精讲高中数学必修第二册6. 2. 3 向量的数乘运算及其几何意义

6.2.3向量的数乘运算及其几何意义

导学案

编写：廖云波初审：孙锐终审：孙锐廖云波

【学习目标】

1.了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义.

2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算律进行向量运算

3.理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法,并能熟练地运用这些知识处理有关共线向量

问题

【自主学习】

知识点1向量数乘运算

实数％与向量a的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作〃，

其长度与方向规定如下：

(l)|Aa|=|l||a|.

［当乃>0时,与Q方向相同，

(2)2a(aW0)的方向匕方臼如后

I=2<0时,与。方向相反；

特别地，当2=0或。=0时、0〃=0或70=0.

知识点2向量数乘的运算律

⑴如a)=(2")a.

(2)(2+4)a=勿+jLia.

(3)2(。+))=痴+2b.

特别地，有(一外。=—(痴)=2(—a)；

A（a-b）=Aa-Ab.

知识点3共线向量定理

向量a(a#O)与6共线，当且仅当有唯一一个实数九使6=痴.

知识点4向量的线性运算

向量的加、减、数型运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a、b,

以及任意实数2、幺1、〃2，恒有：A(/i।a+fiib)—A/iia+}./.i2b.

【合作探究】

探究一向量的数乘运算

【例1】计算：

(1)(—3)X4”；

(2)3(。+〃)一2(。一b)一。；

(3)(2a+3b——c)——(3a——2)+c).

解(1)原式=(-3X4)°=-12a；

(2)原式=3。+36—2〃+2力-a=5b；

(3)原式=2a~\~3b—c—3a~\~2b—c=1a+5)一2c.

归纳总结：向量的线性运算类似于代数多项式的运算，主要是'合并同类项”、“提取公因式”，

但这里的“同类项”、“公因式”指向量，实数看作是向量的系数.

【练习1】跟踪训练1计算：

(l)6(3a—2b)+9(—2a+A)；

(2)6(0—0+c)—4(°—2b+c)-2(—2a+c).

解(1)原式=18。-12ft-180+9。=-3b.

(2)原式=6a—6)+6c—4o+8b-4c+4a—2c

=(6。-4a+4a)+(8b—60)+(6c—4c—2C)=6Q+2》.

探究二用已知向量表示未知向量

-►-A

【例2】如图所示，已知弘8。£)的边BC,C。的中点分别为K,L,且4K=e〃AL=e2,试

—»-►

用R，€2表示BC,CD.

DLC

AB

［分析］利用向量的加法和数乘运算进行化简.

［解］设反?=x,则/=去，AB=et—^xf

DL=^DC=^AB=^ej—^x.

由量）+应=屐，得x+ge/一3=&,

4?—42

解方程得工=丞2—羽，即8C=我一个.

——1

由C£>=—A8,A5=e/—/,

得而=*一均=翁02一,切）一e；=—+|e2.

归纳总结：由已知向量来表示另外一些向量是向量解题的基础，除了要利用向量的加、减、

数乘等线性运算外，还应充分利用平面几何的一些定理、性质，如三角形的中位线定理，相

似三角形的对应边成比例等把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量进行求解.

【练习2】如图，设△A8C的重心为M,。为平面上任一点，OA=a,OB=b,OC=c9试

用。、b、c表示向量OM.

解：连接AM并延长交8c于0点.

•・・/是△ABC的重心，

二。是BC的中点，且4W=|A。

—►2—*,2->■—

：.AM=^AD=^AB+BD)

=|AB+|BD

2f1-*

=^AB+^BC

=l(OB-OA)+^(OC-OB)

2,1

=^(b—a)+^(c-b)

=-1a+|*+|c.

.\OM=OA+AM=a+(^^a+^b+^c^

=|(a+fe+c).

探究三向量共线定理的应用

【例3T】已知ci,及是不共线的向量，a=3ei+4e2,力=6e1一802,则Q与〃是否共线？

解若。与》共线，则存在7WR,使a=2b,

BP3Q+4c2=2(6ei——8e2),

所以(3—6A)ei+(4+82)02=。，

3—67=0,

因为g与及不共线，所以一，所以人不存在，

〔4+82=0,

所以〃与〃不共线.

