高中数学必修3 3 模拟方法- 概率的应用

§3模拟方法—概率的应用

学习目标1.了解几何概型的定义及其特点（重点）2会用几何概型的概率计算公

式求几何概型的概率（重点）.3.会用模拟方法估计某些随机事件的概率和不规则

图形的面积（重、难点）.

I保前覆习自主学习，积淀基础

预习教材P150—153完成下列问题：

知识点1几何概型的含义

1.几何概型的定义

向平面上有限区域（集合）G内随机地投掷点M，若点M落在子区域Gi建G的概

率与G,的面积成正比，而与G的形状位置无关，即P（点M落在Gi）=霜黯，

则称这种模型为几何概型.

2.几何概型的特点

（1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个.

（2）每个基本事件出现的可能性相等.

【预习评价】

几何概型与古典概型有何区别？

提示几何概型与古典概型的异同点

类型

古典概型几何概型

异同

不同点（基本事件一次试验的所有可能出现的一次试验的所有可能出现的

的个数）结果（基本事件）有有限个结果（基本事件）有无限多个

相同点（基本事件

每一个试验结果（即基本事件）发生的可能性大小相等

发生的等可能性）

知识点2几何概型的概率公式

构成事件A的区域长度（面积或体积）

1/（8一试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）.

2.模拟方法的本质是产生大量指定范围内的随机数来代替反复实验，以频率估计

概率.

模双遣可以来估计某些随机事件发生的概率.

【预习评价】(正确的打J,错误的打X)

(1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零()

(2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，

该区域中的每一点被取到的机会相等()

⑶在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形()

(4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率()

(5)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关()

(6)从区间［1,10］内任取一个数，取到1的概率是尸=!()

答案⑴J(2)V(3)V(4)V(5)X(6)X

I课堂互办题型剖析，互动探究

题型一与长度有关的几何概型

【例1】取一根长为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长

都不小于1m的概率有多大？

解如图，记“剪得两段的长都不小于1m”为事件4

I*-1-HH

H----------3---------H

把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段时，事件A发生，因为中间一段

的长度为1m,所以事件4发生的概率为P(A)=；.

规律方法在求解与长度有关的几何概型时，首先找到试验的全部结果构成的区

域。，这时区域。可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件A发生

对应的区域“，在找区域d的过程中，确定边界点是问题的关键，但边界点是否

取到却不影响事件A的概率.

【训练11平面上画了一组彼此平行且相距2a的平行线.把一枚半径r<a的

硬币任意投掷在平行线之间，求硬币不与任一条平行线相碰的概率.

解设“硬币不与任一条平行线相碰”为事件A

如图，在两条相邻平行线间画出与平行线间距为「的两条平行虚…甘-----

线，则当硬币中心落在两条虚线间时，与平行线不相碰.二土V

,,虚线间距离2a—2ra-r

故"A)=平行线间距离=不-=丁-

题型二与面积有关的几何概型

【例2】如图，射箭比赛的箭靶中有五个涂有不同颜色的—

圆环，从外向内分别为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金

色，金色靶心叫“黄心”.奥运会的比赛靶面直径为122cm，U|^Wf/l22Cm

靶心直径为12.2cm，运动员在一定距离外射箭，假设每箭——

都能中靶，且射中靶面内任意一点是等可能的，那么射中黄心的概率为多少？

解记''射中黄心”为事件8

因为中靶点随机地落在面积为兀X1222)cm2的大圆内，而当中靶点落在面积

为&X兀X12.22)cm2的黄心内时，事件B发生，

1,

■^XnX12.22

所以事件B发生的概率---------=0.01.

4XTTX1222

规律方法解此类几何概型问题的关键：

(1)根据题意确定是不是与面积有关的几何概型问题.

(2)找出或构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征计算相关面积,

套用公式从而求得随机事件的概率.

【训练2】一只海豚在水池中自由游弋，水池为长30m，宽20m的长方形，

求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2m的概率.

