华东师大版初中数学九年级上册22-2一元二次方程的解法第4课时公式法与根的判别式课件

九年级

上册华东师大版初中数学第22章一元二次方程22.2一元二次方程的解法第4课时公式法与根的判别式知识点4用公式法解一元二次方程基础过关全练1.(2024重庆铜梁巴川中学月考)用公式法解一元二次方程3x2

=2x-3时,首先要确定a、b、c的值,下列叙述正确的是

(

)A.a=3,b=2,c=3

B.a=-3,b=2,c=3C.a=3,b=2,c=-3

D.a=3,b=-2,c=3D解析移项得3x2-2x+3=0,∴a=3,b=-2,c=3.2.(新独家原创)如果多项式2m-3与m+1的积为-2,那么m=

(

)A.1

B.-1或-

C.1或-

D.-

C解析根据题意得(2m-3)(m+1)=-2,即2m2-m-1=0,∴m=

,解得m=1或-

.3.(2024福建泉州五中月考)若一元二次方程x2+bx+4=0的两

个实数根中较小的一个根是m(m≠0),则b+

=

(

)A.m

B.-m

C.2m

D.-2mD解析∵x2+bx+4=0的两个实数根中较小的一个根是m,∴

=m,∴b+

=-2m.4.(2024吉林长春宽城模拟)用公式法解一元二次方程,得x=

,则该一元二次方程的一般式为

.3x2-5x+1=0解析依题意可知a=3,b=-5,c=1,∴该一元二次方程为3x2-5x

+1=0.5.(2024湖南衡阳石鼓期中)如图,点A在数轴的负半轴,点B在数轴的正半轴,且点A表示的数是2x-1,点B表示的数是x2+x,已知AB=5,则x的值为

.

解析根据题意得x2+x-(2x-1)=5,整理得x2-x-4=0,∴a=1,b=-1,

c=-4,∴b2-4ac=(-1)2-4×1×(-4)=17>0,∴x=

=

,∴x1=

,x2=

,∵点A在数轴的负半轴,∴2x-1<0,即x<

,∴x=

.方法解读利用求根公式解一元二次方程的步骤先将方程化为一般形式,然后计算b2-4ac的值,当b2-4ac的值大

于或等于零时,再代入求根公式求解.6.(2024福建泉州一模)小明在解方程x2-5x=-3的过程中出现

了错误,其解答如下:解:∵a=1,b=-5,c=-3,

第一步∴b2-4ac=(-5)2-4×1×(-3)=37,

第二步∴x=

,

第三步∴x1=

,x2=

.

第四步(1)小明的解答是从第

步开始出错的;(2)请写出本题正确的解答.解析

(1)一.(2)化为一般式得x2-5x+3=0,∴a=1,b=-5,c=3,∴b2-4ac=(-5)2-4×1×3=13>0,∴x=

=

,∴x1=

,x2=

.7.用公式法解下列方程:(1)(2024四川成都郫都期末)2x2-9x+8=0;(2)(2024甘肃天水清水八中期中)x2-

x-

=0;(3)(x+2)(x+4)=-3.解析

(1)∵a=2,b=-9,c=8,∴Δ=(-9)2-4×2×8=17>0,∴x=

=

,∴x1=

,x2=

.(2)∵a=1,b=-

,c=-

,∴Δ=(-

)2-4×1×

=3>0,∴x=

,∴x1=

,x2=

.(3)∵(x+2)(x+4)=-3,∴x2+6x+11=0,∴a=1,b=6,c=11,∴Δ=62-4×1×11=-8<0,∴此方程无解.8.(2024河南驻马店二中月考)选用合适的方法解方程:(1)2(x+1)2-49=1;(2)x2-3x-1=0;(3)3(x-5)2=2(5-x);(4)(x+1)(x-1)=2

