高二数学考点讲解练（人教A版2019选择性必修第一册）3.2.2 双曲线的简单几何性质(附答案)

3.2.2双曲线的简单几何性质【考点梳理】考点一：双曲线的性质标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－ay≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点坐标A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x离心率e＝eq\f(c,a)，e∈(1，＋∞)，其中c＝eq\r(a2＋b2)a，b，c间的关系c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)考点二：等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线，它的渐近线方程是y＝±x，离心率为eq\r(2).考点三:直线与双曲线的位置关系设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，①双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，②把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0.(1)当b2－a2k2＝0，即k＝±eq\f(b,a)时，直线l与双曲线C的渐近线平行，直线与双曲线相交于一点．(2)当b2－a2k2≠0，即k≠±eq\f(b,a)时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)．Δ>0⇒直线与双曲线有两个公共点；Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点；Δ<0⇒直线与双曲线有0个公共点．考点四：弦长公式若斜率为k(k≠0)的直线与双曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝eq\r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2]).重难点技巧：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.【题型归纳】题型一：双曲线的简单几何性质（焦点、焦距）1．从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形状为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，，则该双曲线的焦距为（

）A． B． C． D．2．若双曲线的一条渐近线与直线相互垂直，则双曲线的两个焦点与虚轴的一个端点构成的三角形的面积为

（

）A． B．6 C． D．83．以双曲线的焦点为椭圆C的长轴顶点，且过点的椭圆C的方程为（

）A． B．C． D．题型二：双曲线的简单几何性质（顶点、实轴、虚轴）4．已知点是双曲线的右焦点，过F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为M，若△OMF（点O为坐标原点）的面积为8，则C的实轴长为（

）A．8 B． C．6 D．5．已知双曲线以正方形ABCD的两个顶点为焦点，且经过该正方形的另两个顶点，若正方形ABCD的边长为2，则E的实轴长为（）A． B．C． D．6．双曲线：与双曲线：的（

）A．实轴长相等 B．焦点坐标相同C．焦距相等 D．离心率相等题型三：等轴双曲线7．双曲线与椭圆有相同的焦点，它的一条渐近线为，则该双曲线方程为（

）A． B． C． D．8．双曲线的一条渐近线方程为，则此双曲线的离心率为（

）A．2 B． C．3 D．9．如图，设F1，F2分别为等轴双曲线x2－y2＝a2的左，右焦点，A为双曲线的左顶点，以F1F2为直径的圆交双曲线的一条渐近线于M，N两点，则cos∠MAN等于()A． B．－C． D．－题型四：双曲线的渐近线问题10．已知双曲线，过左焦点F作一条渐近线的垂线，记垂足为P，点Q在双曲线上，且满足，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．211．已知是双曲线：（，）的右焦点，过作与轴垂直的直线与双曲线交于，两点，过作一条渐近线的垂线，垂足为，若，则（

）A．1 B． C． D．312．，分别是双曲线的左、右焦点，过左焦点的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，若，则双曲线的渐近线方程是（

）A． B． C． D．题型五：双曲线的的离心率问题13．已知，分别是双曲线（，）的左、右焦点，过作双曲线C的渐近线的垂线，垂足为P，且与双曲线C的左支交于点Q，若存在非零实数使得（O为坐标原点），则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．14．设、分别是双曲线的左、右焦点，A为左顶点，P为双曲线右支上一点，若，且的最小内角为30°，则以下说法中错误的是（

