高二数学考点讲解练(人教A版2019选择性必修第一册)6.1分类加法计数原理与分布乘法计数原理-2022-2023学年高二数学考点讲解练(人教A版2019选择性必修第三册)(原卷版+解析)

6.1分类加法计数原理与分布乘法计数原理备注：资料包含：1.基础知识归纳；考点分析及解题方法归纳：考点包含：分类加法计数原理；分布乘法计数原理；实际问题中的计数原理；代数中的计数原理；几何中的计数原理课堂知识小结考点巩固提升知识归纳一、两个计数原理1.分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有种不同的方法，在第二类办法中有种不同的方法，……，在第n类办法中有种不同的方法那么完成这件事共有种不同的方法2.分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法，……，做第n步有种不同的方法，那么完成这件事有种不同的方法3、两个计数原理的区别考点讲解考点讲解考点1：分类加法计数原理例1．现有5幅不同的油画，2幅不同的国画，7幅不同的水彩画，从这些画中选一幅布置房间，则不同的选法共有（

）A．7种 B．9种 C．14种 D．70种【方法技巧】根据分类加法计数原理求解即可【变式训练】1．为了方便广大市民接种新冠疫苗，提高新冠疫苗接种率，某区卫健委在城区设立了11个接种点，在乡镇设立了19个接种点．某市民为了在同一接种点顺利完成新冠疫苗接种，则不同接种点的选法共有（

）A．11种 B．19种 C．30种 D．209种2．书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.从书架上任取1本书，不同的取法有__________种.3．如图，将钢琴上的12个键依次记为设．若且，则称为原位大三和弦；若且，则称为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为__________．考点2：分布乘法计数原理例2．如图所示，用3种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C中，要求相邻的矩形不能使用同一种颜色，则不同的涂法数为________.【方法技巧】【变式训练】1．为了丰富学生的课余生活，某学校开设了篮球、书法、美术、吉他、舞蹈、击剑共六门活动课程，甲、乙、丙3名同学从中各自任选一门活动课程参加，则这3名学生所选活动课程不全相同的选法有（

）A．120种 B．150种 C．210种 D．216种2．从地到地要经过地，已知从地到地有三条路，从地到地有四条路，则从地到地不同的走法有______种．3．（1）将4封信投入3个信箱中，共有_______种不同的投法；（2）某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人，有_________种不同的选法．考点3：实际问题中的计数原理例3．某同学从4本不同的数学资料，2本不同的语文资料，2本不同的英语资料中任选一本购买，则不同的选法共有（

）A．6种 B．8种 C．12种 D．16种【方法技巧】根据题设条件直接确定不同的选法数.【变式训练】1．安排A，B，C三名义工照顾甲，乙，丙三位老人，每位义工照顾一位老人，考虑到义工与老人住址距离问题，义工A不安排照顾老人甲，义工B不安排照顾老人乙，则安排的方法共有（

）种.A．1 B．2 C．3 D．42．现有不同的红球4个，黄球5个，绿球6个，则下列说法正确的是（

）A．从中任选1个球，有15种不同的选法B．若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法C．若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法D．若要不放回地依次选出2个球，有210种不同的选法3．如图所示，在A，间有四个焊接点1，2，3，4，若焊接点脱落导致断路.则电路不通，则因为焊接点脱落而导致电路不通情况有___________种.考点4：代数中的计数原理例4．用0，1，2，3，…，9十个数字可组成多少个不同的(1)三位数？(2)无重复数字的三位数？(3)小于500且没有重复数字的自然数？【方法技巧】（1）根据分步乘法计数原理计算出正确答案.（2）根据分步乘法计数原理计算出正确答案.（3）根据分类加法、分步乘法计数原理计算出正确答案.【变式训练】1．我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2013是“六合数”)，则“六合数”中首位为2的“六合数”共有()A．18个 B．15个C．12个 D．9个2．甲､乙两人做从装有14个玻璃球的盒子中抓取玻璃球的游戏，规定：甲､乙两人轮流抓取，每次至少抓取1个，最多抓取4个，最后一次取完者获胜.若甲先抓取，为确保甲一定获胜，则甲第一次应该抓取的玻璃球个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．43．数字2022具有这样的性质：它是6的倍数并且各位数字之和为6，称这种正整数为“吉祥数”.在所有的三位正整数中，“吉祥数”的个数为___________.考点5：几何中的计数原理例5．已知分子是一种由60个碳原子构成的分子，它形似足球，因此又名足球烯，是单纯由碳原子结合形成的稳定分子，它具有60个顶点和若干个面，.各个面的形状为正五边形或正六边形，结构如图.已知其中正六边形的面为20个，则正五边形的面为（

