2025版高考数学一轮总复习考点突破第九章概率与统计9.2成对数据的统计分析

第九章概率与统计9.2成对数据的统计分析考点一成对数据的统计相关性例1（1）【多选题】已知变量x，y之间的阅历回来方程为y=0.7x+1.05，且变量x，x2345y2.53m4.5A.mB.由表格数据知该阅历回来直线必过3.5C.变量x，y呈正相关D.可预料当x=10时，解：由题设，知x=2+3+4+54=3.5，则y=0.7×3.5+1.05=3.5.又y=2.5+3（2）[2020年全国Ⅱ卷]某沙漠经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简洁随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到成对样本数据xi,yii=1,2,⋯,20，其中xi和yi①求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘地块数）；②求成对样本数据xi,y③依据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更精确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.附：样本相关系数r=∑解：①由已知,得样区这种野生动物数量的平均数y=120②成对样本数据xi,y③分层随机抽样：依据植物覆盖面积的大小对地块分层，再对200个地块进行分层随机抽样.理由如下：由②知各样区的这种野生动物的数量与植物覆盖面积有很强的正相关性，由于各地块间植物覆盖面积差异很大，从而各地块间这种野生动物的数量差异也很大，采纳分层随机抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构的一样性，提高了样本的代表性，从而可以获得该地区这种野生动物数量更精确的估计.【点拨】①用样本相关系数r可以衡量两个变量之间的相关关系的强弱，r的肯定值越接近于1，表示两个变量的线性相关性越强，且r的正负即表示两个变量相关性的正负.样本相关系数的取值范围是[−1,1变式1（1）[教材题改编]如图是两个变量x，y的散点图，现对这两个变量进行样本数据分析.方案一：依据图中全部数据，得到阅历回来方程y=b1x+a1，样本相关系数为r1.方案二：剔除点A.0<rC.−1<解：依据变量x,y的散点图，知变量x，y具有负线性相关关系，且点10,21异样.方案一中，没有剔除点10,21，线性相关性弱些，成负相关；方案二中，剔除点10,（2）[2022年全国乙卷]某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：m2）和材积量（单位：m样本号i12345678910总和根部横截面积x0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材积量y0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9并计算得∑10i=1x①估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量.解：设这棵树木平均一棵的根部横截面积为x，平均一棵的材积量为y.依据题中数据，得x=y=②求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）.[答案]由题意，知r==∑=0.2474=0.0134③现测量了该林区全部这种树木的根部横截面积，并得到全部这种树木的根部横截面积总和为186m附：样本相关系数r=∑n[答案]设总根部面积和X，总材积量为Y，则XY=x故该林区这种树木的总材积量的估计值为1209m考点二一元线性回来模型及其应用命题角度1阅历回来方程及其应用例2某中学的数学课堂教改采纳了“探究题型—强化训练—检测效果”的模式，并记录了某学生的探究题型时间t（单位：h）与检测效果y的数据如表所示.探究题型时间t1234567检测效果y2.93.33.64.44.85.25.9（1）据统计表明，y与t之间具有线性相关关系，请用样本相关系数r加以说明（若r≥0.75，则认为y与解：因为t=∑7所以r==14所以y与t之间具有较强的线性相关关系.（2）建立y关于t的阅历回来方程，并预料该学生探究题型8h附：阅历回来直线y=bx+a样本相关系数r=y=4.3，∑7i=[答案]由题意，设y=则b=又a=所以y关于t的阅历回来方程为y=当t=8时，y=【点拨】①线性阅历回来方程的重要应用是进行估计.