高二数学考点讲解练(人教A版2019选择性必修第一册)1.3空间向量及其运算的坐标表示(原卷版+解析)

1.3空间向量及其运算的坐标表示备注：资料包含：1.基础知识归纳；考点分析及解题方法归纳：考点包含：空间直角坐标系；空间中点的坐标公式；空间两点间的距离；空间向量的坐标运算；空间向量平行的坐标表示；空间中垂直的坐标表示；空间向量夹角的余弦表示课堂知识小结考点巩固提升知识归纳一、空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系中，对空间任一点，存在唯一的有序实数组，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作，叫横坐标，叫纵坐标，叫竖坐标。注：①点A（x,y,z）关于x轴的的对称点为(x,-y,-z),关于xoy平面的对称点为(x,y,-z).即点关于什么轴/平面对称，什么坐标不变，其余的分坐标均相反。②在y轴上的点设为(0,y,0),在平面yOz中的点设为(0,y,z)。空间中任一向量=（x,y,z）三、空间向量的直角坐标运算律：①若，，则，，，，，。②若，，则。一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。③定比分点公式：若，，，则点P坐标为。推导：设P（x,y,z）则,显然，当P为AB中点时，④，三角形重心P坐标为⑤ΔABC的五心：内心P：内切圆的圆心，角平分线的交点。（单位向量）外心P：外接圆的圆心，中垂线的交点。垂心P：高的交点：（移项，内积为0，则垂直）重心P：中线的交点，三等分点（中位线比）中心：正三角形的所有心的合一。四、模长公式：若，，则，（5）夹角公式：。ΔABC中①<=>A为锐角②<=>A为钝角，钝角Δ（6）两点间的距离公式：若，，则，考点讲解或考点讲解考点1：空间直角坐标系例1（多选）．如图，在长方体中，，，，以直线，，分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，则（

）A．点的坐标为，5，B．点关于点对称的点为，8，C．点关于直线对称的点为，5，D．点关于平面对称的点为，5，【方法技巧】利用空间直角坐标系点关于坐标轴对称的特点求解作答.理解对称的含义【变式训练】【变式1】．在空间直角坐标系中，与点关于平面对称的点为（

）A． B． C． D．【变式2】．已知空间点，则点P关于y轴对称的点的坐标为（

）A． B．C． D．【变式3】．点到坐标平面的距离是______.考点2：空间中点的坐标公式例2．已知在空间直角坐标系中，平行四边形ABCD三个顶点的坐标分别为，则顶点D的坐标为（

）A． B． C． D．【方法技巧】1.善用中点坐标公式。2.根据平行四边形对角线的交点为中点可得答案.【变式训练】【变式1】（多选）．已知正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，则（

）A．点的坐标为（2，0，2）B．C．的中点坐标为（1，1，1）D．点关于y轴的对称点为（－2，2，－2）【变式2】．已知、，则线段中点的坐标是______.【变式3】．在空间直角坐标系中，已知，，则的中点P到坐标原点O的距离为______．考点3：空间两点间的距离例3．如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为的正方体，的中点到的中点的距离为_____.【方法技巧】1.建立合适的空间直角坐标系，找到需要点的坐标。2.由空间中两点的距离公式代入即可求出答案.【变式训练】【变式1】．空间点，，，若，则的最小值为_____.【变式2】．已知为轴上一点，且点到点与点的距离相等，则点的坐标为_____.考点4：空间向量的坐标运算例4．若，则=（

）A． B． C． D．【方法技巧】1.空间向量坐标之间的关系2.利用向量线性关系的坐标运【变式训练】【变式1】．已知向量，，则在的方向上的数量投影为（

）A． B． C． D．【变式2】．已知=(3，2，－1)，(2，1，2)，则=___________．【变式3】．已知空间向量，且，则n＝_______，向量与的夹角为_______．考点5：空间向量平行的坐标表示例5．向量，分别是直线，的方向向量，且，，若，则（

）A．， B．，C．， D．，【方法技巧】1.空间向量平行即共线2.根据空间向量平行的坐标运算计算得解.【变式训练】【变式1】．已知向量，，若，则（

）A．1 B． C． D．2【变式2】．已知向量，若，则实数________．【变式3】．已知空间三点，，共线，则________，________．考点6：空间中垂直的坐标表示例6．已知，．(1)求的值；(2)当时，求实数k的值．【方法技巧】1.根据空间向量的坐标线性运算与数量积公式求解即可；2.根据垂直的数量积表示，结合向量的坐标公式求解即可【变式训练】【变式1】．已知向量，且与互相垂直，则k的值为（

