高中数学必修3复习提纲

必修3复习提纲第一章算法初步

一、基础精析

要点I：算法的一些基本概念

（1）算法的概念：算法通常是指按肯定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤.

（2）程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形.

（3）程序框图的三种基本逻辑结构是依次结构、条件结构、循环结构.

（4）算法的描述方式有：自然语言、程序框图、程序语言.

例题1：下列给出的赋值语句中正确的是（B）

A4-=MBM--MC3=4=3Dx+y=O

练习1：看下面的四段话，其中不是解决问题的算法的是（）

A.从济南到北京旅游，先坐火车，再坐飞机抵达

B.解一元一次方程的步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1

C.方程xZ1=0有两个实根

D.求1+2+3+4+5的值,先计算1+2=3,再由于3+3=6,6+4=10,10+5=15,最终结果为15

要点2：程序框图

（-）构成程序框的图形符号及其作用

1程序框名称功能

'表示一个算法的起始和结束，是任何流程图不行少的。

起止框

表示一个算法输入和输出的信息，可用在算法中任何须要

输入、输出框

输入、输出的位置。

赋值、计算，算法中处理数据须要的算式、公式等分别写

处理框

在不同的用以处理数据的处理框内。

推断某一条件是否成立，成立时在出口处标明“是”或

推断框

O“Y”；不成立时标明“否”或“N”。

（二）算法的三种基本逻辑结构

名称

依次结构条件结构循环结构

内

练习2：算法共有三种逻辑结构，即依次结构、条件结构、循环结构，下列说法正确的是(D)

A.一个算法只能含有一种逻辑结构

B.一个算法最多可以包含两种逻辑结构

C.一个算法必需含有上述三种逻辑结构

D.一个算法可以含有上述三种逻辑结构的随意组合

要点3：算法的基本语句

(1)输入语句、输出语句、赋值语句的格式与功能

语句一般格式功能

输入语句INPUT”提示内容”;变量输入信息

输出语句PRINT"提示内容”；表达式输出常量、变量的值和系统信息

赋值语句变量=表达式将表达式的值赋给变量

(2)条件语句

①IF—THEN格式(单支结构)

(3)循环语句

①UNTIL语句

DO

循环体

LOOPUNTIL条件

②WHILE语句

例2：右图程序框图表示的算法输出的结果是.

要点4：辗转相除法与更相减损术求最大公约数

（1）辗转相除法：对于给定的两个正整数，用大数除以小数,若余数丕

为0,则将小数和余数构成新的一对数,接着上面的除法，反复执行此步骤，

直到大数被小数除尽，则这时较小的数就是原来两个数的最大公约数.

（2）更相减损术：对于给定的两个正整数，若它们都是偶数，则将它们反复除以2（假设进行了k

次），直到它们至少有一个不是偶数后，将大数减小数,然后将差和较小的数构成一对新数,接着上

面的减法，反复执行此步骤，直到差和较小的数相等,此时相等的数或这个数与约简的数的乘积即为

所求两数的最大公约数.

例3：分别用辗转相除法和更相减损术求三个数72,120,168的最大公约数.

解法/.•用辗转相除法

先求120,168的最大公约数,

因为168=120x1+48,120=48x2+24,48=24x2

所以120,168的最大公约数是24.

再求72,24的最大公约数，

因为72=24x3,所以72,24的最大公约数为24,

即72,120,168的最大公约数为24.

廨法2:用更相减损术

先求120,168的最大公约数，

168-120=48,120-48=72,72-48=24,48-24=24

所以120,168的最大公约数为24.

再求72,24的最大公约数，

72-24=48,48-24=24

72,24的最大公约数为24,

即72,120,168的最大公约数为24.

要点4：秦九韶(shao其次声)算法

设/(x)=anx"+31++alx+a0,

改写为如下形式：/(x)=((anx+a“_I)x+an_2)x+at)x+an.

设％=%，4=+

匕=vyx+an_2

v3=v2x+a„_3

V"=%x+%

例4：用秦九韶算法计算多项式/(x)=12+35x-8x2+6x,+5/+3/在％=Y时的值时，匕的

值为()

A.-144B.-136C.-57D.34

练习3：用秦九韶算法计算多项式/(x)=2/+6x2+x+3在x=Y时的值时分别要用多少次乘法

和加法？

要点5：进位制

(1)左进制数的基数为2,左进制数是由0、1-藤-1之间的数字构成的.