【例3-2】已知两个非零向量力和及不共线，如果还=2幻+3改，BC=6ei+23e2fCD=4ei

—802，求证：4、B、。三点共线.

证明Vic=6ei+23e2,CD=4ei-8e2f

・•・应)=正+丽=(66]+23也)+(44-8电)

=10ei+15^2.

又：赢=2e1+3e2,：.BD^5AB,

：.AB,丽共线，且有公共点B".A、B、。三点共线.

归纳总结：(1)本题充分利用了向量共线定理，即6与a(aWO)共线ob=，a,因此用它

既可以证明点共线或线共线问题，也可以根据共线求参数的值.

(2)向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断

共线.

【练习3-1】已知非零向量e”e2不共线.

(1)如果油=ei+e2，BC=2et+8e2,CD=3(ei-e2)，求证：A8,而共线;

(2)欲使Aei+e?和e+髭2共线，试确定实数k的值.

解(l)；B=ei+e2,BD=BC+cb=2e,+8e2+3ei-3e2=5(ei+c2)=5AB.

：.AB,而共线.

(2)：ke1+e2与ei+&2共线，

存在),使kei+e2=2(ei+Ze2),

即(k—7)ei=(2A—l)e2,由于ei与e2不共线,

HO,

只能有

/左一1=0,

【练习3-2】已知O,A,8是不共线的三点，且5>=加工+"为("，”6R).

(1)若加+〃=1,求证：AtP,B三点共线；

(2)若A,P,B三点共线，求证：m+〃=1.

证明(1)若"?+〃=1,

则而=，"后+(1一僧)励=励+"7(宓一励),

：.OP-OB=m(OA-OB},

即万>=机函，游与函共线.

又•.•崩与函有公共点B,则A,P,B三点共线.

(2)若A,P,B三点共线，则存在实数2,使丽=2函,

：.OP-OB=^OA-OB).

又碎=，*<%+”3k

故有inOA+(n-\)OB=).OA—XOB,

即(机一Q后+(〃+2-1)励=0.

'：O,A,8不共线，苏，协不共线,

Jnz—2=0,

•*in~\~〃=1.

[H+A-1=0,

课后作业

A组基础题

一、选择题

1.设e/,e2是两个不共线的向量，若向量析=一切+品2（AWR）与向量"=e2—2ei共线，则

（）

A.k=QB.k—lC.k—2D.k=；

答案D

解析当k=3时，m=-et+^e2,n=-2e\+ei.

'.n=2m,此时，m,n共线.

2.下列各式计算正确的有（）

①（一7）6。=一4%；②7（a+，）-8b=7a+15。；

③a—26+a+2Z>=2a；④4（2a+6）=8a+4/>.

A.1个B.2个C.3个D.4个

答案C

3.已知△48C的三个顶点A,B,C及平面内一点尸，且现+而+正=初，则（）

A.P在△A8C内部

B.P在△4BC外部

C.P在AB边上或其延长线上

D.P在AC边上

答案D

解析PA+PB+PC^PB-PA,

.•.正=一2百，尸在AC边上.

4.设。，E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点，贝ijEB+FC等于（）

—►1—A

A.BCB.2AD

C.ADD.5BC

答案c

解析

如图，EB+FC

^EC+CB+FB+BC

^EC+FB=^(AC+AB)

—^-2AD—AD.

5.已知向量a,b,设B=a+2b,BC^~5a+6b,CD=1a-2b,那么下列各组中三点一

定共线的是()

A.4,B,CB.4,C,D

C.A,B,DD.B,C,D

答案C

解析由向量的加法法则知砺=正+而=-5。+68+7。-2/>=2（。+2勿=2赢，又两线段

均过点8,故A,B,。三点一定共线

6.已知杨，〃是实数，a,b是向量，则下列命题中正确的为（）

®tn（a~b）=ma-mb；®（rn-n）a—ma-na；

③若）na=,nb,贝ija=〃；④若加则加=〃.

