2023-2024学年浙江省金华市卓越联盟高一（下）段考数学试卷（5月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年浙江省金华市卓越联盟高一（下）段考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z满足z(1−i)=1，则z的虚部为(

)A.12 B.1 C.12i2.数据1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的第75百分位数为(

)A.7 B.7.5 C.8 D.8.53.已知向量a=(1,−2)，b=(m,4)，且a/​/b，那么2A.(4,0) B.(0,4) C.(4,−8) D.(−4,8)4.已知圆锥的侧面积为12π，它的侧面展开图是圆心角为2π3的扇形，则此圆锥的体积为(

)A.62π B.162π5.如图，△A′B′C′为水平放置的△ABC的直观图，其中A′B′=2，A′C′=B′C′=5，则在原平面图形△ABC中AC的长为(

)A.5

B.3

C.236.如图所示的△ABC中，点D是线段AC上靠近A的三等分点，点E是线段AB的中点，则DE=(

)A.−13BA−16BC

B.7.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N，P，Q分别是棱C1DA.PN与QM为异面直线

B.A1B与MN所成的角为45°

C.平面PMN截该正方体所得截面形状为等腰梯形

D.点C1，D8.已知实数a满足ln(e2+1)−1<A.e1a>a B.e1a<a二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.某市举办了普法知识竞赛，从参赛者中随机抽取1000人，统计成绩后，画出频率分布直方图如图所示，则(

)A.直方图中x的值为0.030

B.估计该市普法知识竞赛成绩的平均数为85分

C.估计该市普法知识竞赛成绩的众数为95分

D.估计该市普法知识竞赛成绩的中位数为88分10.已知函数f(x)=sin2x+2sin2x，则A.函数f(x)的图象关于点(π8,0)对称

B.函数f(x)在区间(0,π4)上单调递增

C.函数f(x)的图象向左平移3π8个单位长度所得到的图象所对应的函数为偶函数

D.11.如图1，在等腰梯形ABCD中，AB/​/CD，DA=AB=BC=12CD，E为CD中点，将△DAE沿AE折起，使D点到达P的位置(点P不在平面ABCE内)，连接PB，PC(如图2)，则在翻折过程中，下列说法正确的是A.BC/​/平面PAE

B.PB⊥AE

C.存在某个位置，使PC⊥平面PAE

D.PB与平面ABCE所成角的取值范围为(0,三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.函数y=loga(x−1)+8的图象恒过定点A，且点A在幂函数f(x)的图象上，则f(x)=13.如图，某建筑物的高度BC=300m，一架无人机Q上的仪器观测到建筑物顶部C的仰角为15°，地面某处A的俯角为45°，且∠BAC=60°，则此无人机距离地面的高度PQ为______．14.已知三棱锥S−ABC的四个顶点在球O的球面上，SA=SB=SC，△ABC是边长为6的正三角形，E为SA的中点，直线CE，SB所成角为90°，则球O的表面积为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知平面向量a，b，a=(1,3)，|b|=1，且a与b的夹角为π3．

(1)求|a−2b|；16.(本小题15分)

已知函数f(x)=4x−a⋅2x．

(1)当a=2时，求f(x)在[−1,1]上的最值；

(2)设函数g(x)=f(x)+f(−x)，若g(x)存在最小值−1117.(本小题15分)

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足b2=ac，sin(B−A)+sinC=2sinA．

(1)求证：sinB=tanA；

(2)求18.(本小题17分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ABC=120°，AB=1，PA=5，PD⊥CD，PB⊥BD，点N在棱PC上，平面PBD⊥平面ABCD．

(1)证明：AB⊥PB；

(2)若PA//平面BDN，求三棱锥N−PAD的体积；

(3)若二面角N−BD−C的平面角为π4，求PN19.(本小题17分)

五一假期，杭州吴山广场的鸽子吸引了众多游客.热爱摄影的小华计划在广场一角架设一台可转动镜头的相机，希望可以捕捉到鸽子的展翅瞬间.小华设计了一个草图，为简化模型，假设广场形状为正方形，边长为1，已知相机架设于A点处，其可捕捉到图像的角度为π4，即∠PAQ=π4，其中P，Q分别在边BC，CD上，记∠BAP=θ(0≤θ≤π4)．

(1)设AC与PQ相交于点R，当θ=π6时，

(ⅰ)求线段DQ的长；

(ⅱ)求线段AR的长；

(2)为节省能源，小华计划在广场上人员较多的时段关闭相机镜头的自动转动功能，为使相机能够捕捉到的面积(即四边形APCQ的面积记为

参考答案1.A

2.C

3.C

4.B

5.C

6.C

7.D

8.D

9.AC

10.BCD

11.ABD

12.x313.200m

14.54π

15.解：(1)根据题意得cosπ3=a⋅b|a||b|=a⋅b1×1+3=12，解得a⋅b=1，16.解：(1)当a=2时，f(x)=4x−2⋅2x=(2x)2−2⋅2x，

设t=2x∈[12,2]，则ℎ(t)=t2−2t，开口向上，对称轴t=1，

所以函数ℎ(t)在[12,1]单调递减，(1,2]单调递增，

所以ℎ(t)min=ℎ(1)=−1，ℎ(t)max=ℎ(2)=0，

所以f(x)在[−1,1]上的最小值为−1，最大值为0．

(2)g(x)=f(x)+f(−x)=4x−a⋅2x+4−x−a⋅2−x=4x+4−x−a⋅(2x+2−x)

=(2x+2−x)217.(1)证明：由题意，在△ABC中，有sinC=sin(A+B)，

所以sin(B−A)+sin(B+A)=2sinA，即2sinBcosA=2sinA，

当A=π2时，等式显然不成立，所以A≠π2，

故sinB=tanA．

(2)解：由b2=ac及正弦定理可得：sin2B=sinAsinC，

由(1)得sinBcosA=sinA，

所以sin2B=sinBcosAsinC，即sinB=cosAsinC，

即sinAcosC+cosAsinC=cosAsinC，即sinAcosC=0，

又sinA≠0，所以cosC=0，故C=π2，18.解：(1)证明：因为平面PBD⊥平面ABCD，平面PBD∩平面ABCD=BD，PB⊥BD，PB⊂平面PBD，

所以PB⊥平面ABCD，

又∵AB⊂平面ABCD，

所以PB⊥AB；

(2)因为PA//平面BDN，PA⊂平面PAC，平面PAC∩平面BDN=NO(其中点O是AC，BD的交点也是中点)，

所以PA//NO，可知N为PC中点，

而PB⊥AB，AB=1，PA=5，

所以PB=2，

因为PD⊥CD，PB⊥BD，

所以PC2=PD2+1=22+BD2+1=BD2+5，

因为PB⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，

所以PB⊥BC，

所以PC2=22+BC2，

所以BD2+1=BC2，

在三角形BCD中，CD=AB=1，∠BCD=60°，由余弦定理有BD2=BC2+1−BC，

结合BD2+1=BC2，解得BD=3,BC=2，

VN−PAD=12VC−PAD=12VP−ACD=12×13×2×(12×2×1×32)=36．

(3)由题意知PB⊥平面ABCD，过点N作PB平行线交BC于点H，

19.解：(1)如图，建立平面直角坐标系，由θ=π6，AB=BC=1，

所以A(0,0)，B(