专题2.1 等式性质与不等式性质【七大题型】（解析版）-2024-2025初升高衔接资料（新高一暑假学习提升）

专题2.1等式性质与不等式性质【七大题型】【人教A版（2019）】TOC\o"1-3"\h\u【题型1不等关系的建立】 1【题型2利用作差法比较大小】 3【题型3利用作商法比较大小】 4【题型4利用作差法比较大小的应用】 5【题型5利用不等式的性质判断正误】 8【题型6利用不等式的性质证明不等式】 10【题型7利用不等式的性质求取值范围】 12【知识点1不等关系】1．不等关系的建立在用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时，先通过审题，设出未知量，找出其中的不等关系，再将不等关系用不等式表示出来，即得不等式或不等式组．【题型1不等关系的建立】【例1】（2022秋·西藏林芝·高一校考期中）下列说法正确的是（

）A．某人月收入x不高于2000元可表示为“x<2000”B．某变量y不超过a可表示为“y≤a”C．某变量x至少为a可表示为“x>a”D．小明的身高xcm，小华的身高ycm，则小明比小华矮表示为“x>y”【解题思路】根据数量的大小关系，判断不等式使用是否正确，选出正确答案.【解答过程】对于A，某人收入x不高于2000元可表示为x≤2000，A错误；对于B，变量y不超过a可表示为y≤a，B正确；对于C，变量x至少为a可表示为x≥a，C错误；对于D，小明身高xcm，小华身高ycm，小明比小华矮表示为故选：B.【变式1-1】（2023·高一课时练习）某医院工作人员所需某种型号的口罩可以外购，也可以自己生产．其中外购的单价是每个1.2元，若自己生产，则每月需投资固定成本2000元，并且每生产一个口罩还需要材料费和劳务费共0.8元．设该医院每月所需口罩nn∈N∗A．n>800 B．n>5000 C．n<800 D．n<5000【解题思路】根据题设条件可得关于n的不等式，求解后可得正确的选项.【解答过程】由0.8n+2000<1.2n，得0.4n>2000，即n>5000，故选：B．【变式1-2】（2022秋·黑龙江双鸭山·高一校考期中）完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2000元，设木工x人，瓦工y人，则请工人满足的关系式是（

）A．5x+4yC．5x+4y【解题思路】根据工资预算以及工人工资列出不等式.【解答过程】依题意，请工人满足的关系式是50x即5x故选：D.【变式1-3】（2022·全国·高一专题练习）在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5厘米，人跑开的速度为每秒4米，距离爆破点100米以外（含100米）为安全区．为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度x（单位：厘米）应满足的不等式为（

）A．4×x0.5<100 B．4×x0.5≥100【解题思路】计算出导火索燃烧的时间也即人跑到100米外安全区至少需要的时间，列出不等关系，即可求得答案.【解答过程】由题意知导火索的长度x（单位：厘米），故导火索燃烧的时间为x0.5人在此时间内跑的路程为4×x0.5米，由题意可得故选：B．【知识点2比较大小】1．两个实数大小的比较如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b等于零，那么a＝b；如果a－b是负数，那么a<b.反过来也对．这个基本事实可以表示为：a>b⇔a－b>0，a＝b⇔a－b＝0，a<b⇔a－b<0.从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小．【题型2利用作差法比较大小】【例2】（2023·全国·高三专题练习）已知a>0，b>0，M＝a+b，N＝a+b，则M与A．M>N B．M<N C．M≤N D．M，N大小关系不确定【解题思路】平方后作差比较大小即可.【解答过程】M2∴M<N.故选：B.【变式2-1】（2023秋·河南许昌·高三校考期末）已知x=−a2−2a+3,y=4−3aA．x<y B．x=yC．x>y D．x与y的大小无法判断【解题思路】根据作差法比较大小即可.【解答过程】因为x=−a所以x−y=−a2+a−1=−故选：A.【变式2-2】（2023秋·安徽蚌埠·高一统考期末）已知0<x<1，则下列不等式成立的是（

）A．x2>1x>x B．1x【解题思路】利用作差法判断即可.【解答过程】因为0<x<1，则1−x>0，所以1x−x=1−又x−x2=x所以1x故选：D.【变式2-3】（2023·江苏·高一假期作业）已知a，b，c为不全相等的实数，P=a2+b2+c2+3A．P>Q B．P≥QC．P<Q D．P≤Q【解题思路】利用作差法判断即可.【解答过程】因为P=a2所以P−Q=a当且仅当a=b=c=1时取等号,∵a，b，c为不全相等的实数，因此等号不成立，即P−Q>0，∴P>Q．故选：A.【题型3利用作商法比较大小】【例3】（2023·全国·高一假期作业）已知c＞1，且x＝c+1－c，y＝c－c−1，则x，y之间的大小关系是（