A.①④B.①②

C.①③D.③④

答案B

解析①和②属于数乘对向量与实数的分配律，正确；③中，若，"=0,则不能推出4=6,

错误；④中，若。=0,则〃?，"没有关系，

7.己知△ABC和点M满足宓+讪+就7=0.若存在实数扰使得施+病=〃i病成立，则m

的值为（）

A.2B.3C.4D.5

答案B

解析,JMA+MB+MC^Q,

...点M是△48C的重心.

：.AB+AC=3AM,：.m=3.

二、填空题

8.已知。48。。的对角线4c和8。相交于点。，且晶=“，OB=b,则诙=,BC

—.（用a，b表示）

答案。一4一a-b

解析如图，DC=AB=OB—OA=b—ai

BC^OC-OB^-OA-OB^-a-b.

9.在平行四边形ABC。中，若而+病|=|后一在|,则四边形A8C。的形状为.

答案矩形

解析如图，因为归+而=送,

AB~AD=DB,

所以|前1=|加|.

由对角线长相等的平行四边形是矩形可知，四边形ABCO是矩形.

10.如图所示，设例，N为△ABC内的两点，且病=拗+茨;而=|@+吴?，则AABM

的面积与AABN的面积之比为.

答案2：3

解析

如图所示，设布=；崩，AQ—\AC,

则Qf=Q+恁.

由平行四边形法则知，MQ//AB,

.SAABA|A0|1

SAABC।而3-

S/\ABN1.ScABM2

同理

S4ABe2'•'ABN3

三、解答题

11.如图，ABCD为一个四边形，E、F、G、H分别为BD、48、AC和8的中点，求证:

四边形EFG//为平行四边形.

证明VF,G分别是AB、AC的中点.

FG=^BC.

同理，EH=^BC.

：.FG=EH.

...四边形EFGH为平行四边形.

12.已知e”e2是两个非零不共线的向量,a=2e\-e2,b=ket+e2,若a与5是共线向量，

求实数k的值.

解•••。与6是共线向量，，a=助，

2e\——e2=k(ke\-\-ei)=^ke\+%也,

入k=2,伏=—2,

・・・・・・・：.k=-2.

/=一1,〔2=一1,

13.设ei，e2是两个不共线的向量，而=2ei+&2，CB=ei+3e2,cb=2e,-e2.若A,B,

。三点共线，求&的值.

解若A,B,。三点共线，则矗与访共线，

所以可设赢=7访.

又因为丽

=(2&一。2)—(ei+3。2)=0-4e?,

所以2e\-\-kei=X(e\—4e2),

即(42+k)e2=(2-2)ei,

因为ej,e2是两个不共线的向量,

X~2

若42+20,则e?=目4,

于是的与e2是共线向量，与已知条件矛盾;

.....42+左

若%—2*0,则3=Re2

于是的与e2是共线向量，与已知条件矛盾,

4A+k=0,

所以故)=2,k=S.

4一2=0,

14.如图所示，在平行四边形A3C。中，点M是43的中点，点N在3。上，且BN=^BD.

求证：M.N、C三点共线.

证明设区4=0,BC=b,则由向量减法的三角形法则可知：CM=BM—BC=^BA—BC=^a

-b.

又：N在80上且BD=3BN,

.•.砺=；彷=上前+而）=；（a+。）,

CN=BN-BC^a+b')-b

号等=给。一“

CN^CM,

又•.•丽与丽的公共点为C,

，C、M、N三点、共线.

B组能力提升

一、选择题

1.在"SC中，A。为BC边上的中线，E为A。的中点，则EB=()

3113

---一-

47C所4Ac

-4-4

3--->.1--->1--->.3--->

C.^ABACD.AB+^AC

【答案】A

【解析】作出示意图如图所示.~EB=^ED+~DB=^~AD+^CB+^4C)+1

CAB-~AC)=^AB-^AC

2.在四边形ABC。中，就=初，AC与8。交于点。，E是线段。。的中点，AE的延长线

与CC交于点尸，则()

__1__2__2_1_

初B.#=1病+,初

初D.#=,祀+；瓦)

【解析】

在四边形A8CD中，如图所示，因为觉=劝，所以四边形43CQ为平行四边形.由已

11777

知得的=§或，由题意知△OE/?s/\8E4,则防=亍磅，所以中=§劭=§(初一历)=可

Bb—AtBt)—AC亡-1ffff2f.1—i_

x——=—g—，所以#=祀+#=祀+-g-=1祀+］防，故选B.