）．A．双曲线的离心率为 B．双曲线的渐近线方程为C． D．直线x＋2y－2＝0与双曲线有两个公共点15．已知双曲线（，）的左、右顶点分别为，，点在直线上运动，若的最大值为，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．题型六：双曲线的弦长、焦点弦问题16．已知双曲线的焦点在轴上，对称中心为坐标原点，焦距为，且过点．（1）求的方程；（2）若斜率为2的直线与交于，两点．且，求．17．设､分别为双曲线的左右焦点，且也为抛物线的的焦点，若点，，是等腰直角三角形的三个顶点.(1)双曲线C的方程；(2)若直线l：与双曲线C相交于A､B两点，求.18．已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为0．(1)求l的斜率；(2)若，求的面积．题型七：双曲线中的定值、定点问题19．已知双曲线．(1)求双曲线C的离心率；(2)若直线与双曲线C相交于A，B两点（A，B均异于左、右顶点），且以AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．20．已知F1（，0），F2（，0）为双曲线C的两个焦点，点在双曲线C上．(1)求双曲线C的方程；(2)已知点A，B是双曲线C上异于P的两点，直线PA，PB与y轴分别相交于M，N两点，若，证明：直线AB过定点．21．已知双曲线：的右焦点为，左顶点为A，且，到C的渐近线的距离为1，过点的直线与双曲线C的右支交于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴分别交于M，N两点.(1)求双曲线C的标准方程.(2)若直线MB，NB的斜率分别为，，判断是否为定值.若是，求出该定值；若不是，请说明理由.题型八：双曲线中的向量、定直线问题22．已知双曲线：（，）实轴端点分别为，，右焦点为，离心率为2，过点且斜率1的直线与双曲线交于另一点，已知的面积为．(1)求双曲线的方程；(2)若过的直线与双曲线交于，两点，试探究直线与直线的交点是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；如不在，请说明理由．23．在平面直角坐标系中，为坐标原点.动点与定点的距离和它到定直线的距离的比为常数2，动点的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程；(2)过点的直线交曲线于两点，若，求直线的方程.24．已知双曲线C的方程为，离心率为，右顶点为(2，0)(1)求双曲线的标准方程；(2)过的直线与双曲线C的一支交于两点，求的取值范围．【双基达标】一、单选题25．已知椭圆：与双曲线：的离心率之积为2，则双曲线的两条渐近线的方程分别为（

）A． B． C． D．26．已知是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则的值为（

）A．4 B．3 C．2 D．127．已知，是双曲线（，）的左、右焦点，点关于渐近线的对称点恰好落在以为圆心，为半径的圆上，则该双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．28．已知为双曲线的右焦点，为的右顶点，为上的点，且垂直于轴．若的斜率为，则的离心率为（

）A． B．6 C．7 D．829．已知中心在原点且关于坐标轴对称的双曲线C的离心率为2．(1)求双曲线C的渐近线方程；(2)如果双曲线C的焦点和椭圆的焦点相同，求双曲线C的方程．30．已知双曲线C：（，），第一象限内的点P在C上，双曲线的左、右焦点分别记为，，且，，O为坐标原点．(1)求双曲线C的离心率；(2)若的面积为2，求点P的坐标．【高分突破】一：单选题31．已知直线与双曲线无公共交点，则双曲线C离心率e的取值范围为（

）．A． B． C． D．32．双曲线C：的左焦点为F，过原点作一条直线分别交C的左右两支于A，B两点，若，，则此双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．333．黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为，把称为黄金分割数．已知双曲线的实轴长与焦距的比值恰好是黄金分割数，则m的值为（

）A． B． C．2 D．34．已知A，B，P是双曲线（，）上不同的三点，且点A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积为，则该双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．35．已知双曲线C：（，）的实轴长为8，一条渐近线的方程为，则双曲线的标准方程为（

）A． B．C． D．36．已知双曲线的右顶点为，若以点为圆心，以为半径的圆与的一条渐近线交于，两点，且，则的离心率为（

）A． B． C． D．37．已知双曲线的左、右焦点分别为、，过左焦点作斜率为2的直线与双曲线交于A，B两点，P是AB的中点，O为坐标原点，若直线OP的斜率为，则双曲线的离心率是（

）A． B．2 C． D．38．已知双曲线C：的左，右焦点分别为、，过的直线l交双曲线的右支于点P，以双曲线的实轴为直径的圆与直线l相切，切点为H，若，则双曲线C的离心率为（

）A． B． C．2 D．二、多选题39．已知曲线C：，则（

）A．当时，则C的焦点是，B．当时，则C的渐近线方程为C．当C表示双曲线时，则m的取值范围为或D．不存在实数m，使C表示圆40．关于双曲线有下列四个说法，正确的是（

）A．P为双曲线上一点，，分别为左、右焦点，若，此时B．与双曲线有相同的离心率C．与椭圆有相同的焦距D．过右焦点的弦长最小值为441．已知为4，为8或，则下列对曲线描述正确的是（

）A．曲线可表示为焦点在轴的椭圆 B．曲线可表示焦距是4的双曲线C．曲线可表示为离心率是的椭圆 D．曲线可表示渐近线方程是的双曲线42．已知圆锥曲线与的公共焦点为，．点为，的一个公共点，且满足，若圆锥曲线的离心率为，则下列说法正确的是（