）A．－2 B．－ C． D．2【变式2】．已知，若，则m的值为（

）A．3 B． C． D．4考点7：空间向量夹角的余弦表示例7．已知正方体的棱长为，是棱的中点，则与的夹角的余弦值大小为____________.【方法技巧】1.建立合适的空间之间坐标系2.分别求出所需向量的坐标，利用求夹角的公式即可求出【变式训练】【变式1】．已知，，且，则向量与的夹角为（

）A． B． C． D．【变式2】．如图，已知点在正方体的对角线上，．设则的值为_________．【变式3】．已知，，，，为与的夹角，求的余弦值．知识小结知识小结①若，，则，，，，，。②若，，则。巩固提升巩固提升一、单选题1．已知向量，若，则实数x的值为（

）A．7 B．8 C．9 D．102．已知，，，则下列结论正确的是（

）A．， B．，C．， D．以上都不对3．若点，，在同一条直线上，则（

）A．21 B．4 C．4 D．104．平行六面体中，，则点的坐标为（

）A． B． C． D．5．已知，，则（

）A． B． C．0 D．16．已知，，则向量与的夹角为（

）A．90° B．60° C．30° D．0°7．设、，向量，，且，，则（

）A． B． C． D．8．已知，则在上的投影向量为（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知空间向量，，则下列正确的是（

）A． B． C． D．，10．对于非零空间向量，，，现给出下列命题，其中为真命题的是（

）A．若，则，的夹角是钝角B．若，，则C．若，则D．若，，，则，，可以作为空间中的一组基底三、填空题11．已知点,,，则中角的大小是_____．12．已知向量的夹角为钝角，则实数的取值范围为_____。13．已知是直线l的方向向量，是平面a的法向量．若，则_________．14．已知，若，则_________．四、解答题15．已知三棱锥中，平面ABC，，若，，，建立空间直角坐标系.(1)求各顶点的坐标；(2)若点Q是PC的中点，求点Q坐标；(3)若点M在线段PC上移动，写出点M坐标.16．设，，且.记.(1)求与y轴正方向的夹角的余弦值；(2)若，，，向量与、都垂直，且，求的坐标.1.3空间向量及其运算的坐标表示备注：资料包含：1.基础知识归纳；考点分析及解题方法归纳：考点包含：空间直角坐标系；空间中点的坐标公式；空间两点间的距离；空间向量的坐标运算；空间向量平行的坐标表示；空间中垂直的坐标表示；空间向量夹角的余弦表示课堂知识小结考点巩固提升知识归纳一、空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系中，对空间任一点，存在唯一的有序实数组，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作，叫横坐标，叫纵坐标，叫竖坐标。注：①点A（x,y,z）关于x轴的的对称点为(x,-y,-z),关于xoy平面的对称点为(x,y,-z).即点关于什么轴/平面对称，什么坐标不变，其余的分坐标均相反。②在y轴上的点设为(0,y,0),在平面yOz中的点设为(0,y,z)。空间中任一向量=（x,y,z）三、空间向量的直角坐标运算律：①若，，则，，，，，。②若，，则。一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。③定比分点公式：若，，，则点P坐标为。推导：设P（x,y,z）则,显然，当P为AB中点时，④，三角形重心P坐标为⑤ΔABC的五心：内心P：内切圆的圆心，角平分线的交点。（单位向量）外心P：外接圆的圆心，中垂线的交点。垂心P：高的交点：（移项，内积为0，则垂直）重心P：中线的交点，三等分点（中位线比）中心：正三角形的所有心的合一。四、模长公式：若，，则，（5）夹角公式：。ΔABC中①<=>A为锐角②<=>A为钝角，钝角Δ（6）两点间的距离公式：若，，则，考点讲解或考点讲解考点1：空间直角坐标系例1（多选）．如图，在长方体中，，，，以直线，，分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，则（

）A．点的坐标为，5，B．点关于点对称的点为，8，C．点关于直线对称的点为，5，D．点关于平面对称的点为，5，【答案】ACD【详解】对A，由图可得，的坐标为，5，，故A正确；对B，由图，，，设点关于点对称的点为则，解得，故，故B错误；对C，在长方体中，所以四边形为正方形，与垂直且平分，即点关于直线对称的点为，选项C正确；对D，因为平面，故点关于平面对称的点为，即，选项D正确；故选：ACD.【方法技巧】利用空间直角坐标系点关于坐标轴对称的特点求解作答.理解对称的含义【变式训练】【变式1】．在空间直角坐标系中，与点关于平面对称的点为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：因为点，则其关于平面对称的点为.故选：A.【变式2】．已知空间点，则点P关于y轴对称的点的坐标为（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】依题意，点关于y轴对称的点的坐标为.故选：D【变式3】．点到坐标平面的距离是______.【答案】【解析】【分析】根据点的坐标的特点可得出结果.【详解】由已知可得点到坐标平面的距离是.故答案为：.考点2：空间中点的坐标公式例2．已知在空间直角坐标系中，平行四边形ABCD三个顶点的坐标分别为，则顶点D的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】【详解】设，因为与的中点相同，所以，解得，所以.故选：D.【方法技巧】1.善用中点坐标公式。2.根据平行四边形对角线的交点为中点可得答案.【变式训练】【变式1】（多选）．已知正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，则（

