第5讲函数的表示法-人教A版高中数学必修一讲义（解析版）

第五讲函数的表示法

教材要点学科素养学考高考考法指津高考考向

1.函数的三种表示法数学建模水平1水平11.了解函数的不同表示

法，并能在具体环境中【考查内容】求函数的解

2.分段函数数学运算水平1水平2作出选择。析式、求分段函数的函数

值、函数的图像都是常考

2.理解分段函数的意

3.映射的概念数学抽象水平1水平1考点。

义，能正确描绘图像和

求函数值。【考查题型】选择题、填

空题

4.函数的图像直观想象水平1水平23.理解映射的概念，能

判断一个对应是否为映【分值情况】5分

射。

表示法定义知识通关

用数学表达式表示两个变量之间的

解析法

对应.关系

用图象表示两个变量之间的对应关

图象法

系

列出表格来表示两个变量之间的对

列表法

应关系

知识点函数的三种表示方法

例1、作出下列函数的图象:

题型一作函数的图象

(l)y=|x-l|+2|x-2|;

规律方法作函数图象的步骤及注意点

(2)y—,2_+.

(L)作函数图象主要有三步：列表、描点、连

线.作图象时一般应先确定函数的定义域，再在

定义域内化简函数解析式，再列表画出图象.

(2%函数的图象可.能杲平滑的曲线，也可能

解析:

解析：x+2

(1)y—+1

x+1x+1

5-3x,x<1

(1)y=|x-l|+2|x-2|=<3-x,l<x<2图象如图(1)所示.

3x-5,x>2

(2),=国+卜_"

图像如图(1)所示

2x-l,x>1

1,0<x<1

—2x+1,x<0

(2)产产一4x+3

图像如图(2)所示.

x2-4x+3,xK1或xN3

―<

一厂+4x—3,1<x<3(3)y=x2—4|A|+3

图像如图(2)所示

x2-4x+3,x>0

x2+4x+3,x<0

图像如图(3)所示.

(4)图像如图(4)所示.

【变式训练1]画出下列函数的图象:

x+2

(1)

(2)y=|x|+|x—1|

(3)y=x2-4|^+3

fl,

(4)y+n

X,X>1

题型二函数求值问题

(-)给定函数解析式取值I■1Jx+3T-

(2),2*+3+-------;2t+2;

2v+2

规律方法

—+3+**

由内到外，逐层代入，逐层求解。

x+2Jx+3H--------F2

x+2

例2、已知函数，(x)=J〜+」一，

x+2

g(x)=2：

【变式训练2・1】

⑴.求/(-3),g(0)J(f(-3))

2x+2,-l<x<0,

1八c

⑵求/(g(x)),g(/(x))J(/(x)),g(g(x))设/*)=—x,0<x<2,

2

3,x>2,

解析：

(1)由题意可知I,/(一3)=—1,则，/(I)，八6)=

g(0)=2°=l,/(/(-3))=/(-l)=V2+l解析:

(2)由题意可知,由题意，将自变量代入相应的段求解得,

/(g(x))=/⑵)=VF73+-^—

2+2

I-----1JX+3T-

g(/(x))=g(Jx+3+—-)=2*+2/(D-=

x+2

/(/W)=/(V^T3+-1-)/(6)=3

x+2

答案1；—；3

2

—JJ犬+3H------F34----------------------

'x+2d+1+2【变式训练2-2】

x+2

(1)已知neN*,且

g(g(x))=g(2*)=2，

n-2,n>10,「

/(〃)=,，则/(4)

答案(1)-1;1；V2+1l/V5+5)),〃<10

x+2,xW-1,例3、已知函数y(x),g(x)分别由下表给出

(2)已知函数/。)=卜2,_1<》<2,

X123

2x,x>2,

/(X)131

若/(x)=3,则x的值是一

解析：

X123

⑴/(4)=/(/(4+5))=/(/(9))

g(x)321

=/(/(14-2)=/(/(12))

则/(g⑴)的值为;满足

=/(12-2)=/(10)/(g(x))>g(/(x))的X的值是-

=10-2=8解析：

(2)当xW-1时,%+2<1;••》l)=3，.../(g(l))=A3)=L

当一l<x<2时，0〈》2<4;/(g(x))与g(7(x))与x相对应的值如下表

所示：

当x»2时，2x24.

X123

x2—3,x=+V3.