）A．的离心率为 B．的离心率为C．的渐近线方程为 D．的渐近线方程为43．设双曲线的两个焦点分别是，，以线段为直径的圆交双曲线于A，B，C，D四点，若A，B，C，D，，恰为正六边形的六个顶点，则下列说法正确的是（

）A． B．四边形ABCD的面积为C．双曲线的离心率为 D．双曲线的渐近线方程为44．已知，同时为椭圆：（）与双曲线:（，）的左右焦点，设椭圆与双曲线在第一象限内交于点，椭圆与双曲线的离心率分别为，，为坐标原点，则下列结论正确的是（

）A．B．若，则C．若，则D．若，则的取值范围是三、解答题45．已知点在双曲线上．(1)求双曲线的方程；(2)是否存在过点的直线l与双曲线相交于A,B两点，且满足P是线段的中点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．46．双曲线，右焦点为.(1)若双曲线为等轴双曲线，且过点，求双曲线的方程；(2)经过原点倾斜角为的直线与双曲线的右支交于点是以线段为底边的等腰三角形，求双曲线的离心率.47．已知点A、F分别为双曲线C：的左顶点和右焦点，且点A、F到直线的距离相等．(1)求双曲线C的离心率；(2)设M为双曲线C上的点，且点M到双曲线C的两条渐近线的距离乘积为．①求双曲线C的方程；②设过点F且与坐标轴不垂直的直线l与双曲线C相交于点P、Q，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点B，求值．48．已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，，的最小值，，且满足．(1)求双曲线的离心率；(2)若，过点的直线交双曲线于，两点，线段的垂直平分线交轴于点（异于坐标原点），求的最小值．【答案详解】1．C【分析】建立平面直角坐标系，求得该双曲线的标准方程，进而求得其焦距.【详解】如图，以O为原点，AD所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设双曲线的方程为，则该双曲线过点，且，所以，解得，所以，得，所以该双曲线的焦距为，故选：C．2．C【分析】写出渐近线方程，利用直线垂直列方程求解，从而得焦点坐标与虚轴顶点坐标，可求解得三角形面积.【详解】双曲线的一条渐近线方程为，由两直线垂直得，，，所以双曲线的焦点坐标为，虚轴一个顶点坐标为，故选：C3．B【分析】求出双曲线的焦点坐标，得出椭圆的半长轴长，设椭圆标准方程为，代入已知点，求解即可得到椭圆的标准方程.【详解】解：双曲线的焦点为，设椭圆标准方程为，则，又椭圆过点，所以，解得，所以椭圆的标准方程为.故选：B.4．A【分析】根据可得，再焦点到渐近线的距离为b，结合△OMF的面积为8，列式求解即可【详解】由题意可得．取渐近线，易知点到直线的距离为b，则，所以，联立得．所以C的实轴长为8．故选：A5．A【分析】由正方形边长可得c，将D点坐标代入双曲线方程，结合求解可得.【详解】由图知，，易知，代入双曲线方程得，又，联立求解得或（舍去）所以所以双曲线E的实轴长为.故选：A6．C【分析】根据两双曲线的方程，分别求得实半轴，虚半轴，进而求得实轴长，焦点位置，焦距，离心率，即可做出判定.