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...wd......wd......wd...《复变函数与积分变换》研究生复习计算题局部填空题假设，，则材=〔P14，两个复数的商等于它们的模的商；两个复数的商的辐角等于被除数和除数的辐角之差〕复数的指数形式是，幅角主值=。〔P46〕复数=，=〔计算过程可见第三题〕。〔P46〕设解析，则，==。〔P41，柯西。黎曼方程〕设C为自原点到的直线段，则积分=〔用牛顿-莱布尼兹公式〕。级数是条件收敛〔填发散、条件收敛或绝对收敛〕。=。〔请分别用柯西积分公式或留数定理计算〕设.，则是可去奇点〔选：可去奇点、极点或本性奇点〕，=0。函数的奇点是〔都是一级极点〕是的本性奇点〔选：可去奇点、极点或本性奇点〕，=1。函数的幂级数展开式是。拉普拉斯变换的定义是。假设,则。计算说明函数在一点连续、可导、解析的关系。讨论的连续、可导、解析性。答：函数在一点连续、可导、解析的关系是：解析可导连续，反之不成立。对，设，则，即。由于都是连续函数，故在复平面上处处连续。由于。显然可微，但只在处满足柯西-黎曼方程。因此只在处可导，但在复平面上处处不解析。分别求和的模、幅角、实部、虚部。解：所以模为，幅角4+2k(主值为4-)，实部、虚部。所以模为，幅角+2k(主值为)，实部、虚部。求,解：。其中k=0时可得相应主值。验证是调和函数，并求，使函数为解析函数。解：，因此u是调和函数。下面用偏积分法求v：由，得到；再由，得，，所以当时，为解析函数。求以下积分，其中C是从0到的直线段。解：由于zez是解析函数，用分部积分法可得其中C是从0到的直线段解：由于被积函数不解析，此题只能沿曲线来计算积分。直线段的参数方程为z=(2+i)t(t从0到1),dz=(2+i)dt。所以得到设，求〔6分〕解：所以进而得求积分,为不通过的闭曲线.解：当a不在C内时，由柯西-古萨基本定理，得当a在C内时，由高阶导数公式，得。解：的一级极点有z=0.5+k，其中在C内。且由法则Ⅲ可求得在各极点处的留数为。故由留数定理得同理；四.函数的展开式求在内的罗朗展开。在内的罗朗展开。将函数展成z的罗朗级数，并指出收敛范围。解：1.对，因为在内有，故在内有2.对，在内时3.积分变换局部求拉氏变换，，。解：求以下函数的拉氏逆变换,解:证明题局部应用棣莫弗公式证明证明：如果函数在区域D内解析，且在D内是一个常数，那么是常数。证明证明如果级数在它的收敛圆的圆周上一点处绝对收敛，则它在收敛圆所围成的闭区域上绝对收敛。综合题局部写出指数函数，对数函数，幂函数，正弦函数，余弦函数的表达式，并指出它们的特性，例如，解析性〔导数是什么〕，周期性，是否有界等。设函数在处分别有m级及n级零点,试问在处具有什么性质(解析零点可去奇点极点本性奇点),并根据m,n的不同情况求出它们的留数(其中m,n为非负整数)描述什

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