）个.A．10 B．12C．16 D．20【方法技巧】本题以分子为载体，考查空间问题的计数问题，考查空间想象能力与推理能力【变式训练】1．凸八边形的对角线有（

）条A．20 B．28 C．48 D．562．已知直线中的、、是取自集合中的3个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角．那么这样的直线的条数是______．知识小结知识小结一、两个计数原理1.分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有种不同的方法，在第二类办法中有种不同的方法，……，在第n类办法中有种不同的方法那么完成这件事共有种不同的方法2.分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法，……，做第n步有种不同的方法，那么完成这件事有种不同的方法3、两个计数原理的区别巩固提升巩固提升1．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6），骰子朝上的面的点数分别为X、Y，则的概率为（）A． B． C． D．2．若一个、均为非负整数的有序数对，在做的加法时，各位均不进位，则称为“简单的有序实数对”，称为有序实数对之值，则值为2004的“简单的有序实数对”的个数是（

）．A．10 B．15 C．20 D．253．核糖核酸RNA是存在于生物细胞以及部分病毒、类病毒中的遗传信息载体．参与形成RNA的碱基有4种，分别用A，C，G，U表示．在一个RNA分子中，各种碱基能够以任意次序出现，假设某一RNA分子由100个碱基组成，则不同的RNA分子的种数为（

）A． B． C． D．4．已知集合，，若从这两个集合中各取一个元素作为点的横坐标或纵坐标，则可得平面直角坐标系中第一、二象限内不同点的个数是（

）A．18 B．16 C．14 D．105．某大学食堂备有6种荤菜、5种素菜、3种汤，现要配成一荤一素一汤的套餐，则可以配成不同套餐的种数为（

）A．30 B．14 C．33 D．906．某省新高考采用“”模式：“3”为全国统考科目语文、数学、外语，所有学生必考；“1”为首选科目，考生须在物理、历史科目中选择1个科目；“2”为再选科目，考生可在思想政治、地理、化学、生物4个科目中选择2个科目．已知小明同学必选化学，那么他可选择的方案共有（

）A．4种 B．6种 C．8种 D．12种7．仅有甲、乙、丙三人参加四项比赛，所有比赛均无并列名次，则不同的夺冠情况共有（

）种.A． B． C． D．8．元旦来临之际，某寝室四人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺卡，则四张贺卡不同的分配方式有（

）A．6种 B．9种 C．11种 D．23种二、多选题9．高二年级安排甲、乙、丙三位同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动，每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，下列说法正确的有（

）A．如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有61种B．如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有25种C．如果三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有60种D．如果甲、乙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有20种10．现有6位同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每位同学可自由选择其中的一个讲座，则不同选法的种数错误的是（

）.A． B． C． D．6×5×4×3×2三、填空题11．五名高中生报考三所高等院校，每人报且只报一所，不同的报名方法有______种．12．从甲地去乙地有3班火车，从乙地去丙地有2班轮船，则从甲地去丙地可选择的旅行方式有______种13．三个人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回给甲，则不同的传递方式共有______种．14．若，则符合条件的二次函数的解析式有______个．四、解答题15．书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放2本不同的体育书.(1)从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？(2)从书架上任取两本不同学科的书，有多少种不同的取法？16．书架的第一层放有6本不同的数学书，第二层放有6本不同的语文书，第三层放有5本不同的英语书.(1)从这些书中任取1本数学､1本语文和1本英语共3本书的不同取法有多少种？(2)从这些书中任取3本，并且在书架上按次序排好，有多少种不同的排法？6.1分类加法计数原理与分布乘法计数原理备注：资料包含：1.基础知识归纳；考点分析及解题方法归纳：考点包含：分类加法计数原理；分布乘法计数原理；实际问题中的计数原理；代数中的计数原理；几何中的计数原理课堂知识小结考点巩固提升知识归纳一、两个计数原理1.分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有种不同的方法，在第二类办法中有种不同的方法，……，在第n类办法中有种不同的方法那么完成这件事共有种不同的方法2.分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法，……，做第n步有种不同的方法，那么完成这件事有种不同的方法3、两个计数原理的区别考点讲解考点讲解考点1：分类加法计数原理例1．现有5幅不同的油画，2幅不同的国画，7幅不同的水彩画，从这些画中选一幅布置房间，则不同的选法共有（