解如图所示，区域。是长30m、宽20m的长方形.30m

图中阴影部分表示事件A：“海豚嘴尖离岸边不超过2m”，20

问题可以理解为求海豚嘴尖出现在图中阴影部分的概率.

由于区域Q的面积为30X20=600(m2),阴影部分的面积为30X20-26X16=

184(m2).

184

所以P(A)=600=%二0.31.

即海豚嘴尖离岸边不超过2m的概率约为0.31.

题型三与体积有关的几何概型

【例3】已知正三棱锥S—ABC的底面边长为a，高为/?，在正三棱锥内取点M，

试求点M到底面的距离小于3的概率.

解如图，分别在SA,SB,SC上取点Ai,BI,CI,使4,B\,G分别为SA,

SB,SC的中点，则当点“位于平面ABC和平面AIBIG之间时，点M到底面的

h

距离小于会

设△ABC的面积为S,由△ABCSAAICI,且相似比为2,得△48C1的面积

为不

由题意，知区域。（三棱锥S—ABC）的体积为gs/7,

区域4（三棱台ABC—4BG）的体积为

1,1Sh1,7

科一打厂那后

h7

所以点M到底面的距离小于5Z的概率P=o.

规律方法如果试验的全部结果所构成的区域可用体积来度量，我们要结合问题

的背景，选择好观察角度，准确找出基本事件所占的区域体积及事件A所占的

区域体积.其概率的计算公式为

构成事件A的区域体积

P（A）=试验的全部结果构成的区域体积.

【训练31一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过

程中始终保持与正方体6个面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，求蜜蜂“安

全飞行”的概率.

解依题意，在棱长为3的正方体内任意取一点，这个点到各面的距离均大于

1.则满足题意的点区域为：位于该正方体中心的一个棱长为1的小正方体.由几何

I31

概型的概率公式，可得满足题意的概率为尸=亨=后.

题型四模拟方法的应用

【例4】利用随机模拟方法计算由y=l和所围成的图形的面积.

解以直线x=l,x=—1,y=0,y=\为边界作矩形，

(1)利用计算器或计算机产生两组o〜1区间的均匀随机数，0=L|/

RAND,O=RAND；燹—

-101

(2)进行平移和伸缩变换，a=2(ai-0.5)；

(3)数出落在阴影内的样本点数Ni,用几何概型公式计算阴影部分的面积.

例如做1000次试验，即N=1000,模拟得到M=698,所以「=*=霹黑=

698

1000'

即阴影面积5=矩形面积X罂=2X普=1.396.

规律方法解决本题的关键是利用随机模拟法和几何概率公式分别求得几何概

率，然后通过解方程求得阴影部分面积的近似值，解决此类问题时注意两点：-

是选取合适的对应图形；二是由几何概型正确计算概率.

【训练4】在右图的正方形中随机撒一把豆子，计算落在圆中的豆

子数与落在正方形中的豆子数之比并以此估计圆周率的值.

解随机撒一把豆子，每个豆子落在正方形内任何一点是等可能的，

落在每个区域的豆子数与这个区域的面积近似成正比，即正言积

一落在圆中的豆子数

“落在正方形中的豆子数.

圆的面积7171

设正方形的边长为2,则圆半径为1,则正算藕积=贵寸由于落在每个

落在圆中的豆子数

区域的豆子数是可能数出来的，所以兀〜X4.所以就得到

落在正方形中的豆子数

了兀的近似值.

典例

题型五与角度有关的几何概型

迁移

［例5］如图所示,在△ABC中,ZB=60°，ZC=45°＞高AD

RMI)C

=S，在NBAC内作射线AM交BC于点M，求BM<\的概率.

解因为NB=60。，ZC=45°,所以NBAC=75。.

在中，AD=/,ZB=60°,

A。

所以ZBAD=3Q°.

记事件N为“在N8AC内作射线AM交BC于点M,使BM<1"，则可得NB4M

VNBAD时事件N发生.