【详解】设双曲线的实半轴，虚半轴，半焦距分别为.由双曲线的方程可得：,.双曲线的实轴长分别是,,与参数t和m有关，所以实轴长不一定相等，故A错误；因为双曲线的焦点在x轴上，双曲线的焦点在y轴上，所以焦点坐标不同，故B错误；因为，∴∴，即两个双曲线的焦距相等，故C正确；因为离心率，，，不一定相等，故离心率不一定相等，故D错误.故选：C.7．D【分析】根据题意得双曲线的焦点为，且为等轴双曲线，进而得，故双曲线的方程为.【详解】因为椭圆的焦点在轴上，，即，所以根据题意得所求双曲线的焦点为，因为双曲线的一条渐近线为，所以该双曲线为等轴双曲线，即，所以，解得，所以双曲线的方程为.故选：D【点睛】本题考查双曲线方程的求解，考查运算求解能力，是基础题.本题解题的关键在于根据题意得双曲线为等轴双曲线且焦点为进而求解.8．B【分析】先根据渐近线的斜率得，再利用离心率公式求解即可.【详解】解：因为双曲线是焦点在轴上的双曲线，一条渐近线方程为，所以，所以离心率.故选：B.【点睛】本题考查双曲线的性质，是基础题.9．D【详解】等轴双曲线的两条渐近线方程为，所以，则，，则；故选D.10．C【分析】设在渐近线上，直线的方程为，联立求得，由，求得，代入双曲线的方程化简即可得出答案.【详解】设在渐近线上，直线的方程为，由，得即，由，得为的中点，又因为所以，因为在双曲线上，所以化简得：故选：C11．B【分析】设，分别求出和，即可求出.【详解】设.过作与轴垂直的直线与双曲线交于，两点，则，解得：，所以.由双曲线可得渐近线为.由对称性可知，到任一渐近线的距离均相等，不妨求到渐近线的距离，所以.因为，所以，解得：.故选：B12．B【分析】由，设，，，可判断为直角三角形，再结合双曲线的定义可求得，得，则，，再利用勾股定理结合可求出，从而可求出渐近线方程.【详解】因为，所以可设，，，其中，所以，所以为直角三角形．又因为，，所以，所以，所以2a＝2k，所以k＝a，所以，，又因为，所以，所以，又，所以，所以，所以渐近线方程为．故选：B．13．A【分析】先求得，然后利用余弦定理列方程，化简求得，进而求得双曲线的离心率.【详解】因为存在非零实数使得，所以，O是的中点，所以Q为的中点，因为，所以点到渐近线，即的距离，又，所以，，则由双曲线的定义可知，在中，由余弦定理，得，整理，得，所以双曲线的离心率为.故选：A14．C【分析】A.首先根据三边的关系，判断出，再根据余弦定理求离心率；B.根据离心率，直接求渐近线方程；C.首先由边的关系，判断出，再判断与是否相等；D.联立直线与双曲线方程，根据的正负，即可判断.【详解】因为，，所以，．又因为且，所以，所以，所以，所以，故A选项正确．，所以，所以，所以渐近线方程为，故B选项正确．因为，所以，所以．又因为，，所以，所以，所以C选项不成立．因为所以，所以，所以，所以直线x＋2y－2＝0与双曲线有两个公共点，所以D选项正确．故选：C15．A【分析】根据两角差的正切公式，结合基本不等式求最值，即可得，进而可求离心率.【详解】设双曲线的左、右焦点分别为，，，，则．依题意不妨设点在第一象限，坐标为，则，，所以．因为，所以，当且仅当时等号成立，则．因为的最大值为，所以，即，则，所以，故，故选:A．16．（1）