(2)将十进制的数转化为k进制数的方法是除左取余法(倒序取余数).

(3)把火进制数“M1T-alao(O<an<k,0<an_1,q,%<%)化为十进制数的方法为

=4人"++4左+4•

例5：将下列数进行转换

⑴102(—=_________(10)

解：(1)10202⑶=1x3"+2x3?+2x3°=1()%0)

(2)用8反复去除101,直到商为0止，所得的余数(从末位读起)就是十进制数101的

8进制表示

8|101余数

81125

F一-所以101皿=145⑻

8114

01

评注：将k进制的数转化为k'进制的数的方法是先将k进制的数转化为十进制的数，再将这个数转化

为〃进制的数.

其次章统计

一'基础精析

要点1：随机抽样

⑴简洁随机抽样:一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本

(n<N),假如每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简洁随机抽

样.最常用的简洁随机抽样方法有两种：抽签法和随机数法.

(2)系统抽样:一般地，要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，可将总体分成均衡的若干部

分，然后根据预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所须要的样本，这种抽样的方法叫

做系统抽样.

(3)分层抽样:一般，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后根据肯定的比例，从各层独立抽取

肯定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫分层抽样.

例1:为了了解全校240名学生的身高状况，从中抽取40名学生进行测量，下列说法正确的是()

A.总体是240B.个体C.样本是40名学生D.样本容量是40

例2：为了了解参与某种学问竞赛的1000名学生的成果，若采纳系统抽样方法较恰当？简述抽样过

程.

解：(1)随机地将这1000名学生编号为1,2,3,1000.

(2)将总体按编号依次均分成50部分，每部分包括20个个体.

(3)在第一部分的个体编号1,2,3....20中，利用简洁随机抽样抽取一个号码，比如18.

(4)以18为起始号码，每间隔20抽取一个号码，这样得到一个容量为50的样本：18,38,

58....978,998.

例3：一个单位有职工500人，其中不到35岁的有125人，35岁至49岁的有280人，50岁以上的

有95人，为了了解这个单位职工与身体状况有关的某项指标，要从中抽取100名职工作为样本，职

工年龄与这项指标有关，应当怎样抽取？

解：用分层抽样来抽取样本，步骤是：

(1)分层：按年龄将150名职工分成三层：不到35岁的职工；35岁至49岁的职工；50岁以上的职工.

(2)确定每层抽取个体的个数.抽样比为&=L,则在不到35岁的职工中抽125x^=25人；在35

50055

岁至49岁的职工中抽280x^=56人；在50岁以上的职工中抽95x，=19人.

55

(3)在各层分别按抽签法或随机数表法抽取样本.

(4)综合每层抽样，组成样本.

要点2：频率分布

(1)频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小。一般用频率分布直方图反映样本

的频率分布。

(2)频率分布直方图及其画法：

①计算一组数据中最大值与最小值的差，即求极差②确定组距与组数

③将数据分组④列频率分布表⑤画频率分布直方图

留意：①频率分布直方图中，每个小矩形的高表示的不是频率，是频率与组距之比

②频率分布直方图中，每个小矩形的面积表示频率，其和是1。

(3)频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图.

(4)总体密度曲线.：在样本频率分布直方图中，随着样本容量的增加，作图时所分组数的增加，组距

削减，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线.它能

够精确地反映总体在各个范围内取值的百分比，它能给我们供应更加精细的信息.事实上，尽管有些总

体密度曲线是客观存在的,但一般很难像函数图象那样精确地画出来，我们只能用样本的频率分布对它

进行估计，一般来说，样本容量越大,这种估计就越精确。

例4：己知某班50个同学的身高数据的分组以及各组的频数如下：

[153,155),2；[155,157),7；(157,159),9；[159,161),11；

[161,163),10；[163,165),6；[165,167),4；[167,169),1。

(1)列出样本的频率分布表；

(2)画出频率分布直方图及频率分布折线图。

(3)估计这50个同学的身高的中位数和平均数。

要点3：茎叶图

（1）茎叶图：当数据是两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字

表示个位数，即其次个有效数字，它的中间部分像植物的茎，两边部分像植物茎上长出来的叶子,因此通

常把这样的图叫做茎叶图.