131

又<-1<x<2,二x=V3.

g(f(x))313

答案(1)8(2)V3

(-)列表法表示函数取值答案1;2

规律方法【变式训练3】

解决此类问题关键在于弄清每个表格表示的

已知函数/(x),g(x)分别由下表给出

函数，对于/(g(x))这类函数值的求解，应从内到

外逐层求解，而求解不等式，则可分类讨论或列表X123

解决.

/(%)211

X123

g(x)321

(4)先换元再代入法

适用类型：已知/(g(x))的解析式，求/①(x))

⑴/(g⑴)=;

例如：=-x+2,求/(x+3)

(2)若g(/(x))=2,则x=.

(5)待定系数法

解析(1)由表知g(l)=3,

适用类型：已知函数模型

/(g(D)=/(3)=l；

例如：/(幻为一次函数，且/(/(x))=9x+8,

(2)由表知g(2)=2,又g(/(x))=2,

求了(x)的解析式

得了(x)=2,

(6)赋值法

再由表知x=L

答案(1)1(2)1

题型三求函数的解析式

规律方法

(1)代入法

适用类型：已知/")的解析式，/(g(x))

例如：/(x)=x2-l,求/(2x—1)

例4、求下列函数的解析式

(2)换元法

(1)己知/(%)=3/一2彳+1,求/(2犬+1)

适用类型：已知/(g(x))的解析式，求/(x)

(2)已知f(2x-V)-3x2-2x+1,求

例如：/(2x+3)=x?-3x+2,^V(x)

心+1)

(3)配凑法(3)已知f(x)是一次.函数，且f(f(x))=16x-

25,则函数f(x)的解析式为.

(4)已知函数/(力满足/(幻―2/d)=x,

X

求/(幻的解析式

2

①+③得—3/(x)=x+—

X

解析：

_z.x2

(1)由题意，把2x+l代入f(x)的表达式里,f(x)=--~—

：.33x

得了(2X+1)=12X2+8X+2

答案(1)I2X?+8X+2(2)3x?+4x+2

(2)令2x—l=r,贝卜=，/+工，则原表达式

2225

(3)/(x)=4x-5或/'(x)=V■尤+可

.r/,/⑺=3占+2)2_2(!/+!)+]

可化为：2222

x2

(4)

33x

313

整理得【变式训练4】

424

(1)已知y(m+i)=x+25，求y(x)的解析式；

再代入2x+l,得/(2尤+1)=3/+4X+2

(2)已知.*》)+2/(一》)=/+24，求兀v)的解析式;

⑶设/(x)=kx+b(k70),

(3)已知/(2%+1)=3/—2x+l,求函数/(x)的

则/(/(幻)=%(疆+。)+。

解析式；

2

=kx+kb+h-l6x—25(4)已知/(x)是二次函数，且满足/(0)=1,

k2=16,

所以4/(x+l)—/(x)=2x,则函数f(x)的解析式。

kb+b--25,

/：=4k=-4

解得4-5叫,25解析：

b--

3

(1)法一(换元法)：令t=5+l,

25

所以/(x)=4x—5的(x)=-4x+—

则X=(L1)2，仑1，

所以大f)=(f-l)2+2(f-I)=P—1(仑1),

(4)V/(x)-2/(-)=x@

X

所以./U)的解析式为—I(XNI).

令工=，，得/(-)-2/(x)--©

法二(配凑法)：1)=x+2y[x

XXX

=x+2百+1-1=(也+1)2-1.

12

②x2得2/(-)-4/(%)=-

XX

因为5+GL所以火x)的解析式为

兀0=4-1(应1).得c=l,则<无)=加+纵+1,

(2)・・・丹幻+"-工)=』+2达①火x+l)—«x)

・••将x换成一x,得人一AO+M的MX2—2%.②=[a(x+\)2+b(x+\)+\]-(ax1+bx+})>

・・・由①②得3兀0=*—6x,=2ax-\-a-\~b

1=2x.

・7/U)=yr0_2x.

2cl=2,

(3)令2x+l=，,贝卜二工彳一工故得1I,八解得。=1,b=-l,

a+b=O

22

故得yu)=«—x+i.

