高二数学考点讲解练（人教A版2019选择性必修第一册）1.3 空间向量及其运算的坐标表示(附答案)

1.3空间向量及其运算的坐标表示【考点梳理】考点一空间直角坐标系1．空间直角坐标系及相关概念(1)空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(i，j，k))，以O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz.(2)相关概念：O叫做原点，i，j，k都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它们把空间分成八个部分．2．右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．考点二空间一点的坐标在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量eq\o(OA,\s\up6(→))，且点A的位置由向量eq\o(OA,\s\up6(→))唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使eq\o(OA,\s\up6(→))＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底{i，j，k}下与向量eq\o(OA,\s\up6(→))对应的有序实数组(x，y，z)叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标．考点三空间向量的坐标在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)．考点四空间向量的坐标运算设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有向量运算向量表示坐标表示加法a＋ba＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)减法a－ba－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)数乘λaλa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R数量积a·ba·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3考点五空间向量的平行、垂直及模、夹角设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则有当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))；cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3))).考点六空间两点间的距离公式设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，则P1P2＝|eq\o(P1P2,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12＋z2－z12).【题型归纳】题型一：空间向量的正交分解问题1．（2021·全国·高二期中）已知向量是空间向量的一组基底，向量，，是空间向量的另外一组基底，若一向量在基底下的坐标为，，，则向量在基底，，下的坐标为（

）A．，， B．，， C．，， D．，，2．（2021·山东枣庄·高二期中）已知，，，若，，共面，则z的值是（

）A． B．5 C． D．93．（2022·山西·临汾第一中学校高二期末）已知向量，则与共线的一个单位向量（

）A． B． C． D．题型二：空间向量的坐标运算问题4．（2022·内蒙古乌兰察布·高二期末（理））已知向量，则（

）A． B． C． D．5．（2022·江西南昌·高二期中（理））已知空间向量，，，则（

）A． B． C． D．6．（2022·广东·普宁市华侨中学高二阶段练习）在棱长为2的正方体中，是棱上一动点，点是面的中心，则的值为（

）A．4 B． C．2 D．不确定题型三：空间向量的模长的坐标问题7．（2022·四川省蒲江县蒲江中学高二（理））设、，向量，，且，，则（

）A． B． C． D．8．（2022·甘肃·永昌县第一高级中学高二（理））若向量，，则（

）A． B． C． D．9．（2021·全国·高二）已知向量，，若与夹角为，则的值为（

）A． B． C．－1 D．1题型四：空间向量的平行的坐标表示问题10．（2022·江苏徐州·高二期中）已知向量，，若，则实数的值为（

）A．2 B．4 C． D．11．（2022·安徽滁州·高二期中）已知，，若，则m的值为（

）A．－2 B．2 C． D．12．（2022·江西·南昌十中高二期中（理））设，向量，且，则（

）A．1 B．2 C．3 D．4题型五：空间向量的垂直的坐标表示问题13．（2022·江苏·滨海县五汛中学高二期中）已知向量，，，且向量与互相垂直，则的值是（

）A．1 B． C． D．014．（2022·全国·高二课时练习）若空间两直线与的方向向量分别为和，则两直线与垂直的充要条件为（

）A．，，（） B．存在实数k，使得C． D．15．（2022·江苏省江浦高级中学高二期中）在空间直角坐标系中，，，，若，则实数的值为（

）A．3 B． C． D．题型六：空间向量的夹角余弦的坐标问题16．（2022·全国·高二）边长为的正方形沿对角线折成直二面角，、分别为、的中点，是正方形的中心，则的大小为（

）A． B． C． D．17．（2021·重庆市实验中学）空间三点，，，则（

）A．与是共线向量 B．的单位向量是C．平面的一个法向量是 D．与夹角的余弦值18．（2021·广东·高二期中）已知向量，的夹角为钝角，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．题型七：空间直线的方向向量问题19．（2022·吉林·农安县教师进修学校高二期末）若，在直线l上，则直线l的一个方向向量为（

