猜想”又称“3n1猜想”，是德国数学家洛萨・克拉茨在1950年世界数学家大会

上公布的一个猜想:任给一个正整数n,如果n是偶数，就将它减半；如果n是奇数，就将它

乘3加1,不断重复这样的运算，经过有限步后，最终都能够得到1.已知正整数n经过7次

运算后首次得到1,则n的所有不同取值的集合为

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例4.大约在20世纪30年代，世界上许多国家都流传着这样一个题目：任取一个正整数n,

如果它是偶数，则除以2：如果它是奇数，则将它乘以3加1,这样反复运算，最后结果必

然是1.这个题目在东方被称为“角谷猜想”，世界一流的大数学家都被其卷入其中，用尽了各

种方法，甚至动用了最先进的电子计算机，验算到对700亿以内的自然数上述结论均为正确

的，但却给不出一般性的证明.例如取n13,则要想算出结果1,共需要经过的运算步数是

()

A.9B.10C.11D.12

例5.中国古代用算筹来进行记数，算筹的摆放形式有纵横两种形式(如图所示)，表示一个

多位数时，像阿拉伯记数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵

横相间，其中个位、百位、方位……用纵式表示，十位、千位、十万位……用横式表示，则

56846可用算筹表示为()

123456789

IIIinmimuT

_=三=姿工横式

中国古代的算筹数码

A-lllll±¥IIIITB-lllll±¥^T

c^TllllllD-lllll±¥llll±

例6.用“算筹”表示数是我国古代计数方法之一，计数形式有纵式和横式两种，如图1所示.

金元时期的数学家李冶在《测圆海镜》中记载：用“天元术”列方程，就是用算筹来表示方程

中各项的系数.所谓“天元术”，即是一种用数学符号列方程的方法，“立天元一为某某”，意即

“设x为某某”.如图2所示的天元式表示方程।a,a，…,

，和01

axnaxnaxa

0110

nnO1

10

,a表示方程各项的系数，均为筹算数码，在常数项旁边记一“太”字或在一次项旁边记

a

n1

一“元”字，“太”或“元”向上每层减少一次累，向下每层增加一次累.

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纵式：IIIIIIIlliOlliTT¥B

横式：—=三三息_LJL白二

123456789

图1

试根据上述数学史料，判断图3天元式表示的方程是（）

A.x2286x17430X427x284X

B.1630

C.1743x2286x10啊84x27X10

例7.分形几何是美籍法国数学家芒德勃罗在20世纪70年代创立的一门数学新分支，其中的

“谢尔宾斯基”图形的作法是:先作一个正三角形，挖去一个“中心三角形”（即以原三角形各边

的中点为顶点的三角形），然后在剩下的每个小正三角形中又挖去一个‘中心三角形”.按上述

方法无限连续地作下去直到无穷，最终所得的极限图形称为“谢尔宾斯基”图形（如图所示），

按上述操作7次后，“谢尔宾斯基”图形中的小正三角形的个数为（)

A.3B.3D.3

568

例8.“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、

辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十

二地支”.“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪

年法，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅…癸酉，甲戌、乙亥、丙子…癸未，甲申、乙酉、

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丙戌…癸巳，…，共得到60个组合，称六十甲子，周而复始，无穷无尽.2019年是“干支纪

年法”中的己亥年，那么2026年是“干支纪年法”中的

A.甲辰年B.乙巳年C.丙午年D.丁未年

例9.《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物深刻而又朴

素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法.我们用近

代术语解释为：把阳交'一:'当作数字“1”，把阴爻“当作数字“0”，则八封所代表的数

表示如下：

卦名符号表示的二进制数表示的十进制数

坤——0000

艮0011

坎0102

翼=0113

依次类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号为“二二，其表示的十进制数是（）

A.33B.34C.36D.35

例10.中国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结

绳计数”.如图，一位古人在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录捕鱼条数，

由图可知，这位古人共捕鱼（）

AT.89条TTB.113条C.324条D.445条

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二、数学文化与函数

例11.中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”.如图所示的太

极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互转化、对称

统一的形式美、和谐美.定义：图象能够将圆0的周长和面积同时等分

成两部分的函数称为圆O的一个“太极函数”，给出下列命题：

①对于任意一个圆0,其“太极函数”有无数个；

②函数f（x）=ln（X2+小甲）可以是某个圆的“太极函数”；

③正弦函数y=sinx可以同时是无数个圆的“太极函数”；

④函数y=f（x）是“太极函数”的充要条件为函数y=f（x）的图象是中心对称图形.