3002

由几何概型的概率公式，得：尸（"）=百=亍

【迁移1】（变换条件）若本例中“在NB4C内作射线AM交3C于点改

为“在线段上找一点，求BM<\的概率.

解依题意知8。=8。+。。=1+小，

1V§­]

产即1）=可=『

【迁移2】（变条件，变问法）如图，在等腰直角三角形ABCc

中，过直角顶点。在NAC3内部作一条射线CM，与线段A3

交于点M.求AM<AC的概率.AM-B

解因为CM是NAC3内部的任意一条射线，而总的基本事件是NACB的大小，

即为90°,

180°—45°c

所以作AC'=AC,且/ACC=-----2-----=67.5°.

如图，当CM在NACC'内部的任意一个位置时，皆有AM<f-L~堆5

AC=AC,即尸（AM<AC）=翁6750寸3

【迁移3】（变条件，变问法）如图，在平面直角坐标系内，射丁

线OT落在60。角的终边上，任作一条射线OA，求射线QA落在-4/

ZxOT内的概率.一7

解以。为起点作射线OA是随机的，因而射线QA落在任何位

置都是等可能的，落在

NxOT内的概率只与NxOT的大小有关，符合几何概型的条件.

于是，记事件8=｛射线OA落在NxOT内｝.

因为NxOT=60。,

所以尸(B)=花心=『

规律方法当涉及射线的运动，扇形中有关落点区域问题时，常以角的大小作为

区域度量来计算概率，切不可用线段代替，这是两种不同的度量手段.

I课堂反馈自主反馈，检测成效

课堂达标

1.在区间［0,3］上任取一个数，则此数不大于2的概率是()

A.gB，2

2J

CbD.g

解析此数不大于2的概率尸4黯瑞藉号.

A-3B-3

4

C.1D.无法计算

解析在正方形中随机撒一粒豆子，其结果有无限个，属于几何概型.设“落在

阴影区域内”为事件A,则事件A构成的区域是阴影部分.设阴影区域的面积为S,

qq14

全部结果构成的区域面积是正方形的面积，则有P(A)=^=i=；,解得s=g.

答案c

3.在半径为2的球。内任取一点P>则|OP|>1的概率为.

解析问题相当于在以。为球心，1为半径的球外，且在以。为球心，2为半径

的球内任取一点，

44

T7tX23—T7lXI3

7

所以P=—7-------8-

^7iX23

答案I

4.在1000mL水中有一个草履虫，现从中随机取出3mL水样放到显微镜下观察，

则发现草履虫的概率是.

3

解析由几何概型知，P=丁丽.

3

答案Tooo

5.当你到一个红绿灯路口时，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的

时间为45秒，那么你看到黄灯的概率是多少？

解由题意可知，在80秒内路口的红、黄、绿灯是随机出现的，可以认为是无

限次等可能出现的，符合几何概型的条件.事件“看到黄灯”的时间长度为5秒，

而整个灯的变换时间长度为80秒，据几何概型概率计算公式，得看到黄灯的概

率为

课堂小结

1.几何概型适用于试验结果是无穷多且事件是等可能发生的概率模型.

2.几何概型主要用于解决与长度、面积、体积有关的题目.

3.注意理解几何概型与古典概型的区别.

4.理解如何将实际问题转化为几何概型的问题，利用几何概型公式求解，概率公

式为

°,构成事件A的区域长度（面积或体积）

“㈤一试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）.

|课后作业强化训练，巩固提升

基础过关

1.在长为12cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为一边作正方形，则此

正方形的面积介于36cn?与81©m2之间的概率为（）

11

A16B8

11

C4D2

解析正方形的面积介于36cm2与81cm2之间，所以正方形的边长介于6cm与

9—61

9cm之间，线段A8的长度为12cm,故所求概率为一方=不

答案C

2.已知直线的横截距在区间[-2,3]上，则直线在y轴上的截距匕大于1

的概率是（）

12

A.§B.§

C~D.|

解析因为直线的横截距一2,3],所以纵截距。e[—3,2],故b

>1的概率1=1•

答案A

3.如图，在一个边长分别为a，/a〉b〉O）的矩形内画一个梯形，梯形的上、下

底边长分别为g，且高为4现向该矩形内随机投一点，则该点落在梯形内部的

概率是（）

所以P=9=^.