）A．x＞y B．x＝yC．x＜y D．x，y的关系随c而定【解题思路】应用作商法比较xy【解答过程】由题设，易知x，y＞0，又xy∴x＜y.故选：C.【变式3-1】（2022秋·山东泰安·高一校考期中）设p=a2+a+1−1，A．p>q B．p<q C．p≥q D．p≤q【解题思路】首先配方判断p、q均大于零，然后作商即可比较大小.【解答过程】p=aq=a则q=a故p≤q，当且仅当a=0时，取等号，故选：D.【变式3-2】（2023·江苏·高一假期作业）若0<x<1，则x、1x、x、x2中最小的是x【解题思路】利用作商法以及不等式的性质求解即可.【解答过程】因为0<x<1，所以1x>1，0<因为xx=x<1，x即x故答案为：x2【变式3-3】（2021·全国·高一专题练习）P=a2+a+1,Q=1a2−a+1【解题思路】用作商法比较P,Q的大小关系，化简即可得结果.【解答过程】因为P=a2+a+1=a+1由PQ所以P≥Q，故答案为：≥.【题型4利用作差法比较大小的应用】【例4】（2023·高一课时练习）某单位计划组织员工参观花博会需租车前往．甲租车公司：“如领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠”．乙租车公司：“你们属团体票，按原价的8折优惠”．这两家租车公司的单人全票价、车型都是一样的，试根据该单位参观的人数，选择一下租车公司．【解题思路】设该单位员工有n人(n∈N∗)，全票价为x元，再用x及【解答过程】设该单位员工有n人(n∈N∗)，全票价为xx>0元，坐甲车需花y则y1=x+3因为y1因为x>0，所以当n=5时，y1=y2；当n>5时，y1因此，当单位去参观的人数为5人时，两家租车公司收费相同；多于5人时，选甲租车公司更优惠；少于5人时，选乙租车公司更优惠．【变式4-1】（2022·上海·高二专题练习）有甲、乙两位股民，分两次同时以a，b两种不同价格（单位：元/股）买入同一种股票；甲的买入方式为：每次买入10000元的股票：乙的买入方式为：每次买入股票2000股；请根据两人所买股票的平均每股价格，判断哪一位的买入方式比较合算？【解题思路】根据平均价格的计算公式，分别计算出甲和乙所买股票的平均每股价格，再用作差法进行比较即可求得答案.【解答过程】甲所买股票的平均每股价格：x1乙所买股票的平均每股价格：x2作差得，a+b2即x2>【变式4-2】（2023秋·广东·高一统考期末）一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好．设某所公寓的窗户面积与地板面积分别为am2，(1)若这所公寓的窗户面积与地板面积的总和为220m(2)若同时增加窗户面积和地板面积各nm【解题思路】（1）设公寓窗户面积与地板面积分别为am2,bm2（2）设a和b分别表示公寓原来窗户面积和地板面积，n表示窗户和地板所增加的面积，再比较a+nb+n和a【解答过程】（1）设公寓窗户面积与地板面积分别为am2,b所以b≤a10%=10a，所以所以这所公寓的窗户面积至少为20平方米.（2）设a和b分别表示公寓原来窗户面积和地板面积，n表示窗户和地板所增加的面积（面积单位都相同），由题意得：0<a<b,n>0，则a+nb+n因为b>0,n>0，所以b(b+n)>0.又因为a<b，所以n(b−a)>0.因此a+nb+n−a所以窗户和地板同时增加相等的面积，住宅的采光条件变好了.【变式4-3】（2023·江苏·高一假期作业）下列关于糖水浓度的问题，能提炼出怎样的不等关系呢？(1)如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了；(2)把原来的糖水（淡）与加糖后的糖水（浓）混合到一起，得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡；(3)如果向一杯糖水里加水，糖水变淡了.【解题思路】由题意建立不等式，利用作差法比较大小即可得证.【解答过程】（1）设糖水b克，含糖a克，糖水浓度为ab，加入m克糖，即证明不等式a+mb+m>ab(其中a，b，m不妨用作差比较法，证明如下：a+mb+m−ab=∵a，b，m为正实数，且a<b，∴b+m>0,b−a>0，∴mb−abb+m（2）设原糖水b克，含糖a克，糖水浓度为ab；另一份糖水d克，含糖c克，糖水浓度为cd，且ab<c证明：∵ab<cd，且b＞a∴ad<bc，即bc−ad>0，ab即abcd即a+c（3）设原糖水b克，含糖a克，糖水浓度为ab，加入m克水，求证：ab>ab+m(其中b证明：ab∴a【知识点3等式性质与不等式性质】1．等式的基本性质性质1如果a＝b，那么b＝a；性质2如果a＝b，b＝c，那么a＝c；性质3如果a＝b，那么a±c＝b±c；性质4如果a＝b，那么ac＝bc；性质5如果a＝b，c≠0，那么eq\f(a,c)＝eq\f(b,c).2．不等式的性质(1)如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔b<a.(2)如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c⇒a>c.(3)如果a>b，那么a＋c>b＋c.(4)如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc.(5)如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.(6)如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.(7)如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)．【题型5利用不等式的性质判断正误】【例5】（2023春·福建·高二统考学业考试）已知a<2，则下列不等式正确的是（