）A．7种 B．9种 C．14种 D．70种【答案】C【详解】分为三类:从国画中选，有2种不同的选法;从油画中选，有5种不同的选法;从水彩画中选，有7种不同的选法，根据分类加法计数原理，共有5+2+7=14(种)不同的选法;故选：C【方法技巧】根据分类加法计数原理求解即可【变式训练】1．为了方便广大市民接种新冠疫苗，提高新冠疫苗接种率，某区卫健委在城区设立了11个接种点，在乡镇设立了19个接种点．某市民为了在同一接种点顺利完成新冠疫苗接种，则不同接种点的选法共有（

）A．11种 B．19种 C．30种 D．209种【答案】C【分析】根据题意，该市民可选择的接种点为两类，一类为乡镇接种点，另一类为城区接种点,由加法原理计算可得答案.【详解】该市民可选择的接种点为两类，一类为乡镇接种点，另一类为城区接种点，所以共有种不同接种点的选法．故选：C．2．书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.从书架上任取1本书，不同的取法有__________种.【答案】9【分析】根据分类加法计数原理即可得解.【详解】解：由题意，若从第一层取书，则有4种不同的取法，若从第二层取书，则有3种不同的取法，若从第三次取书，则有2种不同的取法，所以不同的取法有种.故答案为：9.3．如图，将钢琴上的12个键依次记为设．若且，则称为原位大三和弦；若且，则称为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为__________．【答案】10【分析】利用列举法和分类计数原理可求原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和.【详解】若且，则符合条件的分别为：，共5个原位大三和弦；若且，则符合条件的分别为：，共5个原位小三和弦；故用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为10.故答案为：10.考点2：分布乘法计数原理例2．如图所示，用3种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C中，要求相邻的矩形不能使用同一种颜色，则不同的涂法数为________.【答案】12【分析】根据分步计数原理即得.【详解】根据题意，先涂A有3种涂法，再涂B有2种涂法，最后涂C有2种涂法，所以不同的涂法有种，故答案为：12.【方法技巧】【变式训练】1．为了丰富学生的课余生活，某学校开设了篮球、书法、美术、吉他、舞蹈、击剑共六门活动课程，甲、乙、丙3名同学从中各自任选一门活动课程参加，则这3名学生所选活动课程不全相同的选法有（

）A．120种 B．150种 C．210种 D．216种【答案】C【分析】用甲、乙、丙3名同学从中各自任选一门活动课程参加的方法数，减去3名学生所选活动课程全部相同的方法数，从而求得正确答案.【详解】依题意，每名同学都有种选择方法，所以这3名学生所选活动课程不全相同的选法有种.故选：C2．从地到地要经过地，已知从地到地有三条路，从地到地有四条路，则从地到地不同的走法有______种．【答案】12【分析】根据分步乘法计数原理求解即可.【详解】由分步乘法计数原理，从地到地不同的走法有种.故答案为：12.3．（1）将4封信投入3个信箱中，共有_______种不同的投法；（2）某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人，有_________种不同的选法．【答案】

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20【分析】（1）将信件分别投入邮箱，由分步乘法原理计算；（2）按照选取的人是否会两种语言分类，用分类加法原理计算．【详解】解析：（1）第1封信可以投入3个信箱中的任意一个，有3种投法；同理，第2，3，4封信各有3种投法．根据乘法原理，共有种投法．（2）共分三类：第一类，当选出的会英语的人既会英语又会日语时，选会日语的人有2种选法；第二类，当选出的会日语的人既会英语又会日语时，选会英语的人有6种选法；第三类，当既会英语又会日语的人不参与选择时，则需从只会日语和只会英语的人中各选一人，有种选法．故共有种选法．考点3：实际问题中的计数原理例3．某同学从4本不同的数学资料，2本不同的语文资料，2本不同的英语资料中任选一本购买，则不同的选法共有（

）A．6种 B．8种 C．12种 D．16种【答案】B【详解】由题意，从8本不同资料任选一本购买，故共有8种选法.故选：B【方法技巧】根据题设条件直接确定不同的选法数.【变式训练】1．安排A，B，C三名义工照顾甲，乙，丙三位老人，每位义工照顾一位老人，考虑到义工与老人住址距离问题，义工A不安排照顾老人甲，义工B不安排照顾老人乙，则安排的方法共有（