J矩形1乙

答案c

4.在400毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2毫升水样放到显微镜

下观察，则发现大肠杆菌的概率为.

2

解析由几何概型知产=丽=0.005.

答案0.005

5.《广告法》对插播广告的时间有一定的规定，某人对某台的电视节目进行了长

期的统计后得出结论，他在一小时内的任意时间打开电视机看该台节目时，看不

到广告的概率为需，那么该台每小时约有分钟的广告.

91

解析由题意知，某人在一小时内看节目时，看到广告的概率为1—m=而，则

该台每小时约有60X+=6（分钟）的广告.

答案6

6.在转盘游戏中，假设有红、绿、蓝三种颜色.在转盘停止时，如果指针指向红

色为赢，绿色为平，蓝色为输，问：若每种颜色被平均分成四块，不同颜色相间

排列，要使赢的概率为，，输的概率为:，则每个绿色扇形的圆心角为多少度？（假

设转盘停止位置都是等可能的）

解因为赢的概率为今

所以红色所占角度为周角的点即如=喈=72。.

同理，蓝色占周角的小即。2=苧=120。，

所以绿色所占角度03=360°-120°-72°=168°.

将a3分成四等份，得。3+4=168。+4=42。，

即每个绿色扇形的圆心角为42。.

7.如图，在单位圆O的某一直径上随机的取一点Q，求过点Q且与该直径垂直

的弦长长度不超过1的概率.

A/3

解弦长不超过1,故0。2与，因为。点在直径A5上是随机的，设事件A为

害X2同

“弦长长度超过1”，由几何概率的计算公式得，P（A）==y—=竽.

所以其对立事件A“弦长不超过1”的概率为P（A）=1—P（A）=1—乎.

能力提升

8.如图，在矩形区域A8CO的A，C两点处各有一个通信基站，

假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF（该I

矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常）.若在该矩形区域内—2—

随机地选一地点，则该地点无信号的概率是（）

兀71

A.l-4B，2~l

―八兀­兀

C.2一］D4

1,

q2Xl-jX7rXl2X2

解析由几何概型知所求的概率P=产生"=-------------=1-J.

3矩形BAC。2X14

答案A

9.函数/（xlux2—x—2，xG［—5,5］，那么任取一点xo使/（xo）〉O的概率为（）

A.0.5B.0.6

C.0.7D.0.8

解析如图，在［-5,5］上函数的图象和x轴分别交于两点（一

1,0）,（2,0）,只有出引一只一1）”2,5］时，於））＞0,由题

意，知本题是几何概型问题.记事件A为“任取一点祀，使

/次）＞0”，事件A的区域长度是区间［-5,-1）与（2,5］的长度和，全体基本事

件的长度是［-5,5］的区间长度.由几何概型的概率公式，得P(A)=-f=0.7.故

选C.

答案C

10.设A为圆周上一点，在圆周上等可能地任取一点3与点A连接，则弦长超过

半径的啦倍的概率是.

解析如图，在圆。上有一定点A,任取一点8与点A连接，且弦42nB

长超过半径的啦倍，即为NA05的度数大于90。，而小于270。.

记“弦长超过半径的近倍”为事件C,则事件C表示的范围是N'~,

270°—90°1

AOBG(90。，270。).由几何概型的概率公式，得P(C)=-360。—=7

答案2

11.在长方形ABCO中，AB=2，BC=1，。为4?的中点，在长方形A3CO内随

机取一点，取到的点到。的距离大于1的概率为.

解析