（2）画茎叶图的步骤如下：

①将每个数据分为茎（高位）和叶（低位）两部分，在此例中，茎为十位上的数字，叶为个位上的数字；

②将最小茎和最大茎之间的数按大小次序排成一列,写在左（右）侧；

③将各个数据的叶按大小次序写在其茎右（左）侧.

（3）留意：Q用茎叶图表示数据有两个优点：一是从统计图上没有原始数据信息的损失，全部数据

信息都可以从茎叶图中得到；二是茎叶图中的数据可以随时记录，随时添加，便利记录与表示.婪叶

图只便于表示两位有效数字的数据，而且茎叶图只便利记录两组的数据，两个以上的数据虽然能够记

录,但是没有表示两个记录那么直观,清楚.

例5：从参与某次考试的学生中，随机抽取20名，成果如下：

44,52,48,57,71,74,59,74,75,82,

61,62,68,70,71,83,63,63,84,90。

试作出上述数据茎叶图，通过茎叶图，你能得出什么结论？

要点4：众数、中位数、平均数、标准差

⑴众数（在一组数据中，出现次数最多的数称为众数）、中位数（在按大小依次排列的一组数据中,

居于中间的数称为中位数）、平均数（一般是一组数据和的算术平均数）

（2）方差、标准差：

①方差：$2=![（%-工/+（%2-工产+…+®一©2]

n

②标准差：S=、匕（七一元）2+（七一君2+…+（/一元）2].

Vn

注：标准差较大，数据的离散程度（波动）较大；标准差较小，数据的离散程度（波动）较小。

例6：在相同条件下对自行车运动员甲、乙两人进行了6次测试，测得他们的最大速度（单位：m/s）的

数据如下：

甲273830373531

乙332938342836

试推断选谁参与某项重大竞赛更合适？

答案：S甲72=34_7＞电72=]37_，乙的成果比甲稳定，应选乙参与竞赛更合适

要点5：相关关系的概念

⑴相关关系：自变量取值肯定时，因变量的取值带有肯定随机性的两个变量之间的关系，叫做相关关

系.

(2)两个变量之间的关系分两类：

①确定性的函数关系，例如我们以前学习过的一次函数、二次函数等；

②带有随机性的变量间的相关关系，例如“身高者，体重也重”,我们就说身高与体重这两个变量具有相关

关系.相关关系是一种非确定性关系.如商品销售收入与广告支出经费之间的关系.(还与商品质量、居

民收入、生活环境等有关)

要点6：两个变量的相关关系

(1)散点图的概念：将各数据在平面直角坐标系中的对应点画出来，得到表示两个变量的一组数据的

图形，这样的图形叫做散点图.

(2)正相关、负相关的概念：假如散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域内，称为正相关.假如

散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域内，称为负相关.(注：散点图的点假如几乎没有什么规

则，则这两个变量之间不具有相关关系)

(3)假如全部的样本点都落在某一函数曲线上，就用该函数来描述变量之间的关系，即变量之间具有函

数关系；假如全部的样本点都落在某一函数曲线旁边，变量之间就有相关关系；假如全部的样本点都

落在某始终线旁边，变量之间就有线性相关关系。

例7：在一次对人体脂肪含量和年龄关系的探讨中，探讨人员获得了一组样本数据:

年龄23273841454950

脂肪9.517.821.225.927.526.328.2

年龄53545657586061

脂肪29.630.231.430.833.535.234.6

(1)画出散点图。

(2)人体脂肪含量和年龄的关系是函数关系还是相关关系？

脂肪含量4

(3)人体脂肪含量和年龄的关系是正相关还是负相关关系？40-

35-

解：⑴30-•八

25-***

(2)相关关系20-.,

15-

(3)正相关关系1。・•

5-

要点7:回来直线°20253035404550556065年龄

假如在散点图中全部的样本点都落在某始终线旁边，变量之间就有线性相关关系。变量线性相关

关系的回来直线方程为y=bx+a.