【答案】B

3.如图，在直角梯形ABCC中，或=油,就=2反'，且初一协+s才方，则2r+3s=()

A.1B.2

C.3D.4

凄］

【解析】法一：由题图可得益=范+旗=牯+海=部+|屈+病+比）=沙+

，（m+成尸;露+段（历+1显）=.

JJJ4J

因为力；=痴&+$元），所以〃=今$=,，则2r+3s=l+2=3.

法二：因为法=2爱,所以於一辐=2（祀一碣，整理，得屈=1^+|启=拗+；0彷

+比）=4方+各方，以下同法一.

碣

法三：如图，延长A。，BC交于点P,则由成=拗得OC〃A8,且A8=4OC.

4

在

且-

又就=2比，所以E1为P8的中点,-3

于是，助=；（初+#）=茅/+轲5）=＜荏+各方以下同法一.

法四：如图，建立平面直角坐标系xAy,依题意可设点8（4〃7,0）,。（3小，3/?）,仇4小,

2/z）,其中能>0,h>0.

由然=痴&+5融，得（4〃?，2h）=i\4m,O）+s（3"?,3万）,

=1

4加=4w+37%s,r

所以解得，

2h=3hs,_2

=y

所以2r+3s=1+2=3.

【答案】C

4.如图，已知#=小诵，用温，彷表示则办等于（）

14

--

33

C.-jOX+^oh

D.—

【答案】c

【解析】赤二次+犷二^^+为&=况+1彷—次尸—:况+^^故选C.

5.在AABC中，AB=2,BC=3,ZABC=60°,40为3c边上的高，。为AO的中点，若劭

=派+〃觉，其中九〃£凡则2+〃等于（）

A.1B.2

C.gD.1

【答案】D

【解析】由题意易得用=初+沉＞=屈+］设1,所以2冗）=筋+］比,即初=］屈+；比.

332o

M-1.12

故2+〃=5+不=§.

6.已知A,B,C三点不共线，且点。满足16次一12加-3求=0,则（）

A.温=12显+3祀B.次=12屈一3祀

C.温=-12勘+3RD.温=一12显一3祀

【答案】A

【解析】对于A,温=12屈+3祀=12（彷一次）+3（求一次）=12彷+3求一15况,

整理，可得1604—12防一3OC=0,这与题干中条件相符合，故选A.

7.如图，在AABC中，⑰=|&，Bp=^Bb,若#=海+〃正，则，的值为（）

A.-3B.3

C.2D.-2

【答案】B

【解析】因为#=屈+即，励=；沉）=g（⑰—屈）=；花—；勘=3,祀—；霜=,证—

；初，

22

--

V尸9,所以介

29

--

3X2

8.已知向量a,5不共线，且c=/a+"d=a+（2X~1）b,若c与d反向共线，则实数2的值

为（）

A.1B.—2

C.1或一gD.—1或一；

【答案】B

【解析】由于c与d反向共线，则存在实数%使c=Ad/<0）,于是%+0=*a+（22-

2=k,

\）b],整理得〃+b=ka+（2崩一k）b.由于a,%不共线，所以有整理得2乃一％一

2AK—K—1,

1=0,解得4=1或2=一；.又因为&<0,所以2<0,故％=一1.

二、填空题

9.已知。为AABC内一点，且2葩=彷+衣，无力=f祀，若8,O,。三点共线，则

t的值为.

【解析】设线段BC的中点为M，则彷+比=2成.

因为2劭=仍+比，所以劭=血,

则初屈+祀）=；（屈+：初）=；屈+3?）.

由8,O,。三点共线，得1+t=1，解得/=；.

【答案】!

10.在A4BC中，ZA=60°,NA的平分线交BC于点O,若AB=4,且力=；祀+湿

GSR）,则AO的长为

13

【解析】因为8,D,。三点共线，所以：+2=1,解得％=本如图，过点。分别作4C,

A8的平行线交力8,AC于点M,N,则磁=汕，因为AABC中，乙4=60。，

/A的平分线交BC于点力，所以四边形AM£W是菱形，因为48=4,所以AN=AM=3,

A£>=3小

【答案】3小

11.在AABC中，点。是边BC上任意一点，M是线段AO的中点，若存在实数2和〃,

使得旅=淋+/尿则;1+A=.