/0)=3($-；)2-2(}-3)+1

答案(1)x2-l(x>l)(2)-X2-2X

3

3511

整理得f(t)=-t2--t+—,

424

,、32511,

(3)-x2——x+—(4)?-x+l

424

即f{x)=—x2-—x+—

424

(4)设兀+区+或存0),由负0)=1

考向一分段函数的综合问题

规律方法

(1)在求分段函数值/(%)时，分清为所在

的取值范围是关键，然后选择相应的解析式代入

即可。反之由/(/)的值求不，可通过图像得出

为所在的范围，再选择相应解析式列方程求解。

(2)由于分段函数在自变量x的不同取值范

3x2—2x,x>1

围内有不同的对应关系，因此我们在解决有关分例5、已知函数/(幻=<

—2x~+3,x<1

段函数的问题时，要讨论自变量的取值，确定自

求使/(幻<2时的x值的集合

变量的数值属于哪一个区间范围，从而选择相应

的对应关系。

解析:=—1—

X>i,Tx<1,

由题意得4,或〈2-a=-1-3aa=—-<0,

3X2-2X<2-2X2+3<2

不合题意，舍去；

1,1+V7

由*解得1WX<

2

3X-2X<2当a<0时，则有

3

一(1—ci)—2a=2(1+<7)+ci=J>a=—,

4

符合题意

由<~2--角牛得x<------或——<x<l.3

-2X2+3<2,22综上所述，«=--

4

答案―？3

4

综上所述，满足/(x)<2时的x值的集合为考向二映射的概念以及映射个数的确定

力<一立或变<x<1+V7规律方法

223

(1)映射是函数概念的推广，函数只是一个

答案…一正或交…匕立特殊的映射，函数是非空数集A到非空数集B的

223映射。

【变式训练5】(2)判断一个对应是不是映射，只要检验对

2x+a,x<\

已知实数。工0,函数/(x)=<

-x-2a,x>\于A中的任意一个元素，按对应关系f,在B

若J(1—a)=/(1+a),求a的值。中是否有唯一确定的元素与之对应。映射中，

解析:集合A中每一个元素在集合B中必有唯一的元

素和它对应(有且唯一)，但允许B中元素没

当a>0时，则1一。<1,l+a>l,

有A中元素与之对应，因此A中元素与B中

/(I—a)=2(1—a)+a元素对应，可以是“一对一”、“多对一”，

=2-a但不能是“一对多”。

同理，/(l+a)=-(l+a)-2a(3)确定从集合A到集合B的映射个数，

与集合A、B中元素的个数有关。若集合A中

映射；D选项，对于中的每一个x,

在N中有两个元素与之对应，因此它也不是映

射；再看B选项，对于M中的每一个元素

1』，在N中都有唯一元素与之对应，

因此它是M-N的一个映射，故选B。

答案B

例6、M=W—l<xWl},N={y|—iWyWl},给出

下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N【变式训练6-1】

的映射是（）已知集合A={a,b},B={0,1},则下列对应不

是从A到B的映射的是（）

解析：解析:

A选项，M集合中一l〈x<°时，在N中没有A,B.D均满足映射定义，C不满足集合A中任

元素和它对应，因此不是映射；C选项，当x=1一元素在集合B中有唯一元素与之对应，且集

时，对应的元素为2,而2史N,因此也不是合A中元素b在集合B中无元素与之对应。

故选c。应的象即可，即确定f(a),f(b),f(c)的值。

答案C而/(a)J3),/(c)w{—l,0,l},

【变式训练6-2】

还满足/⑷+〃»=/©，

下列对应中，f是集合M到N的映射的是()

因此要确定这样的映射f的个数，

A.M={1,2,3},N={2,4,5},

只需要确定由-1,0」组成多少个等式()+()

=()•注意到映射不要求N中元素一定要取完，

因而可通过列表把f(a),f(b),f(c)的取值情况表示出

B.M=卜工<0,xG7?},TV={y|y>2,jG/?},

来。

f:xy=x2+\

f(a)f(b)f(c)

000

C.M={x|xe/?),2V={y|0<y<l},

101

011

-10-1

0-1-1

110

11()

D.M={^0<x<2),A^={^0<y<l),

故由上表可知，所求的映射有7个。

q2

f\x-^y^-x答案7

解析：【变式训练6-3]

选项A中3没有对应的象，选项B中当集合A={1,2,3},B={3,4}，从A到B的映射

-1<XW0时没有对应的象，选项D中2没有象，f满足f(3)=3,则这样的映射共有()

故选CoA.3个B.4个C.5个D.6个

答案C解析：

例6-3、设M={。，b，c}，N={-1,0,1},若从M到N；f(3)=3.•.共有如下4个映射。

的映射f满足：/(a)+/S)=/(c),求这样的映

射f的个数。

解析：

要确定映射f,只需要确定M中的每个元素对

例7、如图所示，有一块边长为a的正方形铁皮，

将其四个角各截去一个边长为x的小正方形，然后

折成一个无盖的盒子，写出体积V以x为自变量的

函数式是________「

解析：

故选Bo如图可知，长方体的高为x,底是边长为a-2x

的一个正方形，

答案B

因此长方体的体积V=x(a-2x)2

又由x得实际意义，必须有

考向三求应用问题的函数解析式

x>oca

=>Q<x<—.