x.解析

(1)∵2(x+1)2-49=1,∴(x+1)2=25,∴x+1=±5,∴x1=4,x2=-

6.(2)∵a=1,b=-3,c=-1,∴b2-4ac=(-3)2-4×1×(-1)=9+4=13>0,∴x=

,解得x1=

,x2=

.(3)移项得3(x-5)2-2(5-x)=0,∴3(x-5)2+2(x-5)=0,因式分解得(x-

5)[3(x-5)+2]=0,∴x-5=0或3(x-5)+2=0,解得x1=5,x2=

.(4)将方程化为一般形式得x2-2

x-1=0,∵a=1,b=-2

,c=-1,∴b2-4ac=(-2

)2-4×1×(-1)=12,∴x=

=

±

,∴x1=

+

,x2=

-

.方法解读选用合适的方法解一元二次方程若方程易化为(mx+n)2=p(m≠0,p≥0)的形式,则选用直接开平

方法;若方程的二次项系数为1,一次项系数为偶数,则选用配

方法;若将方程整理后右边为0,且左边能进行因式分解,则选

用因式分解法;若用直接开平方法、配方法、因式分解法都

不简便,则选用公式法.知识点5一元二次方程根的判别式9.(2023吉林中考)一元二次方程x2-5x+2=0根的判别式的值是

(

)A.33

B.23

C.17

D.

C解析∵a=1,b=-5,c=2,∴Δ=b2-4ac=(-5)2-4×1×2=25-8=17.10.(2023河南中考)关于x的一元二次方程x2+mx-8=0的根的情

况是

(

)A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根A解析∵Δ=m2-4×1×(-8)=m2+32>0,∴方程有两个不相等的实

数根.11.(新考法)(2024河南洛阳第二外国语学校月考)对于一元二

次方程x2-3x+c=0,当c=

时,方程有两个相等的实数根.若将c的值在

的基础上减小,则此时方程根的情况是(

)A.没有实数根

B.有两个相等的实数根C.有两个不相等的实数根D.无法确定C解析由题意可知Δ=9-4c,当c<

时,9-4c>0,∴此时方程根的情况是有两个不相等的实数根.12.(2023北京中考)若关于x的一元二次方程x2-3x+m=0有两个

相等的实数根,则实数m的值为

(

)A.-9

B.-

C.

D.9C解析∵关于x的一元二次方程x2-3x+m=0有两个相等的实

数根,∴Δ=b2-4ac=(-3)2-4m=0,解得m=

.13.(2023上海中考)已知关于x的一元二次方程ax2+6x+1=0没

有实数根,那么a的取值范围是

.a>9解析∵关于x的一元二次方程ax2+6x+1=0没有实数根,∴Δ

<0,即62-4a<0,解得a>9.14.(新考向·开放型试题)(2023山东济南中考)关于x的一元二

次方程x2-4x+2a=0有实数根,则a的值可以是

(写出一个即可).答案不唯一,如1解析∵关于x的一元二次方程x2-4x+2a=0有实数根,∴Δ=16

-8a≥0,解得a≤2,则a的值可以是1(答案不唯一).15.(新考向·开放型试题)(2023浙江杭州中考)设一元二次方

程x2+bx+c=0.在下面的四组条件中选择其中一组b,c的值,使

这个方程有两个不相等的实数根,并解这个方程.①b=2,c=1;②b=3,c=1;③b=3,c=-1;④b=2,c=2.解析∵使方程x2+bx+c=0有两个不相等的实数根,∴b2-4ac>