）A． B． C． D．20．（2022·全国·高二）已知直线的方向向量，直线的方向向量，且，则的值是（

）A． B．6 C．14 D．21．（2020·广东·中山市华侨中学高二期末）两直线和的夹角的余弦是（

）A． B． C． D．题型八：空间向量的坐标运算的综合问题22．（2022·江苏·滨海县五汛中学高二期中）已知点，，，设，．(1)求，夹角的余弦值．(2)若向量，垂直，求的值．(3)若向量，平行，求的值．23．（2022·福建龙岩·高二期中）已知向量，，点，.(1)求；(2)若直线AB上存在一点E，使得，其中O为原点，求E点的坐标.24．（2021·广东外语外贸大学实验中学高二期中）已知空间三点，设．(1)若，求；(2)求夹角的余弦值；(3)若与的夹角是钝角，求k的取值范围．【双基达标】一、单选题25．（2022·湖北·丹江口市二中高二期末）已知，，，则下列结论正确的是（

）．A．， B．，C．， D．以上都不对26．（2022·江苏徐州·高二期末）已知向量，，若，则（

）A．1 B． C． D．227．（2022·湖北·宜昌市夷陵中学高二阶段练习）下列四个结论正确的是（

）A．任意向量，若，则或B．若空间中点O，A，B，C满足，则A，B，C三点共线C．空间中任意向量都满足D．已知向量，若，则为钝角28．（2022·江苏·泰州中学高二期中）若点，，在同一条直线上，则（

）A．21 B．4 C．4 D．1029．（2022·河南焦作·高二期末（理））已知向量，，且，则的值为（

）A． B． C．或 D．或30．（2022·江西抚州·高二期末（理））在空间直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为（

）A． B． C． D．31．（2022·江苏宿迁·高二期中）已知.(1)求；(2)求与夹角的余弦值；(3)当时，求实数的值.32．（2022·江苏无锡·高二期末）定义：设是空间的一个基底，若向量，则称有序实数组为向量在基底下的坐标．已知是空间的单位正交基底，是空间的另一个基底，若向量在基底下的坐标为．(1)求向量在基底下的坐标；(2)求向量在基底下的模．【高分突破】一：单选题33．（2022·广东惠州·高二期末）已知，，则在上的投影向量为（

）A．1 B． C． D．34．（2022·安徽宿州·高二期末）如图，在直三棱柱中，，，D为AB的中点，点E在线段上，点F在线段上，则线段EF长的最小值为（

）A． B． C．1 D．35．（2022·湖南怀化·高二期末）若向量则（

）A． B．3 C． D．36．（2022·安徽省临泉第一中学高二期末）在平行六面体中，，，，，，则的长为（

）A． B． C． D．37．（2021·山东·临沭县教育和体育局高二期中）若向量，且与的夹角余弦值为，则实数等于（

）A．0 B．－ C．0或－ D．0或38．（2021·安徽省涡阳第一中学高二阶段练习）如图，在三棱锥中，为等边三角形，为等腰直角三角形，，平面平面，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．二、多选题39．（2022·江苏宿迁·高二期中）已知正方体的棱长为1，分别在上，并满足，设，设的重心为G，下列说法正确的是（

）A．向量可以构成一组基底B．当时，C．当时，在平面上的投影向量的模长为D．对任意实数，总有40．（2022·福建龙岩·高二期中）对于非零空间向量，，，现给出下列命题，其中为真命题的是（

）A．若，则，的夹角是钝角B．若，，则C．若，则D．若，，，则，，可以作为空间中的一组基底41．（2022·福建三明·高二期末）已知正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，则（

）A．点的坐标为（2，0，2） B．C．的中点坐标为（1，1，1） D．点关于y轴的对称点为（－2，2，－2）42．（2022·江苏·沛县教师发展中心高二阶段练习）下列关于空间向量的命题中，正确的有（

）A．若非零向量，，满足，，则有B．若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则C．空间向量，夹角的余弦值为D．已知，，若与垂直，则43．（2022·福建省华安县第一中学高二阶段练习）已知空间向量，，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．与夹角的余弦值为44．（2021·浙江台州·高二期末）下列说法正确的是（

）A．若G是四面体OABC的底面三角形ABC的重心，则B．在四面体OABC中，若，则A，B，C，G四点共面C．已知平行六面体的棱长均为1，且，则对角线的长为D．若向量，则称（m，n，k）为在基底下的坐标．已知向量在单位正交基底下的坐标为（1，2，3），则在基底下的坐标为45．（2022·全国·高二期末）关于空间向量，以下说法正确的是（

