二面角(1) 高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册

二面角(1)

高二年级数学知识概要一、二面角的相关概念二

、二面角的度量三、例题分析与讲解四

、课堂小结情境与问题日常生活中，很多场景都有平面与平面所成一定角度的形象.情境与问题如何刻画这样的角的大小呢?二面角的相关概念平面内的一条直线把一个平面分成两部分，其中的每一部分都称为一个半平面.二面角的表示从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，这两个平面称为二面角的面.二面角α-l-β二面角A-CD-B二面角的平面角类比二面角和平面角，如何计算二面角的大小?二面角的平面角类比二面角和平面角，如何计算二面角的大小?二面角的平面角在二面角a-l-β的棱上任取一点O,以

O为垂足，分别在半平面α和p

内作垂直于棱的射线OA

和OB,则射线OA

和OB所成的角称为二面角的平面角.作二面角的平面角已知平面α内一点A,(1)过A作AB⊥β

于B,(2)在平面α内，过A作AC⊥1与C,(3)连接BC.∠ACB即为所求作二面角α-l-β

的平面角.二面角的大小我们约定，二面角及其平面角的大小为[0,π].直二面角平面角是直角的二面角是直二面角.证明a⊥

例题分析与讲解例1.如图三棱锥S-ABC中，面SAC⊥面ABC,

SA=SC=√3,AB=BC=2且AB⊥BC.求(1)二面角S-AB-C的大小；(2)二面角B-SA-C的大小.解：取AC,AB的中点D,E.连接SD,DE,SE.因为SA=SC,

所以SD⊥AC.又因为面SAC⊥

面ABC,所以SD⊥

面ABC.例题分析与讲解(1)求二面角S-AB-C

的大小.所以SE在平面ABC内的射影为DE.因为DE为△ABC的中位线，AB⊥BC,所以AB⊥DE.从而由三垂线定理可知AB⊥SE.所以∠SED为二面角S-AB-C的平面角例题分析与讲解(1)求二面角S-AB-C的大小.由AB=BC=2且AB⊥BC

可知AC=2

√2,所

又DE=_BC=1又因为SD=√

SA²-AD²=√3-2=1,9例题分析与讲解(1)求二面角S-AB-C的大小.∠SED=45°,即二面角S-AB-C

的大小为45°.在△SDE中，例题分析与讲解(2)求二面角B-SA-C的大小.解：连接BD.因为BA=BC,所以BD⊥AC.又因为面SAC⊥

面ABC,所以BD⊥

面SAC.过D作DF⊥SA于F,连接BF.所以BF在平面SAC的射影为DF.因为DF⊥SA,由三垂线定理可知BF⊥SA,所以∠BFD为二面角B-SA-C的平面角.例题分析与讲解(2)求二面角B-SA-C的大小.例题分析与讲解(2)求二面角B-SA-C的大小.因为SD=1,AD=√2,SA=√3,由AAD的面积的求法可知or-而BD=Ac=√2所以tan

∠BFD=BP-√3,所以∠BFD=60°,

即二面角B-SA-C为60°.例题分析与讲解例2.已知正方体ABCD-A,BC₁D,

棱长为1.(1)求二面角D₁-AC₁-B的余弦值；(2)求二面角D-A,B-C₁的余弦值.例题分析与讲解(1)求二面角D₁-AC₁-B的余弦值.观察发现二面角D₁-AC₁-B是钝角，与二面角B-AC₁-B互补.解：连接BD

交AC₁于0,连接BO.因为BB₁

⊥

面A,BC₁D,

而BD₁

⊥AC,

所以BO1

AC,∠BOB是二面角B₁-AC₁-B的平面角.例题分析与讲解(1)求二面角D₁-AC₁-B的余弦值.例题分析与讲解(1)求二面角D₁-AC₁-B的余弦值设二面角D₁-AC₁-B的平面角为θ,θ=π-

∠BOB,tanθ=-tan

∠BOB₁=-√2.由同角关系得即=面角DAG,蹦余磁信为观察图形，正方体截面A,BC和截面DAB均是正三角形.例题分析与讲解(2)求二面角D-A,B-C的余弦值.解：取A,B的中点E,

连接DE,C₁E,C₁D.所以C₁E⊥A₁B,DEIAB,所以∠DEC₁

是二面角D-A,B-C的平面角.例题分析与讲解(2)求二面角D-AB-C的余弦值.

D=√2.在△EDC中，由余弦定理得cos

∠DE即二面角D-A,B-C₁的余弦值为一

3,C₁为又高62CE长为所以DE正三角形例题分析与讲解(2)求二面角D-A,B-C的余弦值课堂小结1.二面角的表示：面-棱-面2.二面角的度量：求二面角的平面角.关注作二面角的平面角的方法、三垂线定理及其逆定理的使用.3.灵活运用空间几何平面化的思想，把二面角的平面角放到三角形里求解.课后练习1.通读课本；2.完成课本习题：第52页练习A1;练习B2,3.0已知二面角P-AB-P

'的大小为

垂

且PP'⊥面ABP',△ABP

的面积为3,求△ABP'的面积.②

已知正三棱锥S-ABC

的所有棱长都为1,求其侧面与底面所