其中正确的命题为（）

A.①③B.④C.②③D.①④

例12.天文学中为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯（Hipparchus,又名依

巴谷）在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值

越大，它的光就越暗.到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普

森（M.R.Pogson）又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念.天体的明暗程度可以用星等或亮

度来描述.两颗星的星等与亮度满足mmEEm的星的亮度为

.其中星等为

122.5lg2lg1

Ei1,2.已知“心宿二”的星等是1.00.“天津四”的星等是1.25.“心宿二”的亮度是‘天津四”

iII

的r倍，则与r最接近的是（当x较小时，Q12.3x2.7x2）

A.1.24B.1.25C.1.26D.1.27

例13.我们经常听到这样一种说法：一张纸经过一定次数对折之后厚度能超过地月距离.但

实际上，因为纸张本身有厚度，我们并不能将纸张无限次对折，当我们的厚度超过纸张的长

边时，便不能继续对折］,一张长边为w,厚度为x的矩形纸张沿两个方向不断对折，则经

过两次对折’长边变为Jw,厚度变为4x.在理想情况下，对折次数n有下列关系：

2w

nlog（注：Ig20.3）,根据以上信息，一张长为21cm,厚度为0.05mm

的纸最多

2

3x

能对折一次.

例14.如图所示，九连环是中国的一种古老的智力游戏，它环环相扣，趣味无穷.它主要由

九个圆环及框架组成，每个圆环都连有一个直杆，各直杆在后一个圆环内穿过，九个直杆的

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另一端用平板或者圆环相对固定，圆环在框架上可以解下或者套上.九连环游戏按某种规则

将九个环全部从框架上解下或者全部套上.将第n个圆环解下最少需要移动的次数记为

(n9且nN*),已知f11,21,且通过该规则可得

1,则解下第5个圆环最少需要移动的次数为（）

D.21

例15.秦九韶算法是中国南宋时期的数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法.秦九韶算法

是一种将一元n次多项式的求值问题转化为n个一次式的算法.其大大简化了计算过程，即使

在现代，利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是最优的算法.用秦九韶算

法计算当x0.6时函数fxxxx的值时，需要进行加法运算的次数及函数值

423324

分别为（）

A.3,5.6426B.4,5.6426

C.3,5,6416D.4,5.6416

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三、数学文化与数列

例16.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺.莞生一日，

长一尺.蒲生日自半，莞生日自倍.问几何日而长等？”意思是：“今有蒲草第1天长高3

尺，莞草第1天长高1尺.以后，蒲草每天长高前一天的一半，莞草每天长高前一天的2

倍.问第几天蒲草和莞草的高度相同？”根据上述的已知条件，可求得第天时，蒲

草和莞草的高度相同.（结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg3Po.4771,Ig2

Q0.3010）.

例17.腾讯公司推出了下表所示的QQ在线等级制度，设等级为n级需要的天数为

anN,

(*)

等级等级图标需要天数等级等级图标需要天数

合—

15777

QQ&&

212896

分分分&&&

32112192

©

43216320

&☆

545321152

&Q分

660482496

则等级为50级需要的天数a

~~50

例18.我国古代数学名著《孙子算经》载有一道数学问题：“今有物不知其数，三三数之剩

二，五五数之剩二，七七数之剩二.问物几何?”这里的几何指多少的意思.翻译成数学语言就

是：求正整数N,使N除以3余2,除以5余2.根据这一数学思想，今有由小到大排列的所

有正整数数列a、b,a满足被3除余2,ab满足被5除余2,b,把

1212

nnni

数列a与b相同的项从小到大组成一个新数列,记为c,则下列说法正确的是（)

n

A.cabB.cabC.caDbc

2116231046

1224

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例19.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不