Z(%-初加一刃Z七--戒歹

-------=i1.----------

其中,

£(%-元)20;-戒2

,=1,=1

a=y-bx.......................

留意：回来直线肯定过点(元,歹).

例8：给出施化肥量对水稻产量影响的试验数据:

施化肥量X15202530354045

水稻产量y330345365405445450455

水稻产

(1)画出上表的散点图；ya•

•

(2)求出回来直线的方程.*

*

解：(1)散点图如下图.*

*

0X

(2)表中的数据进行详细计算，列成以下表格：施化肥址

i1234567

Xi15202530354045

yi330345365405445450455

Xiyi49506900912512150155751800020475

777

x=30,J==399.3,^.c,2=7000,Zy；=][32725,工毛%=87175

i=\i=\i=\

故可得到

87175-7x30x399.3

b==4.75,

7000-7x3()2

a=399.3-4.75x30=257.从而得回来直线方程是y=4.75x+257.

第三章概率

一'基础精析

要点I：必定事务、不行能事务、随机事务

(1)必定事务：一般的，我们把在条件S下，肯定会发生的事务，叫做相对于条件S的必定事务,

简称必定事务；

(2)不行能事务：在条件S下，肯定不会发生的事务，叫做相对于条件S的不行能事务，简称不行

能事务；

(3)确定事务：必定事务与不行能事务统称为相对于条件必然事件

S的确定事务，简称确定事务。确定事件

<不可能事件

(4)随机事务：在条件S下可能发生也可能不发生的事务,事件

随机事件

叫做相对于条件s的随机事务，简称随机事务。

(5)确定事务和随机事务统称为事务。常用大写字母A,B,C等表示。

例1：下面一些事务，哪些肯定会发生?哪些肯定不会发生?哪些是可能发生的？

(1)导体通电时发热；

(2)抛一石块，下落；

(3)在标准大气压下且温度低于0°c时，冰溶化.

(4)在常温下，焊锡熔化；

(5)掷一枚硬币，出现正面；

(6)某人射击一次，中靶大于3小于11的偶数

要点2：频率与概率的定义

(1)频率：在相同的条件S下重复〃次试验，若某一事务A出现的次数为及A，则称“A为事务A出

现的频数，那么事务A出现的频率力(A)=2e[0,1]«

n

(2)概率：对于给定的随机事务A,假如随着试验次数的增加，事务A发生的频率力(A)稳定在某

个常数上，把这个常数记做P(A),称为事务A的概率，简称为A的概率。

例2：推断

(1)事务A发生的频率是不变的。()

(2)事务A发生的概率是不变的。()

(3)有人说，既然抛掷一枚硬币出现正面的概率为0.5,那么连续两次抛掷一枚质地匀称的硬币，

肯定是一次正面朝上，一次反面朝上。()

要点3：极大似然法

极大似然法：假如我们面临的是从多个可选答案中选择正确答案的决策问题，那么“使得样本出现的

可能性最大”可以作为决策的准则，例如在例题2中我们所做的推断。这种推断问题的方法称为极大

似然法。

要点4：事务的关系与运算

(1)一般地，对于事务A与事务B,假如当事务A发生时，事务B肯定发生，称事务B包含事务

A(或事务A包含于事务B)记为：B卫A(或A=B)。特殊地，不行能事务用中表示；任何事务都包含

不行能事务.

(2)一般地，当两个事务A、B满意：若BA,且AB,则称事务A与事务B相等，记作A=B.

(3)一般地，当且仅当事务A发生或事务B发生时，事务C发生，则称事务C为事务A与事务B的并

事务(或和事务)，记作C=AUB(或A+B).

(4)类似地，当且仅当事务A发生且事务B发生时，事务C发生，则称事务C为事务A与事务B的

交事务(或积事务)，记作C=ACIB(或AB)

(5)两个集合的交可能为空集，两个事务的交事务也可能为不行能事务，即APB=,此时，称事

务A与事务B互斥。

(6)若AAB为不行能事务，AUB为必定事务，则称事务A与事务B互为对立事务，事务A与事

务B有且只有一个发生.