②牢记求线性阅历回来方程的步骤：第一步，列表；其次步，计算x，y，∑ni=1xiyi，∑ni=1x变式2某科技公司对近十年来高科技研发投入状况分析调研，其研发投入y（单位：亿元）的统计图如图1所示，其中年份代码x=1，2，⋯，10分别指2013年，2014年，图1图2现用两种模型A：y=bx+yt∑10∑10∑10∑10752.2582.54.512028.67表中ti=x（1）依据图2，比较模型A，B的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由.解：应选择模型B.理由如下：由于模型B的残差点比较匀称地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型A的带状区域宽度窄，所以模型B的拟合精度更高，阅历回来方程的预报精度相应越高，故选模型B比较合适.（2）依据（1）中所选模型，求y关于x的阅历回来方程及该公司2028年高科技研发投入y的预报值（回来系数精确到0.01）.附：对于一组数据x1,y1，x2,y2，⋯，[答案]依据模型B，令t=x，研发投入y与t可用线性回来来拟合，有则d=∑10则y关于t的阅历回来方程为y=所以y关于x的阅历回来方程为y=2028年，即当x=16时，所以该公司2028年高科技研发投入y的预报值为86.15亿元.命题角度2确定系数与残差例3某种农作物可以生长在滩涂和盐碱地，它的浇灌是将海水稀释后进行浇灌.某试验基地为了探讨海水浓度x%对亩产量y海水浓度x34567亩产量y0.570.530.440.360.30残差e−0.010.02mn0绘制散点图发觉，可以用一元线性回来模型拟合亩产量yt与海水浓度x%之间的相关关系，用最小二乘法计算得y与x−0.07x（1）求a，m,n的值；解：因为x=y=所以0.44=−0.07×所以阅历回来方程为y=−所以y3m=y4n=（2）统计学中常用确定系数R2来刻画回来效果，R2越大，回来效果越好，如假设R2=0.85，就说明预报变量y的差异有85%是说明变量附：残差ei=yi−[答案]∑5所以确定系数R2故亩产量的改变有99%【点拨】用确定系数R2来刻画回来效果，R变式3（1）【多选题】在实际应用中，用阅历回来方程y=bx+a中的y估计一元线性回来模型yA.随机误差e的方差σ2越小，用bx+aB.确定系数R2C.残差平方和∑nD.对于n个成对样本数据x1,y1，x2,y2解：随机误差e的方差σ2越小，用bx+a预报真实值y的精度越高，所以A错误.R2=1−∑ni=1yi−yi2∑（2）【多选题】某种产品的广告支出费用x（单位：万元）与销售量y（单位：万件）之间的对应数据如下表所示.广告支出费用x2.22.64.05.35.9销售量y3.85.47.011.612.2依据表中的数据,可得阅历回来方程y=2.27x+a＾A.第三个样本点对应的残差eB.在该回来模型对应的残差图中，残差点比较匀称地分布在倾斜的带状区域中C.该模型拟合效果较好D.用该阅历回来方程可以很精确地预料广告费用为20万元时的销售量解：由题意,得x=2.2+2.6+4.0+5.3+5.95=4,y=3.8+5.4+7.0+11.6+12.2考点三独立性检验例4为了解某班学生宠爱打篮球是否与性别有关，对本班48人进行了问卷调查得到了如下的2×性别打篮球合计宠爱不宠爱男生6女生10合计48已知在全班48人中随机抽取1人，抽到宠爱打篮球的学生的概率为23（1）请将上面的2×解：依题意，得宠爱打篮球的学生人数为48×23性别打篮球合计宠爱不宠爱男生22628女生101020合计321648（2）依据小概率值α=附：χ2=nα0.1000.0500.0100.001xα2.7063.8416.63510.828[答案]零假设为H0由（1）得χ2依据小概率值α=0.05的独立性检验，我们推断【点拨】①独立性检验的一般步骤：第一步，假设两个分类变量X与Y没有关系；其次步，计算出χ2的值；第三步，把χ2的值与临界值比较，作出合理的推断.变式4[2022年全国甲卷]甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行状况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：公司是否准点准点班次数未准点班次数A24020B21030（1）依据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；解：依据表中数据，A共有班次260次，准点班次有240次.设“A公司长途客车准点”为事务M，则PMB共有班次240次，