0,即b2>4c,∴选②③均可.选②解方程,则这个方程为x2+3x+1=

0,解得x=

=

,∴x1=

,x2=

.若选③,则x1=

,x2=

.16.(易错题)(2023辽宁锦州中考,6,★☆☆)若关于x的一元二

次方程kx2-2x+3=0有两个实数根,则k的取值范围是

(

)A.k<

B.k≤

C.k<

且k≠0

D.k≤

且k≠0能力提升全练D解析∵关于x的一元二次方程kx2-2x+3=0有两个实数根,∴k≠0,Δ=(-2)2-4k×3≥0,∴k的取值范围是k≤

且k≠0.易错点:本题易因忽略二次项系数不为0而致错.17.(新考法)(2023广东广州中考,10,★★☆)已知关于x的方程

x2-(2k-2)x+k2-1=0有两个实数根,则

-(

)2的化简结果是

(

)A.-1

B.1

C.-1-2k

D.2k-3A解析本题将一元二次方程根的判别式和二次根式的化简

求值完美结合在一起,命题角度新颖.∵关于x的方程x2-(2k-2)

x+k2-1=0有两个实数根,∴Δ=[-(2k-2)]2-4×1×(k2-1)≥0,整理得-8k+8≥0,解得k≤1,∴k-1≤0,2-k>0,∴

-(

)2=-(k-1)-(2-k)=-1.18.(2024河南周口项城一中二模,8,★★☆)关于x的一元二次方程2x2-mx+8=0有两个相等的实数根,则方程的根为

(

)A.x1=x2=2

B.x1=x2=-2C.x1=x2=2或x1=x2=-2

D.x1=x2=1或x1=x2=-2C解析∵关于x的一元二次方程2x2-mx+8=0有两个相等的实

数根,∴Δ=0,即m2-4×2×8=0,解得m=±8.当m=8时,方程为2x2-8x

+8=0,解得x1=x2=2;当m=-8时,方程为2x2+8x+8=0,解得x1=x2=-2.19.(新考向·新定义试题)(2024四川绵阳涪城二模,10,★★☆)

定义新运算:对于两个不相等的实数a,b,我们规定符号max

{a,b}表示a,b中的较大值,如:max{1,3}=3,max{-1,-3}=-1.按照

这个规定,若max{x,-x}=

,则x的值是

(

)A.-1

B.-1或2+

C.2+

D.1或2-

B解析若x>-x,即x>0,则x=

,∴x=2+

(负值舍去);若x<-x,即x<0,则-x=

,∴x=-1(正值舍去).综上,x的值是-1或2+

.20.(2024福建漳州一中二模,16,★★☆)若方程x2+mx+1=0和x2

+x+m=0有公共根,则常数m的值是

.-2解析设方程x2+mx+1=0和x2+x+m=0的公共根为t,则t2+mt+1

=0①,t2+t+m=0②,①-②得(m-1)t=m-1,分情况求解如下:(1)如果m=1,那么两个方程均为x2+x+1=0,Δ=12-4×1×1=-3<0,

不符合题意;(2)如果m≠1,那么t=1,把t=1代入①,得1+m+1=0,解得m=-2.综上所述,常数m的值为-2.21.(整体思想)(2024四川成都七中实验学校一模,17,★★★)方程x2-3|x|-2=0的较小根的倒数是

.解析方程整理得|x|2-3|x|-2=0,∵a=1,b=-3,c=-2,∴b2-4ac=9+8

=17>0,∴|x|=

(负值舍去),解得x1=

,x2=-

,∴较小根为-

,则该方程较小根的倒数是-

=-

=-

=

.22.(教材变式·P36T9)(2024吉林长春第二实验中学二模,17,

★★☆)关于x的一元二次方程x2-(m+1)x+m=0.(1)求证:方程总有两个实数根;(2)若方程有一个根为负数,求m的取值范围.解析

(1)证明:∵a=1,b=-(m+1),c=m,∴Δ=b2-4ac=[-(m+1)]2-4×

1×m=m2+2m+1-4m=m2-2m+1=(m-1)2≥0,∴方程总有两个实数

根.(2)∵x2-(m+1)x+m=0,∴(x-m)(x-1)=0,∴x1=m,x2=1.∵方程有一个根为负数,∴m<0.23.(新考向·新定义试题)(2024河南洛阳新安二模,23,★★☆)