；（2）．【分析】（1）由焦距可以设出焦点坐标，利用双曲线的定义求出实轴的长度，进而可得双曲线的方程；（2）联立直线与双曲线方程，消去，写出韦达定理，由得出直线的纵截距，再利用弦长公式求解即可．【详解】（1）由已知，设焦点坐标为，则，又，解得，故双曲线的方程为：；（2）设直线，与双曲线的方程联立可得：设，则，，，，，解得，因此．17．(1)(2)【分析】（1）首先求出抛物线的焦点坐标，即可得到，再根据为等腰直角三角形，即可求出，最后根据，求出，即可求出双曲线方程；（2）设，联立直线与双曲线方程，消元列出韦达定理，利用弦长公式计算可得；（1）解：抛物线的焦点为，所以，即，，又点，，是等腰直角三角形的三个顶点，所以，即，又，所以，所以双曲线方程为.（2）解：依题意设，，由消去整理得，由，所以，，所以.18．(1)；(2)．【分析】（1）由点在双曲线上可求出，易知直线l的斜率存在，设，，再根据，即可解出l的斜率；（2）根据直线的斜率之和为0可知直线的倾斜角互补，根据即可求出直线的斜率，再分别联立直线与双曲线方程求出点的坐标，即可得到直线的方程以及的长，由点到直线的距离公式求出点A到直线的距离，即可得出的面积．（1）因为点在双曲线上，所以，解得，即双曲线．易知直线l的斜率存在，设，，联立可得，，所以，，且．所以由可得，，即，即，所以，化简得，，即，所以或，当时，直线过点，与题意不符，舍去，故．（2）［方法一］：【最优解】常规转化不妨设直线的倾斜角为，因为，所以，由（1）知，，当均在双曲线左支时，，所以，即，解得（负值舍去）此时PA与双曲线的渐近线平行，与双曲线左支无交点，舍去；当均在双曲线右支时，因为，所以，即，即，解得（负值舍去），于是，直线，直线，联立可得，，因为方程有一个根为，所以，，同理可得，，．所以，，点到直线的距离，故的面积为．［方法二］：设直线AP的倾斜角为，，由，得，由，得，即，联立，及得，，同理，，，故，而，，由，得，故【整体点评】（2）法一：由第一问结论利用倾斜角的关系可求出直线的斜率，从而联立求出点坐标，进而求出三角形面积，思路清晰直接，是该题的通性通法，也是最优解；法二：前面解答与法一求解点坐标过程形式有所区别，最终目的一样，主要区别在于三角形面积公式的选择不一样．19．(1)(2)证明见解析，定点坐标为【分析】（1）直接由双曲线标准方程得到，代入离心率公式即可.（2）联立双曲线与直线方程，根据以AB为直径的圆过双曲线C的左顶点，得到，再结合韦达定理即可求得与的关系，分别验算即可得到结果.（1）由双曲线的方程可知，，∴双曲线的离心率．（2）设，，由，得，则，，，∵以AB为直径的圆过双曲线C的左顶点，∴，∴，∴，∴，解得或．当时，直线l的方程为，直线l过定点，与已知矛盾；当时，直线l的方程为，直线l过定点，经检验符合题意∴直线l过定点，定点坐标为．20．(1)(2)证明见解析【分析】（1）由题意得，再结合，可求出，从而可求出双曲线的方程，（2）设直线AB的方程为，，将直线方程代入双曲线方程消去化简，利用根与系数的关系，表示直线PA，PB的方程，从而可求出点M，N的坐标，再由化简计算可求出的关系，从而可证得结论（1）设双曲线C的方程为（），由题意知，因为，所以解得∴双曲线C的方程为（2）设直线AB的方程为，，由，整理得，则，，得，直线PA方程为令，则M（0，），同理N（0，）.由，可得，∴0，0，∴，∴，∴，∴∴，∴当时，此时直线AB方程为恒过定点，显然不可能∴，直线AB方程为恒过定点21．(1)(2)是定值，【分析】（1）由题意可得，，再结合可求出，从而可求出双曲线方程，（2）设直线：，，，，将直线方程代入双曲线方程消去，利用根与系数的关系，表示出直线的方程，可表示出点的坐标，同理可表示出点的坐标，从而可表示，，然后计算化简即可（1）由题意得，，渐近线方程为，则到渐近线的距离为，又因为，所以，，，故双曲线的标准方程为.（2）设直线：，，，，联立方程组得，所以，.因为直线的方程为，所以的坐标为，同理可得的坐标为.因为，，所以，即为定值.22．(1)(2)在定直线方程上【分析】（1）联立直线方程与双曲线方程，可得点，进而根据三角形面积公式即可求出的值；（2）分直线斜率和不存在两种情况讨论，求出两直线交点，代入化简即可求解.（1）设直线的方程为，联立，得，又，，代入上式得，即，∴，解得，∴，，∴双曲线的方程为．（2）当直线点的斜率不存在时，，，直线的方程为，直线的方程为，联立直线与直线的方程可得的，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，联立得，∴，，∴直线的方程为，直线的方程为，联立直线与直线的方程可得：，两边平方得，又，满足，∴，∴，∴，或，（舍去）综上，在定直线上，且定直线方程为．