为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”意思为有一

个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走

了六天恰好到达目的地，请问第二天比第四天多走了（）

A.96里B.72里C.48里D.24里

例20.《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、

春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之

和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为（）

A.一尺五寸B.二尺五寸C.三尺五寸D.四尺五寸

例21.古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点（或圆球）在等距的排列下可以形成正

三角形的数，如1,3,6,10,15,….我国宋元时期数学家朱世杰在（四元玉鉴》中所记载

的“垛积术”，其中的“落一形”堆垛就是每层为“三角形数”的三角锥的堆垛（如图所示，顶上

一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球，…）.若一"落一形”三角锥垛有10层，则该

堆垛总共球的个数为（）

三角锥垛

A.55B.220C.285D.385

例22.造纸术是我国古代四大发明之一.纸张的规格是指纸张制成后，经过修整切边，裁成

一定的尺寸.现在我国采用国际标准，规定以A0、A1、…、A10；BO、B1、…、B10等

标记来表示纸张的幅面规格.复印纸幅面规格只采用A系列和B系列，其中A系列的幅面规

格为：①A0规格的纸张的幅宽（以x表示）和长度（以y表示）的比例关系为x:y,2；

②将A0纸张沿长度方向对开成两等分，便成为A1规格.A1纸张沿长度方向对开成两等分，

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便成为A2规格，…，如此对开至A8规格.现有AO、A1、A2........A8纸各一张.若A4纸的

面积为624cm2,则这9张纸的面积之和等于cm.

2

例23.《周髀算经》中有这样一个问题，从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、

春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、

立春、春分的“影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则冬至的日影子长为____.

例24.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，书中有一道题为：今有出门望见九堤，堤

有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各几何？若

记堤与枝的个数分别为m,n,现有一个等差数列a，其前nS，且am,S

项和为nn/6

n

则a（）

4

A.84B.159C.234D.243

例25.在进行123100的求和运算时，德国大数学家高斯提出了倒序相加法的原理,

该原理基于所至邈前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法.

n9

已知数列则82...8m2016

a2m

。4034~()

mA，-m

AA.-504B.彳504

24

C.m504D.2m504

例26.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二

人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙

两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人

各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）.这个问题中，甲所得为.

例27.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》

卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之

剩三，七七数之剩二.问物几何？现有这样一个相关的问题：将1到2020这2020个自然数

中被5除余3且被7除余2的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列各

项之和为（）

A.56383B.57171C.59189D.61242

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例28.《张邱建算经》是我国古代内容极其丰富的数学名著.书中有如下问题：“今有马行

转迟，次日减半，疾七日，行七百里.问日行几何？”其意思是：“现有一匹马，行走的速度

逐渐变慢，每天走的里程是前一天的一半，连续行走7天，共走700里路，问每天走的里数

为多少？”则该马第4天走的里数为（）

128700560044800

T27T27TSr127

A.B.C.D.

例29.在明代程大位所著的《算法统宗》中有这样一首歌谣，“放牧人粗心大意，三畜偷偷

吃苗青，苗主扣住牛马羊，要求赔偿五斗粮，三畜户主愿赔偿，牛马羊吃得异样.马吃了牛

的一半，羊吃了马的一半.”请问各畜赔多少？它的大意是放牧人放牧时粗心大意，牛、马、

羊偷吃青苗，青苗主人扣住牛、马、羊向其主人要求赔偿五斗粮食（1斗=10升），三畜的

主人同意赔偿，但牛、马、羊吃的青苗量各不相同.马吃的青苗是牛的一半，羊吃的青苗是

马的一半.问羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食？（）

A.25,50,4WB.25,-25,^50C.4e0,-200^-400D.50,4^01—

7771477777200

777

例30.《张丘建算经》是公元5世纪中国古代内容丰富的数学著作，书中卷上第二十三问：

“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈.问半月积几何？”其意思为“有个

女子织布，每天比前一天多织相同量的布，第一天织五尺，一个月（按30天计）共织布9匹3

丈.问：前半个月（按15天计）共织多少布？”已知1匹=4丈，1丈=10尺，可估算出前半个

月一共织的布约有（）

A.195尺B.133尺C.130尺D.135尺

例31.《张丘建算经》是中国古代的数学著作，书中有一道题为：“今有女善织，日益功疾

（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现一月（按30

天计）共织390尺布”，则第30天织布（）

A.7尺B.14尺C.21尺D.28尺

例32.朱世杰是历史上伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有

如下一段话：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人.”