例3：在掷骰子试验中，我们用集合形式定义如下事务：

Ci=｛出现1点｝,C2=｛出现2点｝,C3=｛出现3点｝,C4=｛出现4点｝,

C5=｛出现5点｝,C6=｛出现6点｝,D,=｛出现的点数不大于1｝,D2=｛出现的点数大于4｝,

D3=｛出现的点数小于6｝,E=｛出现的点数小于7｝,F=｛出现的点数大于6｝,

G=｛出现的点数为偶数｝,H=｛出现的点数为奇数｝,等等.

(1)上述事务中哪些是必定事务？哪些是随机事务？哪些是不行能事务？

(2)假如事务C.发生，则肯定有哪些事务发生？在集合中，集合Ci与这些集合之间的关系怎样描

述？

(3)分析事务Ci与事务Di之间的包含关系，按集合观点这两个事务之间的关系应怎样描述？

(4)假如事务C5发生或C6发生，就意味着哪个事务发生？反之成立吗？

练习1：一个人打靶时连续射击两次事务“至少有一次中靶”的互斥事务是(D)

A.至多有一次中靶B.两次都中靶C.只有一次中靶D.两次都不中靶

练习2：把红、蓝、黑、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁四人，每人分得一张，那么事务“甲分

得红牌”与事务“乙分得红牌”是(B)

A.对立事务B.互斥但不对立事务

C.必定事务D.不行能事务

要点5：概率的几个基本性质

(1)概率的加法公式：若事务A与事务B互斥，则AUB发生的频数等于事务A发生的频数与事务

B发生的频数之和，且P(AUB)=P(A)+P(B),这就是概率的加法公式.

(2)若事务A与事务B互为对立事务，则P(A)+P(B)=1.

(3)假如事务Ai,A2，…,An中任何两个都互斥,P(A|+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).

(4)任何事务的概率都介于0和1之间。不行能事务的概率为0,必定事务的概率为1.

(5)概率加法公式是对互斥事务而言的，一般地，P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB).

例4：某射手在一次射击训练中，射中10环、8环、7环的概率分别为0.21,0.23,0.25,0.28,计算

该射手在一次射击中：

(1)射中10环或9环的概率；

(2)少于7环的概率。

解：(1)该射手射中10环与射中9环的概率是射中10环的概率与射中9环的概率的和，即为

0.21+0.23=0.44»

(2)射中不少于7环的概率恰为射中10环、9环、8环、7环的概率的和，即为

0.21+0.23+0.25+0.28=0.97,而射中少于7环的事务与射中不少于7环的事务为对立事务，所以射中少

于7环的概率为1-0.97=0.03»

要点6：古典概率

(1)基本领件：在一次试验中可能出现的每一个基本结果称为基本领件；

(2)等可能基本领件：若在一次试验中，每个基本领件发生的可能性都相同，则称这些基本领件为

等可能基本领件；

(3)古典概型：满意以下两个条件的随机试验的概率模型称为古典概型

①全部的基本领件只有有限个；②每个基本领件的发生都是等可能的；

(4)古典概型的概率：

假如一次试验的等可能基本领件共有〃个，那么每一个等可能基本领件发生的概率都是上，假如

n

某个事务A包含了其中m个等可能基本领件，那么事务A发生的概率为P(A)=-.

n

例5：将一颗骰子先后抛掷两次，视察向上的点数，问：

(1)共有多少种不同的结果？

(2)两数的和是3的倍数的结果有多少种？

(3)两数和是3的倍数的概率是多少？

解：(1)将骰子抛掷1次，它出现的点数有1,2,3,4,5,6这6中结果。

先后抛掷两次骰子，第一次骰子向上的点数有6种结果，第2次又都有6种可能的结果，于是一

共有6x6=36种不同的结果；

(2)第1次抛掷，向上的点数为1,2,3,4,5,6这6个数中的某一个，第2次抛掷时都可以有两种结

果，使向上的点数和为3的倍数(例如：第一次向上的点数为4,则当第2次向上的点数为2或5时,

两次的点数的和都为3的倍数)，于是共有6x2=12种不同的结果.

(3)记“向上点数和为3的倍数”为事务A,则事务A的结果有12种，因为抛两次得到的36中