23．(1)(2)或【分析】（1）设点，然后根据题意列方程化简可求得曲线的方程，（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，可求出的坐标，从而可得与不垂直，不合题意，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，将直线方程代入曲线的方程消去，整理后利用根与系数的关系，再由，得，化简计算可求出直线的斜率，从而可得直线方程(1)设点，由题意得，式子左右同时平方，并化简得，.所以曲线的方程为.(2)当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时直线与曲线的交点坐标为.所以与不垂直，即，不符合题意.当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立，得由和，得.，因为，所以.所以，解得所以直线的方程为，即或.24．(1)(2)【分析】（1）依题意可得即可求出、，从而求出双曲线方程；（2）设直线的方程为，设、，联立直线与双曲线方程，消元，依题意可得，即可求出的取值范围，再根据向量数量积的坐标表示得到，即可求出的范围；(1)解：根据题意，由离心率，又，所以，又右顶点为，即，故双曲线的标准方程为．(2)解：设直线的方程为，设、，则由，消去整理得到，∵直线与双曲线一支交于、两点，，解得．因此，∵，故，故．25．A【分析】由二者离心率之积为2，可得，从而得到双曲线渐近线方程.【详解】因为椭圆：与双曲线：的离心率之积为2，所以有，，可得，因此双曲线的两条渐近线方程为：，所以双曲线的两条渐近线的方程为．故选：A．26．A【分析】根据椭圆和双曲线的定义，结合余弦定理、椭圆和双曲线的离心率公式进行求解即可.【详解】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，设F1，F2是椭圆和双曲线的左右两个焦点，且，设P在第一象限，，由椭圆的定义可知：，由双曲线的定义可知：，由此可解得：，由余弦定理可知：即，化简得：，即，所以，即故选：A27．C【分析】先求解F1到渐近线的距离，结合OA∥F2M，可得∠F1MF2为直角，结合勾股定理可得解【详解】由题意,F1(−c,0),F2(c,0)，设一条渐近线方程为y=x,则F1到渐近线的距离为.设F1关于渐近线的对称点为M,F1M与渐近线交于A,∴|MF1|=2b,A为F1M的中点，又O是F1F2的中点,∴OA∥F2M,∴∠F1MF2为直角，∴△MF1F2为直角三角形，∴由勾股定理得4c2=c2+4b2∴3c2=4(c2−a2),∴c2=4a2，∴c=2a，∴e=2.故选：C28．A【分析】求出A点，B点坐标，利用斜率等于6结合得到，方程两边同除以得到关于离心率的方程，求出答案.【详解】由题意得：，，当时，，解得，因为的斜率为，所以B点位于第一象限，则，故，整理得：，因为，即，方程两边同除以得：，解得：或1（舍去）故选：A29．(1)见解析(2)【分析】（1）讨论焦点位置，根据离心率与渐近线斜率的关系得到结果；（2）根据题意可确定双曲线焦点位置及焦距，从而得到双曲线C的方程．（1）由双曲线C的离心率为2，有，则，即，∴，即，∴当焦点在x轴上时双曲线C的渐近线为，当焦点在y轴上时双曲线C的渐近线为．（2）因为椭圆的焦点在x轴且，由有，所以双曲线C的方程为．30．(1)；(2)．【分析】（1）利用双曲线定义及勾股定理即可得到双曲线C的离心率；（2）利用点在曲线上及三角形面积公式可得点P的坐标．（1）∵，，∴，，∵，∴，化为：，∴，，即双曲线C的离心率为．（2）由题意可得：，，又，解得，，，所以，双曲线方程为，把代入双曲线方程，得：，，解得．∴．31．C【分析】利用直线与双曲线的渐近线的位置关系即可求得结果.【详解】由题意得，的斜率为，而的渐近线为，由于直线与双曲线没有公共交点，如图，所以，即，故，即，所以，故，即.故选：C.32．C【分析】设双曲线的右焦点为，连接，利用双曲线的定义得到利用题意可证明，在中可得，即可得到答案【详解】解：设双曲线的右焦点为，连接，根据椭圆的对称性可得，由双曲线的定义可得所以在中，，结合，可得，所以即，在中，即，所以，则，故选：C33．A【分析】利用实轴长与焦距的比值恰好是黄金分割数，代入进行求解m的值．【详解】由题意得，在双曲线中，，∴．