矩阵分析 课件 第5章 向量与矩阵范数

第5章向量与矩阵范数5.1向量范数则称为向量α的范数。且满足条件：定义5.1

设是数域上的线性空间，如果对于任意的向量1、向量范数公理

定理5.1

向量范数具有下列性质：（1）（2）（3）证明：（1）与（2）显然成立。（3）由范数的三角不等式，可得综合二式即得若以代入上式，可得到例5.1

（1-范数）设为中任一向量，规定，证明：中的一种向量范数，这个范数称为向量的1-范数，记作证明：

（1）当时，则不全为零，所以当时，必有所以（2）

（3）证毕例5.2

（2-范数）设为中任一向量，规定证明：中的一种向量范数，这个范数称为向量的2-范数，记作证明：

（1）当时，则不全为零，所以当时，必有所以（2）

（3）证毕引理5.1

（Hölder不等式）对任意其中例5.3

（p-范数）设为中任一向量，规定证明：中的一种向量范数，这个范数称为向量的p-范数，记作证明：下面只证三角不等式性质故证毕例5.4（

-范数）为中任一向量，规定证明：中的一种向量范数，这个范数称为向量的

-范数，记作证明：下面只证三角不等式性质证毕定理5.2

设

为中任一向量，则证明：当时，结论成立。设，又设则有证毕例5.5

设是中的一种向量范数，给定矩阵，对于中的向量，规定则也是中的一种向量范数。证明：

（1）当时，则所以，由列满秩性所以（2）（3）由范数的三角不等式，可得证毕2、向量范数的等价性定义5.2

若

和是有限维线性空间中任意两种向量范数，如果存在着使得对于一切则称范数

和

是等价的定理5.3

有限维线性空间中任意两种向量范数都等价。证明：取定维线性空间的一个基令则是坐标的连续函数，因为则是坐标的连续函数设

和是有限维线性空间中的任意两种向量范数当时，则结论显然成立。有的连续函数，所以也是坐标的连续函数。考虑单位球面因为是有界闭集，是上的连续函数，在上取得最大值与最小值本节小结010203向量范数公理常见的向量范数向量范数的等价性P96

：1;2;预习：5.2节本节作业第5章向量与矩阵范数5.2矩阵范数1、矩阵范数公理

定义5.3

对于任意复矩阵A，都有一个实数与之对应，且满足定义5.4设是一个复矩阵，则例5.6是矩阵范数，且与向量的1-范数相容矩阵的m1-范数证明：可以视为中的向量，所以也就是向量的1-范数，因此是广义矩阵范数，只证相容性设设设是一个复矩阵，则例5.7，是矩阵范数，且与向量的2-范数相容矩阵的F-范数我们证明相容性定理5.4

证明：定理5.5

则对任意适当阶酉矩阵U和V证明：矩阵的m无穷-范数设是一个复矩阵，则例5.8是矩阵范数，且与向量的1，2，无穷-范数相容我们证明相容性定理5.6

设是上的一种矩阵范数，则在上必存在与之相容的向量范数。2、矩阵的从属范数

定理5.7定理5.8A的每列绝对值之和的最大值，称为A的列和范数A的每行绝对值之和的最大值，称为A的行和范数其中的最大特征值，称为A的2-范数（谱半径）导出范数

定理5.9则对任意适当阶酉矩阵U和V3、谱半径定义5.5

设

，为A的n个特征值定理5.10设则（1）（2）（3）A正规定理5.11

设，为任一

上的矩阵范数，都有定理5.12

设，

给定，存在某一个矩阵范数，使4、条件数定义5.6

病态/