【解析】如图，因为点。在边8c上，所以存在啰R,使得防=/尻'=/（企一屈）.因

为M是线段AD的中点，所以说=；（就+夙>）=；（—屈+£病一道）=—1（r+1）-A^+^tAt.

又就脑+"汽，所以2=-g（f+l）,"=/，所以/+"=—].

【答案】V

12.已知产为A4BC所在平面内一点，屈+油+网=0,|霜|=|屈|=|反1=2,则AABC

的面积为.

【解析】因为初+协+及'=0,所以露=一（成+苗.由平行四边形法则可知，以防,

互为边组成的平行四边形的一条对角线与显反向，且长度相等.因为|勘1=1成1=1曲=2,

所以以防,互为边的平行四边形为菱形，且除8c外的另一条对角线长为2,所以8C=24，

ZABC=90°,所以SAABC=%®8C=：X2X2小=2小.

【答案】24

三、解答题

13.在如图所示的方格纸中，向量4c的起点和终点均在格点（小正方形顶点）上，若c

与M+加，y为非零实数）共线，求抻值.

【解析】设幻，。2分别为水平方向（向右）与竖直方向（向上）的单位向量，则向量C=Q

—2/，a=2©+e2,。=-2%一2级，由c与xa+yb共线，得c="m+yb),所以g—2也=2"1

3

2A(x—y)=1,%=二，

I(L2))=一2,所以;所以扣值为去

—y)ei+Mx—2y)e2，所以“

产药

14.经过△QAB重心G的直线与。4,OB分别交于点P,Q,设毋=加次，的=〃彷，根,

〃WR,求［+（的值.

【解析】设温=mOh=b,则5&=g（o+。），

P^=O^—Op=nb—nm,

芯=Ob—9=g（〃+b）-ma—（；一加）Q+；0.

由尸，G,。共线得，存在实数%使得匝=2砧，

即-ma=,

卜”=心-“

则，।消去心得廿2=3.

C组挑战压轴题

一、选择题

1.如图，在AABC中，点。在线段8c上，且满足80=4。。，过点。的直线分别交直线A8,

AC于不同的两点M,N若磕="漏,病=〃曲，则()

A.m+〃是定值，定值为2

B.2加+〃是定值，定值为3

C.是定值，定值为2

D.^+；是定值，定值为3

【答案】D

【解析】法一：如图，过点C作CE平行于MN交AB于点E.由RV="证可得笫=[,

所以爵号力由吁/c可得翳；，所以厚—=含，因为加加

«4--2-

所以机=产彳，整理可得5+：=3.

377-1mn

法二：因为M,D,N三点共线，所以用=/1砌+(1—2)•初.乂询=〃?勘，初=〃祀，

所以劝=痴霜+(1—2)•〃祀.又防=3成，所以初一；劝，所以A5=g/+薪^.

2121

比较系数知痴=],(1—X)n=y所以/+卜=3,故选D.

—►

2.已知。是平面内一定点，A、8、C是平面上不共线的三个点，动点「满足5?=宓+2(42

的

Jr

+——)(Ae[O,+8)),则点P的轨迹一定通过△48(7的()

\AC\

A.外心B.内心

C.重心D.垂心

答案B

Z1Ac»这为北上的单位向量，则AC

解析皿为A8上的单位向量,的方向为NBAC的角

河||AC|而I的

平分线病的方向.

ZRATARAC-►fJR

又4G[0,+~),Az("+若)的方向与"+若的方向相同.而OP=O4+4(空+

\AB\|AC|而|\AC\\AB\

|AC|

...点尸在上移动.

.♦.点P的轨迹一定通过△ABC的内心.

3.A,B,C是圆。上不同的三点，线段CO与线段AB交于点。(点。与点。不重合)，若

OC=kdA+/iOB(X,蚱R),则计"的取值范围是()

A.(0,1)B.(1,+°°)

C.(1,r1D.(-1,0)

答案B

解析设诙=〃i