规律方法a-2x>Q2

所以体积V与X的关系式为

函数关系式包括定义域和对应关系，在确

V=x(«-2x)2,(0<x<^)

定函数关系式时必须注意确定函数的定义域，

否则所求函数关系式可能是错误的。另外，在实

答案V=x(a-2x)2,(0<x<-)

际问题的应用中，函数式中的自变量X除式子中2

的限制条件外，还要注意考虑问题的实际意义。

【变式训练7】

甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从

家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2km,

甲10时出发前往乙家。如图所示，表示甲从家出

发到达乙家为止经过的路程y(km)与时间x(分)

的关系。试写出y=f(x)的函数解析式。

解析:

由图中可以看出甲在去乙同学家的途中在公

园停留了10分钟，

故y=/(x)的函数解析式为:

例8、已知二次函数/(x)=ax?+Z?x+c的图像经

—尤,0<x<30过点(-1,0),是否存在常数。、b、c,使得不等式

15

/(幻=彳2,30<x<40

xW/(x)<5(l+x2)对一切实数X都成立？若存

—x—2,40<x<60

[10

在，求出a、b.c的值；若不存在，说明理由。

解析:

考向四函数图像与方程根思想的综合问题

♦.•y=/(X)的图像经过点(—1,0)

规律方法

a-b+c=0b=a+c®

(1)/(幻=0有根

令x=l,得14/(1)41,即a+b+c=l②

=y=/(x)图像与%轴有交点

，由①②解得。=L,a+c=4

=y=8。)与丁=h(x)图像有交点22

(其中g(x)与//(X)由/(X)裂项而成).,/、211

••/(X)—CLXHXH-----CI

22

ax?+bx+c=0有两相等实根oA=0

,/f(x)>x对一切实数x都成立，

(2)<ax2+bx+c=0有两不等实根=△〉0

ax2+bx+c=0无实根=△<0

011

即+—xd-----a20对一切实数x都成立

22

。>0

(3)二次函数/(尤)=以2+加+。20对一切实数心都

；—4a(；—a)(0①

a>0

成立<=>

A<0

(4)二次函数/(x)=依2+/?工+。40对一切实数1都

1,/(x)的解析式，并求丹/(-3)］的值

同理，/(幻45(1+/)对一切实数x都成

解析：

a<Q

立，即4Az②

A=(―)+4a(a-—)<0

由题意，•；/(2)=1,...2a+Z?=2,

11

--Z?=2—2a

由①②解得a=—2-4-

4

----------=x=>ax2*4+(1-2a)x=0

ax+2-2a

故存在常数a=-,b=-,c=-使得不等式对

424

,1

一切实数x都成立。即A=(l_2a)2=0na=_

21,11

答案ci=—,b=-,c=一2r3

424=丹/(-3)]=/(6)=.

x+22

【变式训练8】

已知函/(x)-^(a、b为常数,加70)2x3

ax+b答案/W=-;/[/(-3)]=-

满足/(2)=1,方程/(x)=x有唯一解，求函数

综合训练

A组基础演练

一、选择题

1.设Xx)=2r+3,g(x)=_/(x—2),则g(x.)等于()

A.2x+iB.2x-l

C.2x-3D.2x+7

解析：：兀0=2%+3,

.\Ax-2)=2(x-2)+3=2x—1,

即g(x)=2x—1,

答案B..

2.如图所示的四个容器高度，都相同.将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为.止.

用下面.对应的图象显示该容器中水面的高度/7和.时间f之间的关系，其中不正确的是().

®voa

LkXk

A.1个B.2个

C.3个D.4个

解析：对于第一幅图，水面的高度〃的增加应是均匀的，因此不正确，其他均正确。

答案A

3.函数y=/（x）（"）翔）的图象与x=l的交点个数是（)

A.1B.2

C.0或1D.1或2

解析：结.合函数的定义可知，如果#A—B成立,

则任意则有唯一确定的8与之对应，

由于x=l不一定,是定义域中的数，故x