其大意为“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出

的人数比前一天多7人.”该段话中的1864人全部派遣到位需要的天数为（）

A.9B.16C.18D.20

例33.我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气

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署（gui）长损益相同（皆是按照日影测定时刻的仪器，唇长即为所测量影子的长度）.二十四个

节气及唇长变化如图所示，相邻两个节气皆长的变化量相同，周而复始.若冬至唇长一丈三

尺五寸，夏至唇长一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则夏至之后的那个节气（小暑）

号长是（）

宗春分游

-0男谷南

立夏

^60小满

小寒芒种

冬至27090夏至

大雪

■210--一

A.五寸B.二尺五寸C.三尺五寸D.四尺五寸

例34.“斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现.数列中的一系列数字常被人

们称之为神奇数.具体数列为1,1,2,3,5,8,即从该数列的第三项数字开始，每个

数字等于前两个相邻数字之和.己知数列a为“斐波那契”数列，S为数列an的前项和,

若S.（HIM表示）

==

aM则2018S_____.（用M

2020表示）

例35.“斐波那契”数列是由十三世纪意大利数学家斐波那契发现的.数列中的一系列数字常

被人们称为神奇数.具体数列为：1,1,2,3,5,8,13,…，即从该数列的第三项开始，每个数字

都等于前两个相邻数字之和.已知数列｛an｝为“斐波那契”数列，Sn为数列｛an｝的前n项和，

若a202i=m,则S2oi9=（）

2m-1C.m+1

A.2mB.D.m—1

2

例36.大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传

统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数

量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其前10项依次是

0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,则此数列的第20项为（）

A.220B.200C.180D.162

例37.《九章算术》中有一题：今有牛、马、羊食人苗.苗主责之栗五斗.羊主曰：“我羊

食半马”.马主曰：“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何.其意思是：今有牛、马、羊

吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿五斗粟.羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半."

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马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”若按此比例偿还，牛、马、羊的主人各应赔偿

多少粟？在这个问题中，牛主人比羊主人多赔偿（）

5010

A.一斗粟B.一斗粟

77

7520

C.斗粟D.斗粟

77

例38.《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题:“今有垣厚若干尺，两鼠对穿,

大鼠日一尺,小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢各穿几何?”题意是:有两只老

鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍;小老鼠第一天也进一尺,以后每

天减半，问几天两只老鼠能相遇,相遇时各自打了多少尺的墙.如果墙足够厚,Sn为前n天两只

老鼠打洞长度之和，则Sn=

例39.如图所示是毕达哥拉斯的生长程序:正方形上连接着等腰直角三角形，等我直角三角形

边上再连接正方形，如此继续，若共得到4095个正方形，设初始正方形的边长为2,则最小正方

_2

形的边长为

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四、数学文化与新定义

d为有理数

例40.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数f(x)=[二

[0,为无理数

称为狄利克雷函数，则关于函数f(x)有以下四个命题：

①f(f(x))=1;

②函数f(x)是偶函数；

③任意一个非零有理数T,f(x+T)=f(x)对任意XGR恒成立；

④存在三个点A(Xi,f(Xi)),B(X2,f(X2)),C(X3,f(X3)),使得4ABC为等边三角形.

其中真命题的个数是()

A.4B.3C.2D,1

例41.规定记号“△”表示一种运算，即aAb=J55+a+表a,bwR.若1Ak=3,则函数f(x)

=kAx的值域是.

例42.定义一种运算“※”,对于任意neN.均满足以下运算性质：⑴2X2017=1；⑵(2n

+2)X2017=(2n)X2017+3.则2018X2017=.

例43.定义：若数列同}对任意的正整数n,都有|an」|+|an|=d(d为常数)，则称{aj为“绝对

和数列”，d叫作“绝对公和”.在“绝对和数列”{aj中,羽=2,“绝对公和”为3,则其前2019

项的和S2019的最小值为()

A.-3022B.3022C.-3025D.3035

例44.设集合A={-1,0,1},集合B={0,1,2,3},定义A*B={(x,y)|xeAnB,yeAUB),

则A*B中元素的个数是()

A.7B.10C.25D.52

例45.中国古代数学名草《周髀算经》曾记载有“勾股各自乘，并而开方除之"，用符号表示

为

a2b2C2a,b,cN',我们把a,b,c叫做勾股数.下列给出几组勾股数:3,4,5；5,

12,13；7,24,25；9,40,41,以此类推，可猜测第5组股数的三个数依次是.