）A．已知三棱锥，点为平面上的一点，且，则B．已知向量，不共线，若，，则，，共面C．已知向量，则存在向量可以与，构成空间的一个基底D．已知空间两点，，若向量，且，则三、填空题46．（2022·江苏连云港·高二期末）已知=(3，2，－1)，(2，1，2)，则=___________．47．（2022·江苏·涟水县第一中学高二阶段练习）已知空间三点A(1，-1，-1)，B(-1，-2，2)，C(2，1，1)，则在上的投影向量的模是______.48．（2022·全国·高二单元测试）已知，，．若、、三向量共面，则实数______．49．（2022·江苏宿迁·高二期中）设空间向量是一组单位正交基底，若空间向量满足对任意的的最小值是2，则的最小值是_________．50．（2022·全国·高二单元测试）若空间两个单位向量、与的夹角都等于，则______．51．（2022·广东汕尾·高二期末）在空间直角坐标系中，向量为平面ABC的一个法向量，其中，，则向量的坐标为______．52．（2022·湖北·武汉市第十九中学高二期末）已知、是空间内两个单位向量，且，如果空间向量满足，且，，则对于任意的实数、，的最小值为______．四、解答题53．（2022·福建龙岩·高二期中）已知空间中三点，，．(1)若，，三点共线，求的值；(2)若，的夹角是钝角，求的取值范围．54．（2021·重庆市南华中学校高二）已知空间向量，,．(1)若，求；(2)若，求的值．55．（2021·重庆市求精中学校高二）已知空间的一个基底为，且，，且的横坐标为正数(1)求的坐标(2)若向量，且，求的值56．（2021·山东省潍坊第四中学高二）如图，已知直三棱柱ABC－A1B1C1，在底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别是A1B1，A1A的中点．（1）求的模；（2）求cos〈，〉的值；（3）求证：A1B⊥C1M.57．（2021·河北保定·高二期中）已知，.(1)求；(2)求､的值使得与z轴垂直，且.【答案详解】1．A【详解】解：因为向量在基底下的坐标为，，，则，设向量在基底，，下的坐标为，，，则，所以，解得，所以向量在基底，，下的坐标为．故选：．2．D【详解】解：∵，，，，，共面，∴，即，∴，解得．故选：D.3．B【详解】设，由已知可得，解得.因此，或.故选：B.4．B【详解】故选：B.5．A【详解】由题意，空间向量，，，可得，则.故选：A.6．A【详解】如图，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，因为正方体棱长为2，点是面的中心，是棱上一动点，所以，，，故选：A7．D【详解】因为，则，解得，则，因为，则，解得，即，所以，，因此，.故选：D.8．C【详解】由已知可得，故．故选：C.9．A【详解】解：因为，，且与夹角为，则，，所以，可知，解得：.故选：A.10．C【详解】因为向量，，且，所以，解得：.故选：C11．C【解析】【分析】根据向量共线的性质即可求解.【详解】因为，所以，解得，故选：C.12．A【解析】【分析】根据向量平行和垂直的坐标表示求出y和x即可．【详解】，∥，∴.故选：A.13．B【详解】，因为向量与互相垂直，故，故，故选：B14．C【解析】【分析】由空间直线垂直时方向向量，即可确定充要条件.【详解】由空间直线垂直的判定知：.当时，即，两直线与垂直.而A、B、D说明与平行.故选：C15．A【解析】【分析】由空间向量垂直的坐标表示计算．【详解】由题意，，，，因为，所以，．故选：A．16．B【详解】由题意可得平面，，则两两垂直以O为原点，分别以OB、OA、OC所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系则，，，，又，则故选：B17．C【详解】解：空间中三点，，，所以，，，对于A：，与不是共线向量，故A错误；对于B，，的单位向量是，故B错误；对于C，，，设平面的一个法向量为，则，取，得，故C正确．对于D，，，与夹角的余弦值是：，故D错误；故选：C．18．