）种.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】用列举法写出所有安排方法．【详解】由题意三名义工按甲乙丙顺序的安排方法为：，，共三种．故选：C．2．现有不同的红球4个，黄球5个，绿球6个，则下列说法正确的是（

）A．从中任选1个球，有15种不同的选法B．若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法C．若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法D．若要不放回地依次选出2个球，有210种不同的选法【答案】ABD【分析】利用排列知识计算得到选项ABD正确；若要选出不同颜色的2个球，有种不同的选法，所以选项C错误.【详解】解：A.从中任选1个球，有15种不同的选法，所以该选项正确；B.若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法，所以该选项正确；C.若要选出不同颜色的2个球，有种不同的选法，所以该选项错误；D.若要不放回地依次选出2个球，有210种不同的选法，所以该选项正确.故选：ABD3．如图所示，在A，间有四个焊接点1，2，3，4，若焊接点脱落导致断路.则电路不通，则因为焊接点脱落而导致电路不通情况有___________种.【答案】13【分析】分类讨论，列举出脱落1个，2个，3个，4个焊接点导致电路不通的情况，求出答案.【详解】若脱落1个，则有（1），（4）两种情况，若脱落2个，则有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）共6种情况，若脱落3个，则有（1，2，3），（1，2，4），（2，3，4），（1，3，4）共4种情况.若脱落4个，则有（1，2，3，4）共1种情况，综上共有种情况.故答案为：13.考点4：代数中的计数原理例4．用0，1，2，3，…，9十个数字可组成多少个不同的(1)三位数？(2)无重复数字的三位数？(3)小于500且没有重复数字的自然数？解:(1)由于0不能在百位，故百位上数字有9种选法，十位与个位上的数字均有10种选法．所以不同的三位数共有个．(2)百位上的数字有9种选法，十位上的数字有除百位上的数字以外的9种选法，个位上的数字应从剩余8个数字中选取，所以共有个无重复数字的三位数．(3)满足条件的一位自然数有10个，两位自然数有个，三位自然数有个，由分类加法计数原理知共有个小于500且无重复数字的自然数．【方法技巧】（1）根据分步乘法计数原理计算出正确答案.（2）根据分步乘法计数原理计算出正确答案.（3）根据分类加法、分步乘法计数原理计算出正确答案.【变式训练】1．我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2013是“六合数”)，则“六合数”中首位为2的“六合数”共有()A．18个 B．15个C．12个 D．9个【答案】B【详解】试题分析：四位数之和为6的共有4种情况：（0、0、2、4）,（0、1、2、3），（1、1、2、2），（0、2、2、2）．数字为0、0、2、4且首位为2的六合数有：2004,2040,2400，共3个；同理：数字为0、1、2、3且首位为2的六合数有六个；数字为1、1、2、2且首位为2的六合数有3个；数字为0、2、2、2且首位为2的六合数有3个．所以共有15个．考点：排列、组合．点评：本题排列、组合的混合问题，我们采取先分组，在排列的方法．此类题为易错题，我们一定要仔细分析．属于中档题．2．甲､乙两人做从装有14个玻璃球的盒子中抓取玻璃球的游戏，规定：甲､乙两人轮流抓取，每次至少抓取1个，最多抓取4个，最后一次取完者获胜.若甲先抓取，为确保甲一定获胜，则甲第一次应该抓取的玻璃球个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】由可知甲第一次应该抓取4个玻璃球，则能保证甲一定获胜．【详解】因为每人每次至少抓取1个，最多抓取4个当两人所拿的和为5时，有所以甲第一次应该抓取4个玻璃球，后面只要满足甲拿的球与乙拿的球和为5，则甲一定获胜故选：D3．数字2022具有这样的性质：它是6的倍数并且各位数字之和为6，称这种正整数为“吉祥数”.在所有的三位正整数中，“吉祥数”的个数为___________.【答案】12【分析】讨论百位数为6、5、4、3、2、1分别列举出符合要求的“吉祥数”，即可得结果.【详解】当百位为6，符合要求的“吉祥数”有600；当百位为5，符合要求的“吉祥数”有510；当百位为4，符合要求的“吉祥数”有420、402；当百位为3，符合要求的“吉祥数”有330、312；当百位为2，符合要求的“吉祥数”有240、204、222；当百位为1，符合要求的“吉祥数”有150、114、132；综上，共有12个“吉祥数”.故答案为：12考点5：几何中的计数原理例5．已知分子是一种由60个碳原子构成的分子，它形似足球，因此又名足球烯，是单纯由碳原子结合形成的稳定分子，它具有60个顶点和若干个面，.各个面的形状为正五边形或正六边形，结构如图.已知其中正六边形的面为20个，则正五边形的面为（