例46.设P,Q为两个非空实数集合，定义集合P8Q={z|z=a+b,aep,beQ},若P={一

1,0.1},Q={-2,2},则集合P@Q中元素的个数是()

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A.2B.3C.4D.5

例47.设向量a与b的夹角为9,定义a与b的响量积”：axb是一个向量，它的模|axb尸

|a||b|sin0,若a=(M，-1)，b=(1,<3),则|axb|=()

A.3B.2C.273D.4

例48.如果把四个面都是直角三角形的四面体称为“三节棍体”，那么从长方体八个顶点中

任取四个顶点，则这四个顶点是“三节棍体”的四个顶点的概率为.

例49.中国古代近似计算方法源远流长，早在八世纪，我国著名数学家、天文学家张隧(法

号：一行)为编制《大衍历》发明了一种近似计算的方法一二次插值算法(又称一行算法，

牛顿也创造了此算法，但是比我国张隧晚了上千年)：函数yf(X)XX

在X,X,

12

xxxxx处的函数值分别为yfx,yfxfX则在区间X

x上

3123112233i3

y-y，

fX可以用二次函数来近似代替:

k

()

f(x)ykxXkxxxx_,

2

212

1

XX

21

yyk请依据上述算法，估算2

k32若令Xx

,kX

XX2

32xX03

3122

()

A.3B.16c.17D.24

5252525

例50.设函数f(x)=x—[x],其中冈表示不超过x的最大整数,如[-1.2降-2,=[1]

X

=1.将函数f(x)在区|即0,2)上零点的个数记为m,函数f(x)与g(x)=jj图象的交点个数记

为n,则定积分错误!g(x)dx=.

例51.若计算由曲线y=x及直线x=1和x轴所围成的曲边三角形的面积时，可将区间[0,1]

等分为若干个小区间，并以直代曲得到若干个窄边矩形，其面积表示为xrAx(i=

1,2,3,•••).当区间[0,1]被无限细分时，这些窄边矩形的面积之和将趋近于曲边三角形的面

积，且面积S=错误！xdx.类比曲边三角形面积的求法，计算曲线丫=x及直线x=1和x轴

所围成的曲边三角形绕x轴旋转360°所成旋转体的体积，则体积V可以表示为()

A.错误!TTxdxB.错误!TT(x)2dxC.错误!xxdxD.错误!9TT(x)2dx

例52.已知x为实数，冈表示不超过实数x的最大整数，则函数f(x)=x—冈在R上为(

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A.奇函数B.偶函数C.增函数D.周期函数

例53.我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用

求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A(—2,3)且法向量为门=(4,—1)的直线(点法式)方程

为4X(x+2)+(—1)X(y—3)=0,化简得4x—y+11=0.类比以上方法，在空间直角坐标系中,

经过点B(1,2,3)且法向量为m=(-1,-2,1)的平面(点法式)方程为.

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五、数学文化与三角函数

例54.第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的.如

图，会标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如果小正方形的

面积为1,大正方形的面积为25,直角三角形中较大的锐角为6,那么|9+-]

tan'"=

例55.秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作《数书九章》中有己知三边求三角形面积

的方法：“以小斜幕并大斜暴减中斜'暴，余半之，自乘于上以小斜幕乘大斜累减上，余四约

之，为实一为从隔，开平方得积.”如果把以上这段文字写成公式就是

，其中a,b,c是ABC的内角A,B,C

的对边为.若

a

sinC2sinAcosB,且b22,贝ijABC面积S的最大值为,

例56.“数摺聚清风，一捻生秋意即朝朱翌描写折写的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，

扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以玉螂醪号.如图是折扇的示意图，A为0B

的中点，若在整个扇形区域内随机取二点》窿取自扇面（扇环）部分的概率是（）

0

A.1B.1C.3D.5

4