B【详解】解：因为向量，的夹角为钝角，所以，且不共线，则，得，当时，，∴的取值范围为.故选：B.19．C【详解】因为，在直线l上，所以直线l的一个方向向量为.故选：C.20．A【详解】∵，∴，∴，∴，，∴.故选：A．21．B【详解】由题意两直线的方向向量分别为，，，∵两直线夹角为锐角或直角，∴所求余弦值为．故选：B．22．(1)(2)或.(3)【解析】(1)，，故.(2)由（1）可得，，因为向量，垂直，故，整理得到：，故或.(3)由（1）可得不共线，故，均不为零向量，若向量，平行，则存在非零常数，使得，整理得到：，因为不共线，故，故或，故.23．(1)5(2)【解析】(1)解：因为，，所以，所以；(2)解：设，由，，得，则，故，因为，所以，即，解得，所以，设，则，所以，解得，所以.24．(1)或；(2)(3)【解析】(1)设，则，则，因为，则，即，所以，解得，则或；(2)由于，则，所以；(3)设与的夹角为，则为钝角，所以且，即且，又，，，所以，解得且即k的取值范围为25．C【解析】【分析】利用空间向量的坐标运算法则即可求解.【详解】因为，所以；因为，所以，故选：C.26．D【解析】【分析】由空间平行向量，先求出的值，再由模长公式求解模长.【详解】由，则，即，有，所以，所以，则故选：D27．B【解析】【分析】A选项，也可以是，；B选项，利用向量线性运算得到，从而得到三点共线；C选项可以举出反例；D选项，求出为钝角时的取值范围，从而得到答案.【详解】则或或，，故A错误；若空间中点O，A，B，C满足，即，所以，化简得：，则A，B，C三点共线，B正确；设。则不满足，C错误；，则，令得：，当时，，此时反向，要想为钝角，则且，故D错误.故选：B28．C【解析】【分析】若∥，则．【详解】，∵点，，在同一条直线上∴∥则解得∴故选：C．29．C【解析】【分析】根据空间向量平行的性质得，代入数值解方程组即可.【详解】因为，所以，所以，所以，解得或.故选：C.30．C【解析】【分析】根据点关于原点对称的性质即可知答案.【详解】由点关于原点对称，则对称点坐标为该点对应坐标的相反数，所以.故选：C31．(1)-10(2)(3)或【解析】【分析】（1）根据空间向量的坐标运算律,即可求解.（2）根据空间向量的夹角公式,代入求解.（3）由,转化为数量积为0即可.(1)；(2)；(3)当时，，得，，或.32．(1)(2)【解析】【分析】（1）根据向量在基底下的坐标为，得出向量在基底下的坐标；（2）根据向量在基底下的坐标直接计算模即可．(1)因为向量在基底下的坐标为，则，所以向量在基底下的坐标为.(2)因为向量在基底下的坐标为，所以向量在基底下的模为.33．C【解析】【分析】根据题意得，进而根据投影向量的概念求解即可.【详解】解：因为，，所以，所以，所以在上的投影向量为故选：C34．B【解析】【分析】根据给定条件建立空间直角坐标系，令，用表示出点E，F坐标，再由两点间距离公式计算作答.【详解】依题意，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，设，则，设，有，线段EF长最短，必满足，则有，解得，即，因此，，当且仅当时取“=”，所以线段EF长的最小值为.故选：B35．D【解析】【分析】先求得，然后根据空间向量模的坐标运算求得【详解】由于向量，，所以.故故选：D36．C【解析】【分析】利用空间向量基本定理用表示出，然后对等式两边平方化简结合已知条件可求得结果【详解】因为，，，，，所以，所以.故选：C.37．C【解析】【分析】由空间向量夹角余弦的坐标表示直接计算可得.【详解】由题知，即，解得或.故选：C38．B【解析】【分析】取的中点，连接，根据等腰三角形的性质以及面面垂直的性质证明两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出各点坐标以及和的坐标，由空间向量夹角公式计算即可求解.【详解】取的中点，连接，因为，所以又因为平面平面，平面平面，面，所以平面，又因为，，可得两两垂直，所以以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，因为是等腰直角三角形，，为等边三角形，可得，，，，所以，，所以，设异面直线与所成角为，则所以异面直线与所成角的余弦值为，故选：B.39．