）个.A．10 B．12C．16 D．20【答案】B【分析】由结构图知：每个顶点同时在3个面内，计算出五边形的总顶点数，从而得到结果.【详解】由结构图知：每个顶点同时在3个面内，所以五边形面数为个，故选B.【方法技巧】本题以分子为载体，考查空间问题的计数问题，考查空间想象能力与推理能力【变式训练】1．凸八边形的对角线有（

）条A．20 B．28 C．48 D．56【答案】A【分析】确定过每一个顶点的对角线条数后求解【详解】凸八边形过每一个顶点有5条对角线，故共有条故选：A2．已知直线中的、、是取自集合中的3个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角．那么这样的直线的条数是______．【答案】43【分析】先由直线的倾斜角为锐角得到异号，再按c分类讨论去求符合要求的直线条数即可.【详解】设直线的倾斜角为θ，则．不妨设，则．（1）时，a有三种取法，b有三种取法，排除2个重复（与为同一直线），故这样的直线有（条）；（2）时，则a有三种取法，b有三种取法，c有四种取法，且其中任两条直线均不相同，故这样的直线有（条）．从而，符合要求的直线有（条）．故答案为：43．知识小结知识小结一、两个计数原理1.分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有种不同的方法，在第二类办法中有种不同的方法，……，在第n类办法中有种不同的方法那么完成这件事共有种不同的方法2.分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法，……，做第n步有种不同的方法，那么完成这件事有种不同的方法3、两个计数原理的区别巩固提升巩固提升1．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6），骰子朝上的面的点数分别为X、Y，则的概率为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】分别计算全部基本事件数，以及满足的事件数，根据古典概型的计算公式即可求解.【详解】先后抛两枚骰子，可得所有的基本事件个数为种，由得,满足条件的共有3对，分别为：且,且,且,故概率为，故选：D2．若一个、均为非负整数的有序数对，在做的加法时，各位均不进位，则称为“简单的有序实数对”，称为有序实数对之值，则值为2004的“简单的有序实数对”的个数是（

）．A．10 B．15 C．20 D．25【答案】B【分析】根据定义，列举出所有的情况，即可求解.【详解】因为在做的加法时，各位均不进位则称为“简单的有序实数”，称为有序实数对之值，其中m、n均为非负整数，所以值为2004的“简单的有序实数对”可能为(0，2004)，(1，2003)，(2，2002)，(3，2001)，(4，2000)；(2004，0)，(2003，1)，(2002，2)，(2001，3)，(2000，4)；(1000，1004)，(1001，1003)，(1002，1002)；(1003，1001)，(1004，1000)共15种.故选：B.3．核糖核酸RNA是存在于生物细胞以及部分病毒、类病毒中的遗传信息载体．参与形成RNA的碱基有4种，分别用A，C，G，U表示．在一个RNA分子中，各种碱基能够以任意次序出现，假设某一RNA分子由100个碱基组成，则不同的RNA分子的种数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据分步乘法计数原理进行计算即可.【详解】每个碱基有4种可能，根据分步乘法计数原理，可得不同的RNA分子的种数为．故A，C，D错误.故选：B.4．已知集合，，若从这两个集合中各取一个元素作为点的横坐标或纵坐标，则可得平面直角坐标系中第一、二象限内不同点的个数是（

）A．18 B．16 C．14 D．10【答案】C【分析】分M中的元素作点的横坐标，N中的元素作点的纵坐标和N中的元素作点的横坐标，M中的元素作点的纵坐标两类讨论求解.【详解】分两类情况讨论：第一类，从中取的元素作为横坐标，从中取的元素作为纵坐标，则第一、二象限内的点共有（个）；第二类，从中取的元素作为纵坐标，从中取的元素作为横坐标，则第一、二象限内的点共有（个），由分类加法计数原理，所以所求个数为．故选：C5．某大学食堂备有6种荤菜、5种素菜、3种汤，现要配成一荤一素一汤的套餐，则可以配成不同套餐的种数为（

