高二数学考点讲解练(人教A版2019选择性必修第一册)第五章一元函数的导数及其应用基础检测卷-2022-2023学年高二数学考点讲解练(人教A版2019选择性必修第二册)(原卷版+解析)

第五章一元函数的导数及其应用基础检测卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在曲线的图象上取一点及邻近一点，则为（

）A． B．C． D．2．记函数的导函数为．若，则（

）A． B．C． D．3．已知函数的导函数为，且满足，则（

）．A． B． C．1 D．e4．函数在点处的切线方程为（

）A． B． C． D．5．2022年2月，第24届冬季奥林匹克运动会在北京隆重举行，中国代表团获得了9金4银2铜的优异成绩，彰显了我国体育强国的底蕴和综合国力.设某高山滑雪运动员在一次滑雪训练中滑行的路程（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则当时，该运动员的滑雪速度为（

）A． B． C． D．6．已知函数，将函数的图象绕原点逆时针旋转角后得到曲线，若曲线仍是某个函数的图象，则的最大值为（

）A． B． C． D．7．已知是的导函数，的图象如图所示，则的图象只可能是（

）A．B．C．D．8．设函数，若在区间内存在单调递减区间，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得09．下列结论中不正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则10．如图是导函数的图象，则下列说法错误的是（

）A．为函数的单调递增区间B．为函数的单调递减区间C．函数在处取得极大值D．函数在处取得极小值11．下列不等关系中，正确的是（是自然对数的底数）（

）A． B．C． D．12．已如函数，则下列说法正确的是（

）A．的图象关于点中心对称 B．在区间上单调递减C．在上有且仅有2个极小值点 D．的图象关于对称三．填空题本题共4小题，每小题5分，共20分13．某物体的运动的位移（单位：米）与时间（单位：秒）满足函数关系为，则该物体在时刻时的瞬时速度为______（米/秒）．14．若函数在处取极值，则___________15．设函数．若，则a=_________．16．函数的最小值为______.四．解答题：本题共6小题，17题10分，剩下每题12分。共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知函数且.(1)当时，求函数的极值；(2)当时，求函数零点的个数.18．已知函数，且.(1)求的解析式；(2)求曲线在处的切线方程.19．设为函数的导函数，已知，且的图像经过点．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求函数在上的单调区间．20．（1）已知曲线，点是曲线上一点，求曲线在点处的切线方程.（2）已知抛物线，求过点且与抛物线相切的直线方程.21．已知函数．(1)求函数的单调区间；(2)当时，证明：对任意的，．22．已知函数.(1)若，求的极值；(2)若在上有且仅有一个零点，求实数a的取值范围.第五章一元函数的导数及其应用基础检测卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在曲线的图象上取一点及邻近一点，则为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据平均变化率，代入计算．【详解】∵故选：C．2．记函数的导函数为．若，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用导数的运算法则求出，即可得解.【详解】因为，则.故选：B.3．已知函数的导函数为，且满足，则（

）．A． B． C．1 D．e【答案】B【分析】求导后，将代入导函数，求出.【详解】，将代入得：，解得：.故选：B4．函数在点处的切线方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用导数的几何意义求切线斜率，并确定切点坐标，点斜式写出切线方程.【详解】由题设，，则，而，故在处的切线方程为，则.故选：A5．2022年2月，第24届冬季奥林匹克运动会在北京隆重举行，中国代表团获得了9金4银2铜的优异成绩，彰显了我国体育强国的底蕴和综合国力.设某高山滑雪运动员在一次滑雪训练中滑行的路程（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则当时，该运动员的滑雪速度为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据导数的实际意义，对求导再代入求解即可.【详解】由题意，，故当时，该运动员的滑雪速度为.故选：B6．已知函数，将函数的图象绕原点逆时针旋转角后得到曲线，若曲线仍是某个函数的图象，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用导数求出函数在原点的切线的斜率，即可求出其倾斜角，再结合函数图象及函数的定义判断即可.【详解】解：因为，所以，则．即函数在原点的切线的斜率，所以．由图可知：当函数图象绕坐标原点逆时针方向旋转时，旋转的角大于时，旋转所得的图象与轴就会存在两个交点，此时曲线不是函数的图象，故的最大值是．故选：B．7．已知是的导函数，的图象如图所示，则的图象只可能是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】由导数的几何意义可知，原函数先增长“迅速”，后增长“缓慢”.【详解】由题中的图象可以看出，在内，，且在内，单调递增，在内，单调递减，所以函数在内单调递增，且其图象在内越来越陡峭，在内越来越平缓．故选：D．8．设函数，若在区间内存在单调递减区间，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据函数单调性与导数的关系可知，在内存在解，即可解出．【详解】由题可知，在内存在解，因为，所以在内存在解，等价于在内存在解，易知函数在上递增，在上递减，所以，当且仅当时取得，所以．故选：D．选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得09．下列结论中不正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】ABD【分析】根据导数运算法则逐一验证即可【详解】A：，A错误B：，B错误C：，C正确D：，D错误故选：ABD10．如图是导函数的图象，则下列说法错误的是（