AD【解析】【分析】根据基底向量的要求不共体可以判断A正确，B、C、D通过建立空间直角坐标系结合空间向量的坐标运算进行运算判断正误．【详解】，显然不共面，∴向量可以构成一组基底，A正确；如图建立空间直角坐标系，则，当时，，则,∴，Ｂ不正确；,当时，,在平面上的投影向量为，，Ｃ不正确；对任意实数，，则，，,，D正确．故选：AD．40．BD【解析】【分析】根据空间向量夹角的定义、空间向量数量积的坐标表示公式，结合空间向量数量积的运算性质、空间向量基底的定义逐一判断即可.【详解】A：当，时，显然，因为，所以，的夹角是平角，故本选项命题是假命题；B：因为，所以，因此本选项命题是真命题；C：当，，时，显然，但是，因此本选项命题是假命题；D：假设，，是共面向量，所以有，显然不可能，所以，，不是共面向量，因此，，可以作为空间中的一组基底，所以本选项命题是真命题，故选：BD41．BCD【解析】【分析】根据空间直角坐标系，可求点的坐标，由此判断A;求出的坐标，可判断B;利用中点坐标公式求得的中点坐标，可判断C;根据空间点关于坐标轴的对称点的特点可判断D.【详解】根据题意可知点的坐标为，故A错误；由空间直角坐标系可知：,故B正确；由空间直角坐标系可知：,故的中点坐标为（1，1，1），故C正确；点坐标为，关于于y轴的对称点为（－2，2，－2），故D正确，故选：BCD42．BCD【解析】【分析】对于A：与的位置关系不确定，根据空间向量基本定理判断B，根据空间向量夹角的坐标运算判断C，求出与的坐标，再根据得到方程，解得即可；【详解】解：对于A，若非零向量满足，则与的位置关系不确定，也有可能平行，故A错误；对于B，若向量与空间任意向量都不能构成基底，则只能两个向量是共线向量，故，故B正确；对于C：因为，，所以，，，设与的夹角为，则，故C正确；对于D：因为，，所以，，因为与垂直，所以，即，解得，故D正确；故选：BCD43．BCD【解析】【分析】由空间向量平行的性质及空间向量模长，数量积，夹角的坐标运算进行判断即可.【详解】对于A选项：，不存在，使得，故A错误；对于B选项：，，故B正确；对于C选项：，，则，故C正确；对于D选项：，，所以，故D正确；故选：BCD.44．ACD【解析】【分析】A令，，，，由G是底面三角形ABC的重心，利用向量的坐标表示即可判断；B根据空间向量共面的结论即可判断；C由，应用向量的运算律求的模即可；D用基底及对应坐标表示出向量即可判断.【详解】A：令，，，，又G是底面三角形ABC的重心，∴，，，，，∴成立，正确；B：由，而，故A，B，C，G四点不共面，错误；C：如下图，，∴，又且棱长为1，∴，则，正确；D：在基底下坐标为，则，故在基底下坐标为（1，2，3），正确.故选：ACD.45．AB【解析】【分析】对于A.由向量共面的判定方法直接判断；对于B.由向量共面的判定方法直接判断；对于C.按照基底的定义直接判断；对于D.计算出，即可判断.【详解】对于A.根据向量共面的判定方法，只需，解得：.故A正确；对于B.因为已知向量，不共线，且，，，所以，所以，，共面.故B正确；对于C.按照基底的定义，不共面的三个向量才能作为基底，因为，所以不存在向量可以与，构成空间的一个基底.故C错误；对于D.因为空间两点，，所以又向量，且，所以.故D错误故选：AB46．2【解析】【分析】根据空间向量的坐标运算与数量积公式求解即可【详解】因为，故答案为：247．【解析】【分析】先求得，再根据投影向量的模的公式求解即可【详解】由题，，故在上的投影向量的模故答案为：48．【解析】【分析】由题意可得，存在实数x，y，使，列出方程组，即可求得答案.【详解】因为不平行，且、、三向量共面，所以存在实数x，y，使，所以，解得，故答案为：49．【解析】【分析】以方向为轴，垂直于方向为轴建立空间直角坐标系，根据条件求得坐标，由的表达式即可求得最小值.【详解】以方向为轴建立空间直角坐标系，则，，设则，当时的最小值是，取则又因为是任意值，所以的最小值是.取则又因为是任意值，所以的最小值是.故