）A．30 B．14 C．33 D．90【答案】D【分析】根据备有6种素菜，5种荤菜，3种汤，则素菜有6种选法，荤菜有5种选法，汤菜有3种选法，然后再利用分步计数原理求解【详解】因为备有6种素菜，5种荤菜，3种汤，所以素菜有6种选法，荤菜有5种选法，汤菜有3种选法，所以要配成一荤一素一汤的套餐，则可以配制出不同的套餐有种故选：D6．某省新高考采用“”模式：“3”为全国统考科目语文、数学、外语，所有学生必考；“1”为首选科目，考生须在物理、历史科目中选择1个科目；“2”为再选科目，考生可在思想政治、地理、化学、生物4个科目中选择2个科目．已知小明同学必选化学，那么他可选择的方案共有（

）A．4种 B．6种 C．8种 D．12种【答案】B【分析】应用分步乘法求小明选择方案的方法数.【详解】根据题意，分2步进行分析：①小明必选化学，则须在思想政治、地理、生物中再选出1个科目，选法有3种；②小明在物理、历史科目中选出1个，选法有2种．由分步乘法计数原理知，小明可选择的方案共有（种）．故选：B7．仅有甲、乙、丙三人参加四项比赛，所有比赛均无并列名次，则不同的夺冠情况共有（

）种.A． B． C． D．【答案】C【分析】每个冠军都有3种可能，因为有四项比赛，根据乘法原理，可得冠军获奖者的可能情况．【详解】解：由题意，每项比赛的冠军都有3种可能，因为有四项比赛，所以冠军获奖者共有种可能故选：C．8．元旦来临之际，某寝室四人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺卡，则四张贺卡不同的分配方式有（

）A．6种 B．9种 C．11种 D．23种【答案】B【分析】由题可得当A拿贺卡b时有三种不同的分配方式，利用分类加法计数原理即得；或利用分步乘法计数原理，A先拿，有3种，此时被A拿走的那张贺卡的人也有3种不同的取法，进而即得.【详解】解法1：设四人A、B、C、D写的贺卡分别是a、b、c、d，当A拿贺卡b，则B可拿a、c、d中的任何一张，即B拿a，C拿d，D拿c，或B拿c，D拿a，C拿d，或B拿d，C拿a，D拿c，所以A拿b时有三种不同的分配方式；同理，A拿c，d时也各有三种不同的分配方式，由分类加法计数原理，四张贺卡共有（种）分配方式；解法2：让四人A、B、C、D依次拿一张别人送出的贺卡，如果A先拿，有3种，此时被A拿走的那张贺卡的人也有3种不同的取法，接下来，剩下的两个人都各只有1种取法，由分步乘法计数原理，四张贺卡不同的分配方式有（种）．故选：B.二、多选题9．高二年级安排甲、乙、丙三位同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动，每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，下列说法正确的有（

）A．如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有61种B．如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有25种C．如果三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有60种D．如果甲、乙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有20种【答案】ABC【分析】求得社区A必须有同学选择的方法数判断选项A；求得同学甲必须选择社区A的方法数判断选项B；求得三名同学选择的社区各不相同的安排方法数判断选项C；求得甲、乙两名同学必须在同一个社区的安排方法数判断选项D.【详解】安排甲、乙、丙三位同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动，选项A：如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有（种）.判断正确；选项B：如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有（种）.判断正确；选项C：如果三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有（种）.判断正确；选项D：如果甲、乙两名同学必须在同一个社区，再分为丙与甲、乙两名同学在一起和不在一起两种情况，则不同的安排方法共有（种）.判断错误.故选：ABC10．现有6位同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每位同学可自由选择其中的一个讲座，则不同选法的种数错误的是（

）.A． B． C． D．6×5×4×3×2【答案】BCD【分析】根据题意，每位同学都有5种选择，结合分步计数原理，即可求解.【详解】根据题意，每位同学都有5种选择，共有（种）不同的选法，所以A正确，B，C，D错误．故选：BCD.三、填空题11．五名高中生报考三所高等院校，每人报且只报一所，不同的报名方法有______种．【答案】【分析】由分步乘法计数原理直接运算即可.【详解】每名高中生均有种报名方法，不同的报名方法有种.故答