2025届高三一轮复习数学试题(人教版新高考新教材)考点规范练8　幂函数

考点规范练8幂函数一、基础巩固1.已知幂函数f(x)的图象经过点(4,2),则f(x)的单调递增区间为()A.(-∞,+∞) B.(-∞,0]C.[0,+∞) D.(1,+∞)答案:C解析:设f(x)=xα,由图象经过点(4,2),得4α=2,即22α=2,得α=12,所以f(x)=x12,单调递增区间为[0,+2.下面四个幂函数的图象中,是函数y=x-23答案:B解析:由幂函数的性质可知,函数y=x-23的图象在区间(0,+∞)内单调递减,则AC错误;令f(x)=x-23=1x213,x∈(-∞,0)∪(0,+∞),因为f(-x)=1(-3.已知幂函数f(x)=x3m-7(m∈N)的图象关于y轴对称,且与x轴、y轴均无交点,则m的值为()A.-1 B.0 C.1 D.2答案:C解析:由题意可得,3m-7<0,解得m<73,且3m-7为偶数,m∈N,故m=14.若a<0,则0.5a,5a,5-a的大小关系是()A.5-a<5a<0.5a B.5a<0.5a<5-aC.0.5a<5-a<5a D.5a<5-a<0.5a答案:B解析:由于5-a=15a.因为a<0,所以函数y=xa在区间(0,+∞)内单调递减.又15<0.5<5,所以5a<0.5a<5.如图,函数y=1x,y=x的图象和直线y=1,x=1将平面直角坐标系的第一象限分成八个部分:①②③④⑤⑥⑦⑧.若幂函数f(x)的图象经过的部分是④⑧,则f(x)可能是(A.f(x)=x2 B.f(x)=1C.f(x)=x12 D.f(x)=x答案:B解析:由图象知,幂函数f(x)的定义域为(0,+∞).当0<x<1时,f(x)>1,且f(x)<1x当x>1时,0<f(x)<1,且f(x)>1x所以f(x)可能是f(x)=1x6.已知函数f(x)=x2+(2a-1)x-3,当a=2,x∈[-2,3]时,函数f(x)的值域为;若函数f(x)在区间[-1,3]上单调递增,则实数a的取值范围是.

答案:-214,解析:(1)当a=2时,f(x)=x2+3x-3,其图象的对称轴为直线x=-32∈[-故f(x)max=f(3)=15,f(x)min=f-32=-214,故函数f(x)(2)因为函数f(x)在区间[-1,3]上单调递增,所以-2a-12≤-1,故7.已知函数f(x)同时满足:①f(0)=0;②在区间[1,3]上单调递减;③f(1+x)=f(1-x).该函数的表达式可以是f(x)=.

答案:2x-x2(答案:不唯一)解析:由f(1+x)=f(1-x)可知,y=f(x)的图象关于直线x=1对称;可设f(x)为二次函数,又f(0)=0且f(x)在区间[1,3]上单调递减,所以可设f(x)=2x-x2,符合题意.二、综合应用8.已知f(x)=x3,若当x∈[1,2]时,f(x2-ax)+f(1-x)≤0,则实数a的取值范围是()A.(-∞,1] B.[1,+∞)C.[32,+∞] D.(-∞,3答案:C解析:∵f(-x)=-f(x),f'(x)=3x2≥0,∴f(x)在R上为奇函数且单调递增.由f(x2-ax)+f(1-x)≤0,得f(x2-ax)≤f(x-1),∴x2-ax≤x-1,即x2-(a+1)x+1≤0.设g(x)=x2-(a+1)x+1,则有g(1)=1-a≤0,g(2)=3-2a≤0,9.若x2>x13成立,则x的取值范围是答案:(-∞,0)∪(1,+∞)解析:如图所示,分别作出函数y=x2与y=x13的图象,由于两函数的图象都过点(1,1),由图象可知不等式x2>x13的解集为(-∞,0)∪(1,10.已知幂函数f(x)=x-12,若f(a+1)<f(10-2a),则实数a的取值范围是答案:(3,5)解析:∵f(x)=x-12∴f(x)是定义在区间(0,+∞)内的减函数.又f(a+1)<f(10-2a),∴a+1>0,10-2a>011.设二次函数f(x)=ax2+2ax+1在区间[-3,2]上有最大值4,则实数a的值为.

答案:38或-解析:由题意可知f(x)的图象的对称轴为直线x=-1.当a>0时,f(2)=4a+4a+1=8a+1,f(-3)=3a+1.可知f(2)>f(-3),即f(x)max=f(2)=8a+1=4.故a=38.当a<0时,f(x)max=f(-1)=a-2a+1=-a+1=4,即a=-3.综上所述,a=38或a=-三、探究创新12.已知函数f(x)=(m2-m-1)xm2+m-1是幂函数,且在区间(0,+∞)内单调递增,若a,b∈R,且a+b>0,ab<0,则f(a)A.恒等于0 B.恒小于0C.恒大于0 D.无法判断答案:C解析:由于函数f(x)=(m2-m-1)xm2+m-1是幂函数,则m2-m-1=1,解得当m=-1时,f(x)=x-1,在区间(0,+∞)内单调