）A．为函数的单调递增区间B．为函数的单调递减区间C．函数在处取得极大值D．函数在处取得极小值【答案】BC【分析】根据导函数函数值的正负与函数单调性的关系，以及函数极值点的定义，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】由图可知，当时，，故单调递减；当，，故单调递增；当，，故单调递减；当，，故单调递增，且，，，则该函数在和处取得极小值；在处取得极大值.故选：BC11．下列不等关系中，正确的是（是自然对数的底数）（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】构造函数，利用该函数单调性可一一判断四个选项的正误.【详解】设，，，，，，所以在单调递增，在单调递减.对于A项，，由在单调递减，可得，故A项正确；对于B项，，由在单调递减，可得，故B项正确；对于C项，，由在单调递减，可得，故C项错误；对于D项，，由在单调递减，可得，故D项正确.故选:ABD.12．已如函数，则下列说法正确的是（

）A．的图象关于点中心对称 B．在区间上单调递减C．在上有且仅有2个极小值点 D．的图象关于对称【答案】AD【分析】先利用三角函数恒等变换得到，代入验证是否为对称中心，是否为对称轴，上是否单调递减，判断出ABD选项；求出，从而根据极小值点的概念得到在上有且仅有1个极小值点，判断C选项.【详解】，当时，，故的图象关于点中心对称，A正确；当，则，则在上不单调，B错误；，，则只有在处取得极小值，故在上有且仅有1个极小值点，C错误；当时，，所以的图象关于对称，D正确.故选：AD三．填空题本题共4小题，每小题5分，共20分13．某物体的运动的位移（单位：米）与时间（单位：秒）满足函数关系为，则该物体在时刻时的瞬时速度为______（米/秒）．【答案】【分析】利用导数求瞬时速度.【详解】由，得，当时，，故答案为：.14．若函数在处取极值，则___________【答案】3【详解】试题分析：=．因为f（x）在1处取极值，所以1是f′（x）=0的根，将x=1代入得a=3．故答案为3.考点：利用导数研究函数的极值．15．设函数．若，则a=_________．【答案】1【分析】由题意首先求得导函数的解析式，然后得到关于实数a的方程，解方程即可确定实数a的值【详解】由函数的解析式可得：，则：，据此可得：，整理可得：，解得：.故答案为：.【点睛】本题主要考查导数的运算法则，导数的计算，方程的数学思想等知识，属于中等题.16．函数的最小值为______.【答案】1【分析】由解析式知定义域为，讨论、、，并结合导数研究的单调性，即可求最小值.【详解】由题设知：定义域为，∴当时，，此时单调递减；当时，，有，此时单调递减；当时，，有，此时单调递增；又在各分段的界点处连续，∴综上有：时，单调递减，时，单调递增；∴故答案为：1.四．解答题：本题共6小题，17题10分，剩下每题12分。共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知函数且.(1)当时，求函数的极值；(2)当时，求函数零点的个数.【答案】(1)有极小值，无极大值(2)零点个数为1【分析】（1）求出导函数，求出极值点，判断导函数的符号，然后求解函数的极值；（2）利用函数的导数，通过对参数分类讨论分析其单调性即可知函数的零点个数.（1）解：由题意得：，令，得或（舍去），当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；所以函数有极小值，无极大值.（2）由（1）得.因为，①若，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；所以有极大值，极小值，又，所以函数有1个零点.②若，则，所以函数单调递增，此时，所以函数有1个零点.③若，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；所以有极大值，显然极小值，又，所以函数有1个零点.综上所述，当时，函数的零点个数为1.18．已知函数，且.(1)求的解析式；(2)求曲线在处的切线方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）先求导数，根据可求，进而可得答案；（2）先求导数得到切线斜率，再求出切点，利用点斜式可求切线方程.（1）因为，且，所以，解得，所以函数的解析式为.（2）由（1）可知，；又，所以曲线在处的切线方程为，即.19．设为函数的导函数，已知，且的图像经过点．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求函数在上的单调区间．【答案】(1)(2)单调递增区间为和；单调递减区间为【分析】(1)求导，计算得到切线斜率，点斜式求切线方程.(2)求出函数解析式，求导函数，由导函数的正负解得原函数的单调区间.（1），则，得．由题意，可得曲线在点处的切线方程为，即．（2）由已知得．又由（1）知，所以．故．，由，得，或；由，得．故在上的单调递增区间为和；单调递减区间为．20．（1）已知曲线，点是曲线上一点，求曲线在点处的切线方程.（2）已知抛物线，求过点且与抛物线相切的直线方程.【答案】（1）；（2）或【分析】根据导数的几何意义即得.【详解】（1）由可得，所以在点处的切线的斜率为，切线方程为，即；（2）设切线的斜率为，直线与抛物线相切的切点坐标为，则直线方程为，因为，所以，又点在切线上，所以，解得或，则或，所以直线方程为或，即或.21．已知函数．(1)求函数的单调区间；(2)当时，证明：对任意的，．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）利用导数求单调区间；（2）将不等式等价转化为，利用导数讨论最值即可求解.（1）由题可知函数的定义域为，，即，(i)若，则在定义域上恒成立，此时函数在上单调递增；(ii)若，令，即，解得,令，即，解得,所以在上单调递减，上单调递增.综上，时，在上单调递增；时，在上单调递减，上单调递增.（2）当时，，要证明，只用证明，令，，令，即，可得方程有唯一解设为，且，所以，当变化时，与的变化情况如下，单调递减单调递增所以，因为，因为，所以不取等号，即，即恒成立，所以，恒成立，得证.2