2023-2024学年河南省南阳市方城县高二（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年河南省南阳市方城县高二（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知f(x)是定义在R上的可导函数，若Δx→0limf(3−Δx)−f(3+Δx)Δx=4，则A.0 B.−2 C.1 D.−2.已知一组数据2，5，10，17，26，…，按此规律可以得到第100个数为(

)A.9802 B.9991 C.10001 D.102023.若椭圆C：x2m+y22=1A.6 B.263或26 C.24.某校A、B、C、D、E五名学生分别上台演讲，若A须在B前面出场，且都不能在第3号位置，则不同的出场次序有(    )种．A.18 B.36 C.60 D.725.已知数列{an}满足a1=0，a2=1.若数列{A.22023+13 B.22024+136.已知点P是双曲线x216−y220=1右支上的一点，点A、B分别是圆(x+6)2+A.3 B.5 C.7 D.97.由样本数据点(xi,yi)，i=1，2，3，⋯，n的散点图可知，变量y与x线性相关，求得的回归直线方程为y=2x+1，且xA.3 B.4 C.5 D.68.已知函数f(x)=ax3−3x2+1，若f(x)存在唯一的零点x0，且A.(2,+∞) B.(1,+∞) C.(−∞,−2) D.(−∞,−1)二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知向量a=(2,−1,2)，b=(2,2,1)，c=(4,1,3)，则A.|a|=|b| B.a在b上的投影向量为(89,810.已知函数f(x)=xex+ax(a∈R).则下列说法正确的是A.当a=0时，f(x)min=−1e

B.当a=1时，直线y=2x与函数f(x)的图象相切

C.若函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增，则a≥0

D.若在区间11.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的准线方程为x=−1，过抛物线C的焦点F的直线l交抛物线C于A，B两点，则下列说法正确的是(

)A.|AB|的最小值为4

B.设Q(3,2)，则△QAF周长的最小值为4

C.以AF为直径的圆与y轴相切

D.若BF=2FA，则直线l的斜率为2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知(2x+3)9=a013.在正三棱柱ABC−A1B1C1中，D为棱AB的中点，BC1与B1C交于点E，若AB=AA14.在等比数列{an}中，a3，a7是函数f(x)=13x四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知数列{an}满足an+1=an+2，n∈N∗，且a2，a5，a14构成等比数列．

(1)求数列{a16.(本小题15分)

如图所示，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥面ABCD，AB⊥BC，AB⊥AD，且PA=AB=BC=12AD=2．

(1)求PB与CD所成的角；

(2)求直线PD与面17.(本小题15分)

已知平面内点M(x,y)与两个定点A(4,0)，B(1,0)的距离之比等于2．

(1)求点M的轨迹方程；

(2)记(1)中的轨迹为C，过点M(1,12)的直线l被C所截得的线段的长为2318.(本小题17分)

时下流行的直播带货与主播的学历层次有某些相关性，某调查小组就两者的关系进行调查，从网红的直播中得到容量为200的样本，将所得直播带货和主播的学历层次的样本观测数据整理如表：直播带货评级合计优秀良主播的学历层次本科及以上6040100专科及以下3070100合计90110200(1)依据小概率值α=0.001的独立性检验，能否认为直播带货的评级与主播的学历层次有关联？

(2)统计学中常用R(B|A)=P(B|A)P(B−|A)表示在事件A条件下事件B发生的优势，称为似然比，当R(B|A)≥1.35时，我们认为事件A条件下B发生有优势.现从这200人中任选1人，A表示“选到的主播带货良好”.B表示“选到的主播学历层次为专科及以下”，请利用样本数据，估计R(B|A)的值，并判断事件A条件下B发生是否有优势：

(3)现从主播学历层次为本科及以上的样本中，按分层抽样的方法选出5人组成一个小组，从抽取的5人中再抽取3人参加主播培训，求这3人中，主播带货优秀的人数X的概率分布和数学期望．

附：α0.0500.0100.001x3.8416.63510.82819.(本小题17分)

已知函数f(x)=alnx−x．

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)证明：当a>0时，f(x)≤(ae)a参考答案1.B

2.C

3.D

4.B

5.A

6.B

7.C

8.C

9.ABD

10.AB

11.ACD

12.2

13.314.2

15.解：(1)由an+1=an+2，得an+1−an=2，所以数列{an}是以2为公差的等差数列，

又a2，a5，a14构成等差数列，得a52=a2a14，即(a1+816.解：(1)因为PA⊥面ABCD，AB⊥AD，所以PA，AB，AD两两垂直，

故建立如图所示的空间直角坐标系：

A(0,0,0)，P(0,0,2)，B(2,0,0)，D(0,4,0)，C(2,2,0)，

则PB=(2,0,−2)，CD=(−2,2,0)，

∴|cosPB,CD|=|PB⋅CD|PB||CD||=12，

所以PB与CD所成的角为60°．

(2)由(1)知AP=(0,0,2),AC=(2,2,0)，

设平面PAC的法向量为m=(x,y,z)，

所以m⋅AP=z=0m⋅AC=y+x=0，

令17.解：(1)因为点M(x,y)与两个定点A(4,0)，B(1,0)的距离之比等于2，

所以y2+(x−4)2y2+(x−1)2=2，

整理得点M的轨迹方程为x2+y2=4．

(2)当直线l的斜率不存在时，此时直线l的方程为x=1，满足弦长为23；

当直线l的斜率存在时，不妨设斜率为k，

则直线l的方程为y−12=k(x−1)，

即kx−y−k+12=0，

则圆心(0,0)到直线l的距离d=|−k+12|k2+(−1)18.解：(1)零假设为H0：直播带货的评级与主播的学历无关，

χ2=200×(60×70−40×30)2100×100×90×110≈18.182>10.828=x0.001，

所以根据小概率值α=0.001的独立性检验，

可推断H0不成立，认为直播带货的评级与主播的学历层次有关联；

(2)因为R(B|A)=P(B|A)P(B−|A)=P(AB)P(A)P(AB−)P(A)=P(AB)P(AB−)=n(AB)n(AB−)=7040=74=1.75X123P331所以数学期望E(X)=1×31019.解：(1)由题函数定义域为(0,+∞)，f′(x)=ax−1=a−xx，

故当a≤0时，f′(x)<0恒成立，所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递减；

当a>0时，f′(x)在(0,+∞)上单调递减，令f′(x)=0⇒x=a，

则x∈(0,a)时，f′(x)>0；x∈(a,+∞)时，f′(x)<0，

所以函数f(x)在(0,a)上单调递增，在(a,+∞)上单调递减，

综上，当a≤0时，函数f(x)在(0,+∞)上单调递减；当a>0时，函数f(x)在(0,a)上单调递增，在(a,+∞)上单调递