2023-2024学年广东省中山市纪念中学高二（下）第二次月考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年广东省中山市纪念中学高二（下）第二次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列说法正确的是(

)A.线性回归分析中决定系数R2用来刻画回归的效果，若R2值越小，则模型的拟合效果越好

B.两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的值越接近于1

C.正态分布N(μ,σ2)的图象越瘦高，2.直线l过圆C：(x+3)2+y2=4的圆心，并且与直线x+y+2=0A.x+y−2=0 B.x−y+2=0 C.x+y−3=0 D.x−y+3=03.已知等差数列{an}中，a1=2，a7=4a3，SA.115 B.110 C.−110 D.−1154.小王每次通过英语听力测试的概率是23，且每次通过英语听力测试相互独立，他连续测试3次，那么其中恰有1次通过的概率是(

)A.29 B.227 C.395.已知离散型随机变量X的概率分布如表，离散型随机变量Y满足Y=2X−1，则P(Y≥3)=(

)X0123Pa15a1A.712 B.512 C.566.将三颗骰子各掷一次，设事件A=“三个点数都不相同”，B=“至少出现一个6点”，则概率P(A|B)等于(

)A.518 B.12 C.60917.已知数列{an}满足a1=1，an+1=A.an=1n B.an=8.已知函数f(x)=xlnx−2x+a2−a，若f(x)≤0在x∈[1,e2]A.[−1,2] B.[0,1] C.[0,2] D.[−1,1]二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.带有编号1、2、3、4、5的五个球，则(

)A.全部投入4个不同的盒子里，共有45种放法

B.放进不同的4个盒子里，每盒至少一个，共有C43种放法

C.将其中的4个球投入4个盒子里的一个(另一个球不投入)，共有C54⋅C410.为了解推动出口后的亩收入情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值x−=2.1，样本方差s2=0.01，已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(1.8,0.12)，假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N(x−,A.P(X>2)>0.5 B.P(X>1.9)<0.2

C.P(Y>2)>0.5 D.P(Y>2)<0.811.如图，在下列给出的正方体中，点M，N为顶点，点O为下底面的中心，点P为正方体的棱所在的中点，则OP与MN不垂直的是(

)A. B. C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知(2x−mx)6的展开式中常数项为160，则实数13.若随机变量X～N(3,22)，随机变量Y=12(X−3)14.甲袋中有5个红球和3个白球，乙袋中有4个红球和2个白球，如果所有小球只存在颜色的差别，并且整个取球过程是盲取，分两步进行：第一步，先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，分别用A1、A2表示由甲袋中取出红球、白球的事件；第二步，再从乙袋中随机取出两球，用B表示第二步由乙袋中取出的球是“两球都为红球”的事件，则事件B的概率是______．四、解答题：本题共4小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=12n(n+1)．

(1)求{an}的通项公式；

(2)16.(本小题15分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0)，A、B分别是椭圆C的左、右顶点，P为椭圆C的上顶点，△PAB的面积为2．

(1)求椭圆C的方程；

(2)设直线l：y=kx+m与椭圆C交于不同的两点M，N17.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，PC⊥底面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，AD⊥DC，AB//DC，PC=AB=2AD=2CD=2，点E在棱PB上．

(1)证明：平面EAC⊥平面PBC；

(2)当BE=2EP时，求二面角P−AC−E的余弦值．

18.(本小题17分)

已知函数f(x)=lnx+ax2−x+a+1．

(1)证明曲线y=f(x)在x=1处的切线过原点；

(2)若a≥0，讨论f(x)的单调性．参考答案1.D

2.D

3.D

4.A

5.A

6.C

7.D

8.B

9.ACD

10.BC

11.CD

12.−1

13.1214.174215.解：(1)由Sn=12n(n+1)，可得a1=S1=1，

n≥2时，an=Sn−Sn−1=12n(n+1)−12n(n−1)=n16.解：(1)由题知c=1，A(−a,0)，B(a,0)，P(0,b)，

由△PAB的面积为2，得ab=2，

又a2=b2+c2，代入可得a2=2，b2=1，

∴椭圆C的方程为x22+y2=1．

(2)证明：联立y=kx+mx22+y2=1，得(2k2+1)x2+4kmx+2m2−2=0，

设M(x1,17.解：(1)证明：∵PC⊥底面ABCD，AC⊂平面ABCD，

∴PC⊥AC，

∵PC=AB=2AD=2CD=2，AD⊥DC，AB//DC，

∴AC=AD2+CD2=2，BC=2，

∴AC2+BC2=4=AB2，即△ABC是直角三角形，且AC⊥BC，

∵PC∩BC=C，PC⊂平面PBC，BC⊂平面PBC，

∴AC⊥平面PBC，

∵AC⊂平面EAC，

∴平面EAC⊥平面PBC；

(2)由(1)得AC⊥BC，PC⊥AC，

而PC⊥底面ABCD，BC⊂底面ABCD，故PC⊥BC，

故PC，AC，BC两两垂直，

故以C为原点，CB，CA，CP，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：

PC=AB=2AD=2CD=2，

则C(0,0,0)，B(2,0,0)，A(0,2,0)，P(0,0,2)，

设点E(x,y,z)，

∵BE=2EP，即(x−2,y,z)=2(−x,−y,2−z)，

∴x=23，y=0，z=43，即E(23,0,43)，

∴CA=(0,2,0)，CE=(2318.解：(1)由题设得f′(x)=1x+2ax−1(x>0)，

所以f′(1)=1+2a−1=2a，

又因为f(1)=a−1+a+1=2a，

所以切点为(1,2a)，斜率k=2a，

故切线方程为y−2a=2a(x−1)，即y=2ax，

所以y−0=2a(x−0)恒过原点．

(2)由(1)得f′(x)=2ax2−x+1x(x>0)，

①当a=0时，f′(x)=−x+1x，

当x∈(0,1)时，f′(x)>0，f(x)在(0,1)上单调递增，

当x∈(1,+∞)时，f′(x)<0，f(x)在(1,+∞)上单调递减，

令t(x)=2ax2−x+1，则Δ=1−8a，

②当a>0且Δ=1−8a≤0，即a≥18时，f′(x)≥0，f(x)在