∵双曲线的实轴长与焦距的比值为黄金分割数，∴，∴，即，解得．故选：A．【点睛】本题主要考查双曲线的概念，考查学生的运算能力，属于简单题．34．D【分析】设，，根据对称性，知，表示出，因为点A，P在双曲线上，将其代入双曲线方程，两式相减即可求出值，进而求出离心率.【详解】设，，根据对称性，知，所以．因为点A，P在双曲线上，所以，两式相减，得，所以，所以．故选：D.35．D【分析】根据实轴长求得，再结合渐近线方程求得，即可求解【详解】因为实轴长为8，所以，可得渐近线方程为，所以，所以双曲线的标准方程为，故选：D．36．C【分析】通过图形，利用圆、双曲线的几何性质，根据题设得到的等量关系，算出双曲线的离心率．【详解】过点作于点，则点为线段的中点，因为点为，渐近线方程为，所以点到渐近线的距离为，在中，，在中，，因为，所以，所以，即，所以离心率．故A，B，D错误.故选：C．37．A【分析】设，，利用点差法，结合直线的斜率公式可求出，从而可求出，进而可求出离心率【详解】，，则，，两式相减得，所以因为P是AB的中点，所以，，因为直线OP的斜率为，所以，因为过左焦点作斜率为2的直线与双曲线交于A，B两点，所以，所以，，得，所以，所以离心率为故选：A38．B【分析】根据以及相切可得，在中根据中位线可得，进而根据双曲线定义即可求解进而可求离心率.【详解】由已知，，在中，∵H，C为，中点，∴.又，所以，∴.故选：B39．ABC【分析】对于A，直接由方程求出，从而可求出进行判断，对于B，直接由方程求渐近线方程，对于C，由求解即可，对于D，当时表示圆，求出判断.【详解】对于A，当时，曲线C：，则，则，所以C的焦点是，，所以A正确，对于B，当时，曲线C：表示双曲线，则由，得C的渐近线方程为，所以B正确，对于C，当C表示双曲线时，，解得或，所以C正确，对于D，当时，即时，曲线C：，即表示圆，所以D错误，故选：ABC40．AC【分析】由双曲线方程求出，对于A，结合双曲线的定义求出，再利用余弦定理可求出的大小，对于B，求出离心率进行比较即可，对于C，求出椭圆的焦距判断，对于D，由双曲线的性质判断.【详解】由，得，则，所以，对于A，由于P为双曲线上一点，，分别为左、右焦点，，则，得，则由余弦定理得，因为，所以，所以A正确，对于B，因为的离心率为，双曲线的离心率为，所以两双曲线的离心率不相同，所以B错误，对于C，双曲线的焦距为，椭圆的焦距为，所以C正确，对于D，双曲线的右焦点为，当时，，得，此时通径为4，当过右焦点的直线过双曲线的左右两个顶点时，所得的弦长为，因为，所以过右焦点的弦长最小值为2，所以D错误，故选：AC41．ACD【分析】利用椭圆、双曲线的定义及标准方程即可判断.【详解】由题意得，当时，方程表示焦点在轴的椭圆，所以A选项正确;当时，方程表示焦点在轴的双曲线，此时，则，，则焦距，所以B选项错误;当时，方程表示焦点在轴的椭圆，此时，则，，则离心率为，所以C选项正确;当时，方程表示焦点在轴的双曲线，此时，则，则，，则渐近线方程为，即，所以D选项正确;故选:ACD.42．BC【分析】根据椭圆与双曲线的定义，结合焦点三角形的性质可得，结合椭圆的离心率可得双曲线的离心率，进而可得双曲线的渐近线.【详解】不妨取点为，第一象限的一个公共点，令，，，，则曲线的方程为，曲线的方程为，又由两曲线有公共焦点，则，由圆锥曲线定义可得：，，得，，又，所以，可得：，整理得，因为，所以，故A错误；B正确；由，得：，解得：，所以渐近线方程为，故C正确，D错误，故选：BC.43．ABC【分析】本题主要考查双曲线的基本性质．利用边长之间的关系证明出，利用对称性可知四边形ABCD为矩形求出其面积，利用双曲线定义求出离心率和渐近线方程．【详解】不妨设点为左焦点，如图所示，因为，，所以，又，所以，A正确；根据对称性，可知四边形ABCD为矩形，又，，所以四边形ABCD的面积为，B正确；由双曲线的定义可得，即，则离心率，C正确；因为，所以，所以双曲线的渐近线方程为，D错误．故选ABC．一题多解对于A选项还可以如下求解：为圆的直径，点B在圆上，则，故A正确．【点睛】本题主要考查双曲线的基本性质，考查基本运算，属于一般题．44．BCD【分析】设，所以，.对于A：计算出，即可判断；对于B：由椭圆的定义和双曲线的定义解得：，.利用余弦定理得到结合，即可求得；对于C：先判断出为直角三角形.利用勾股定理得到.即可求出；对于D：先求出.令，则.利用定义判断出，结合对勾函数的单调性可以求出.【详解】因为，同时为椭圆：（）与双曲线:（，）的左右焦点，可设，所以，.对于A：因为，，所以.故A错误；对于B：由椭圆的定义可