）A．点的坐标为（2，0，2）B．C．的中点坐标为（1，1，1）D．点关于y轴的对称点为（－2，2，－2）【答案】BCD【解析】【分析】根据空间直角坐标系，可求点的坐标，由此判断A;求出的坐标，可判断B;利用中点坐标公式求得的中点坐标，可判断C;根据空间点关于坐标轴的对称点的特点可判断D.【详解】根据题意可知点的坐标为，故A错误；由空间直角坐标系可知：,故B正确；由空间直角坐标系可知：,故的中点坐标为（1，1，1），故C正确；点坐标为，关于于y轴的对称点为（－2，2，－2），故D正确，故选：BCD【变式2】．已知、，则线段中点的坐标是______.【答案】##【解析】【分析】利用空间中点坐标公式可求得结果.【详解】已知、，则线段中点的坐标是.故答案为：.【变式3】．在空间直角坐标系中，已知，，则的中点P到坐标原点O的距离为______．【答案】【解析】【分析】先由中点坐标公式求得点P的坐标，再由两点间的距离公式求PO的长即可解决.【详解】由，可得则即点P到坐标原点O的距离为故答案为：考点3：空间两点间的距离例3．如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为的正方体，的中点到的中点的距离为_____.【答案】【详解】在空间直角坐标系中，有一棱长为的正方体，，的中点，，，中点，的中点到的中点的距离为：．故答案为：【方法技巧】1.建立合适的空间直角坐标系，找到需要点的坐标。2.由空间中两点的距离公式代入即可求出答案.【变式训练】【变式1】．空间点，，，若，则的最小值为_____.【答案】2【解析】【分析】在空间中由可得：点在以为球心，半径为1的球面上，点在球外，

所以到球心的距离减去半径即为的最小值.【详解】空间点，，，，是以为球心，为半径的球上的点，，．则点在球外，则的最小值为到球心的距离减去半径.的最小值为：．故答案为：2【变式2】．已知为轴上一点，且点到点与点的距离相等，则点的坐标为_____.【答案】【解析】【分析】设，由空间中两点的距离公式相等建立等式即可求出答案.【详解】为轴上一点，设，点到点与点的距离相等，，解得，点的坐标为．故答案为:.考点4：空间向量的坐标运算例4．若，则=（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】利用向量线性关系的坐标运算求即可.【详解】.故选：D【方法技巧】1.空间向量坐标之间的关系2.利用向量线性关系的坐标运【变式训练】【变式1】．已知向量，，则在的方向上的数量投影为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】直接由数量投影的公式求解即可.【详解】由题意知：在的方向上的数量投影为.故选：C.【变式2】．已知=(3，2，－1)，(2，1，2)，则=___________．【答案】2【解析】【分析】根据空间向量的坐标运算与数量积公式求解即可【详解】因为，故答案为：2【变式3】．已知空间向量，且，则n＝_______，向量与的夹角为_______．【答案】

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##【解析】【分析】根据求得，利用夹角公式求得向量与的夹角.【详解】解：依题意，解得，所以，所以，由于，所以向量与的夹角为.故答案为：；.考点5：空间向量平行的坐标表示例5．向量，分别是直线，的方向向量，且，，若，则（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【详解】因为，所以，所以，，所以，解得，.故选：C.【方法技巧】1.空间向量平行即共线2.根据空间向量平行的坐标运算计算得解.【变式训练】【变式1】．已知向量，，若，则（

）A．1 B． C． D．2【答案】D【解析】【分析】由空间平行向量，先求出的值，再由模长公式求解模长.【详解】由，则，即，有，所以，所以，则故选：D【变式2】．已知向量，若，则实数________．【答案】【解析】【分析】利用列方程，即可求解.【详解】因为向量，且，所以，解得：.故答案为：.【变式3】．已知空间三点，，共线，则________，________．【答案】