）A．a+c<2+c B．a2<c2 C．【解题思路】由不等式的性质可判断A；由特值法可判断BCD.【解答过程】对于A，a<2，由不等式的性质可得a+c<2+c，故A正确；对于B，a<2，取a=1,c=12，所以对于C，a<2，若c=0，则ac=2c，故C不正确；对于D，a<2，取a=1>0，故D不正确.故选：A.【变式5-1】（2023春·上海宝山·高一统考期末）如果a<b<0，那么下列式子中一定成立的是（

）A．a2>ab B．a2<b2【解题思路】利用不等式的性质，逐项判断作答.【解答过程】由a<b<0，得a2由a<b<0，得−a>−b>0，则a2由a<b<0，得ab由a<b<0，得aab<b故选：A.【变式5-2】（2023春·江苏扬州·高一统考开学考试）对于实数a，b，c，下列命题正确的是（

）A．若a>b，则aB．若a>b，则aC．若a>b，则a|a|>b|b|D．若a>b>c>0，则ba−b【解题思路】ABD选项，由做差法可判断大小；C选项，分a>b>0,a>0>b,0>a>b三种情况讨论即可判断大小.【解答过程】A选项，acB选项，a2−bC选项，当a>b>0时，a|a|−b|b|=a当a>0>b时，a|a|−b|b|=a当0>a>b时，a|a|−b|b|=−a综上a|a|>b|b|，故C正确；D选项，ba−b故选：C.【变式5-3】（2023秋·河南省直辖县级单位·高二校考阶段练习）下列命题中正确的是（

）A．若a>b，则ac2>bc2 B．若C．若a>b，c>d，则a−c>b−d D．若ab>0，a>b，则1【解题思路】举反例排除ABC；利用作差法即可判断D.【解答过程】A选项，当c=0时，acB选项，当a=1，b=0，c=−2，d=−1时，ac=−1C选项，当a=1，b=0，c=1，d=0时，a−c=b−d，故C错误；D选项，若ab>0，a>b，则1a−1故选：D.【题型6利用不等式的性质证明不等式】【例6】（2023·全国·高一假期作业）证明下列不等式：(1)已知a>b，e>f(2)已知a>b>0,c<d<0，求证：3a【解题思路】（1）（2）利用不等式的基本性质即可证明．【解答过程】（1）证明：∵a>b，c>0，∴ac>bc，∴−ac<−bc，又因为e>f，即f<e，所以f−ac<e−bc.（2）证明：∵c<d<0，∴1d<又a>b>0，∴−ad>−∴3【变式6-1】（2023·全国·高一假期作业）（1）已知a<b<c，且a+b+c=0，证明：aa−c（2）证明：a−a−2【解题思路】(1)利用不等式的性质证明即可；(2)等价于证明a+a−3<a−1+a−2，对不等式两边同时平方后只需证明aa−3<a−1【解答过程】证明：（1）由a<b<c，且a+b+c=0，所以a<0，且所以(a−c)(b−c)>0，所以a−ca−cb−c<即1b−c<1a−c；所以ab−c>aa−c，即aa−c（2）要证a−a−2只需证a+a−3<a−1+即证a+(a−3)+2a(a−3)即证aa−3<a−1即证a(a−3)<(a−1)(a−2)；即证0<2，显然成立；所以a−【变式6-2】（2022秋·内蒙古呼和浩特·高一统考期中）证明不等式．(1)bc−ad≥0，bd＞0，求证：a+bb(2)已知a＞b＞c＞0，求证：ba−b【解题思路】（1）作差后，根据条件结合不等式的性质证明；（2）先用作差法证明ba−b>b【解答过程】（1）证明：a+bb因为，bc−ad≥0，所以，ad−bc≤0，又bd＞0，所以，ad−bcbd即a+bb（2）证明：因为a＞b＞c＞0，所以有，−b<−c，0<a−b<a−c，b−c>0，则，ba−b即有，ba−b因为，a−c>0，所以，1a−c又b>c，所以，ba−c所以，有ba−b【变式6-3】（2023·高一课时练习）利用不等式的性质证明下列不等式：(1)若a<b，c<0，则a−bc>0(2)若a<0，−1<b<0，则a<ab【解题思路】（1）可知a−b>0，而c<0，即可得证；（2）可知1>b2>0>b>−1【解答过程】（1）证明：∵a>b，∴a−b>0，又c<0，∴(a−b)c<0；（2）证明：∵−1<b<0，∴0<∴1>b又a<0，∴a<ab【题型7利用不等式的性质求取值范围】【例7】（2023·全国·高三专题练习）已知－1<x＋y<4，2<x－y<3，求3x＋2y的取值范围？【解题思路】由不等式的基本性质求解即可.【解答过程】设3x＋2y＝m（x＋y）＋n（x－y），则m+n=3m−n=2，所以m=52又∵－1<x＋y<4，2<x－y<3，∴−52<∴−32<∴3x＋2y的取值范围为−3【变式7-1】（2023·全国·高三专题练习）若实数x、y满足−1≤x