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6【解析】【分析】利用向量平行列方程组即可求解.【详解】由已知得：.因为A，B，C三点共线,所以.所以，解得：p=3，q=6.故答案为:3;6考点6：空间中垂直的坐标表示例6．已知，．(1)求的值；(2)当时，求实数k的值．【答案】(1)25(2)或【解析】(1因为，，故，，故(2)，，，因为，故，即，故，即，故或【方法技巧】1.根据空间向量的坐标线性运算与数量积公式求解即可；2.根据垂直的数量积表示，结合向量的坐标公式求解即可【变式训练】【变式1】．已知向量，且与互相垂直，则k的值为（

）A．－2 B．－ C． D．2【答案】A【解析】【分析】由题意，由空间向量的数量积运算可得答案.【详解】由与互相垂直，则，解得故选：A【变式2】．已知，若，则m的值为（

）A．3 B． C． D．4【答案】A【解析】【分析】根据向量垂直时，数量积等于0，列出相应方程，求得答案.【详解】由题意可得，故，则，故选：A考点7：空间向量夹角的余弦表示例7．已知正方体的棱长为，是棱的中点，则与的夹角的余弦值大小为____________.【详解】以为坐标原点，为轴的正方向，为轴的正方向，为轴的正方向建立直角坐标系.因此可得所以，可得，，所以得：【方法技巧】1.建立合适的空间之间坐标系2.分别求出所需向量的坐标，利用求夹角的公式即可求出【变式训练】【变式1】．已知，，且，则向量与的夹角为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根据向量的坐标运算求出，再由夹角公式求解即可.【详解】由，解得，所以，，所以，因为，所以.故选：C【变式2】．如图，已知点在正方体的对角线上，．设则的值为_________．【答案】##【解析】【分析】以为原点建立空间直角坐标系，利用向量关系即可求出.【详解】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为，点在正方体的对角线上，且，，则，，，，，，，，由，解得．故答案为．【变式3】．已知，，，，为与的夹角，求的余弦值．【解析】【分析】根据空间向量的数量积公式及运算律，再利用空间向量的摸长公式，结合空间向量的夹角公式及向量夹角的范围即可求解.【详解】，，∴．∵，，∴，知识小结知识小结①若，，则，，，，，。②若，，则。巩固提升巩固提升一、单选题1．已知向量，若，则实数x的值为（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】D【解析】【分析】解方程即得解.【详解】解：因为，所以.故选：D2．已知，，，则下列结论正确的是（

）A．， B．，C．， D．以上都不对【答案】C【解析】【分析】直接由空间向量平行和垂直的坐标表示求解即可.【详解】由题意知：，，故，.故选：C.3．若点，，在同一条直线上，则（

）A．21 B．4 C．4 D．10【答案】C【解析】【分析】若∥，则．【详解】，∵点，，在同一条直线上∴∥则解得∴故选：C．4．平行六面体中，，则点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】利用空间向量的坐标表示，即得.【详解】设，∵，又，∴，解得，即.故选：B.5．已知，，则（

）A． B． C．0 D．1【答案】B【解析】【分析】利用空间向量的夹角余弦值公式即可求得.【详解】解：，，.故选：B.6．已知，，则向量与的夹角为（

）A．90° B．60° C．30° D．0°【答案】A【解析】【分析】结合空间向量的夹角坐标运算公式以及三角恒等变换化简求出夹角的余弦值，进而可得到结果.【详解】因为，，所以，，设向量与的夹角为，则，因为，所以，故向量与的夹角为，故选：A.7．设、，向量，，且，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】利用空间向量垂直与共线的坐标表示求出、的值，求出向量的坐标，利用空间向量的模长公式可求得结果.【详解】因为，则，解得，则，因为，则，解得，即，所以，，因此，.故选：D.8．已知，则在上的投影向量为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根据题意得，进而根据投影向量的概念求解即可.【详解】因为，所以，所以，所以在上的投影向量为故选：B二、多选题9．已知空间向量，，则下列正确的是（

）A． B． C． D．，【答案】AB【解析】【分析】利用空间向量坐标的加法公式、向量模的坐标公式、向量的数量积公式依次计算各选项即可得出结果.【详解】向量，，，则A正确，，则B正确，，则C错误，，则D错误.故选：AB10．对于非零空间向量，，，现给出下列命题，其中为真命题的是（

）A．若，则，的夹角是钝角B．若，，则C．若，则D．若，，，则，，可以作为空间中的一组基底【答案】BD【解析】【分析】根据空间向量夹角的定义、空间向量数量积的坐标表示公式，结合空间向量数量积的运算性质、空间向量基底的定义逐一判断即可.【详解】A：当，时，显然，因为，所以，的夹角是平角，故本选项命题是假命题；B：因为，所以，因此本选项命题是真命题；C：当，，时，显然，但是，因此本选项命题是假命题；D：假设，，是共面向量，所以有，显然不可能，所以，，不是共面