高考数学二轮复习 第1部分 重点强化 5 解析几何 第11讲 直线与圆教学案 理-人教版高三全册数学教学案

第11讲直线与圆

考纲要求真题统计命题规律锁定题型

分析近五年全国卷发现高考命题有

掌握圆的一般方程与标以下规律：

2017年II卷Tg；2017年ID卷T#；

准方程.理解直线与圆的1.圆的标准方程的求法是命题的热

1.圆的方程

位置关系、两圆之间的位2016年fl卷T4；2016年m卷T16;点，常以选择、填空题的形式出现，难度

2.直线与圆、圆与

量关系，能用直线与圆的2015年I卷T],；2015年II卷T?；中等.

圆的位置关系

方程解决一些简单的2014年n卷与2.直线与图的位置关系常结合其他

问题.知识综合考查，重点为应用圆的几何

性质解题

题型1圆的方程

（对应学生用书第38页）

・核心知识储备.........................................................

1.圆的标准方程

当圆心为（a,b）,半径为r时，其标准方程为（x—a）2+（y—62=产，特别地，当圆

心在原点时，方程为戈+/=武

2.圆的一般方程

x+^+Ox+Ey+F—0,其中〃+/一4Q0,表示以卜余一今为圆心,［毋+j——

为半径的圆.

■典题试解寻法.........................................................

【典题1］（考查应用圆的几何性质求圆的方程）（2017•山西运城二模）已知圆。截y轴所

得的弦长为2,圆心C到直线/：x—2y=0的距离为好，且圆。被x轴分成的两段弧长

□

之比为3：1,则圆。的方程为____.

【导学号：07804079］

［解析］设圆C的方程为（x—血2+3—6）2=/,则点C到x轴,/轴的距离分别为|引，

/=才+1,

a\.由题意可知＜

I\a—2b\y[5

5

、木

a=1,

或＜6=1,

y=2.

故所求圆C的方程为(x+l)2+(y+l)2=2或(X—l)2+(y—1)2=2.

［答案］（x+l）?+（y+l）2=2或（x—l）2+（V—1）2=2

【典题2】（考查待定系数法求圆的方程）（2017•广东七校联考）一个圆与y轴相切，圆心

在直线*—3y=0上，且在直线/=不上截得的弦长为2巾，则该圆的方程为.

［思路分析］法一：利用圆心在直线x—3尸0上设圆心坐标为（3a,a）-►利用半径、

弦心距、半弦长构成的直角三角形列出关于a的方程，求解a的值一得出圆的方程;

法二：设圆的方程为（才一2尸+⑷一。）2=产一利用条件列出关于a,b,r的方程组一

解方程组，得出圆的方程；

法三：设圆的方程为/+/+以+/+尸=0-＞利用条件列出关于久E、尸的方程组一

解方程组，得出圆的方程.

［解析］法一：（几何法）I•所求圆的圆心在直线x—3尸0上，

.•.设所求圆的圆心为（3a,a）,

又所求圆与y轴相切，，半径r=3\a\,

又所求圆在直线y=x上截得的弦长为2巾，圆心（3a,a）到直线y=x的距离d=左,

；./+（巾）2=/,即2:+7=9a2,.*.a=±l.

故所求圆的方程为5—3）2+（片-1）2=9或（了+3）2+3+1）2=9.

法二：（待定系数法：标准方程）设所求圆的方程为（*—a）2+（y—b）2=产，则｛

由于所求圆与y轴相切，，产=才，

又，・,所求圆的圆心在直线x—3y=0上，，a—38=0,

a=3,a——3»

联立①②③，解得|6=1,

或＜6=­L

=9=9.

故所求圆的方程为5+3尸+5+1）2=9或（x—3尸+3—1尸=9.

法三：（待定系数法：一般方程）设所求的圆的方程为/+/+以+发+6=0,则圆心

坐标为卜多一。半径片一4年

在圆的方程中，令x=0,得/+/+尸=0.

由于所求圆与y轴相切，.•./=（）,则/=4五

D.E

+

(DE~22

圆心卜5,-2倒直线y=x的距离为d=~^—,

由已知得d+（小＞=产，即（。一£）2+56=20+1—4Q.

又圆心「多一g在直线x—3尸。上,

."-36=0.

\9=-6,Q6,

联立①②③，解得＜£=一2,或E=2,

/=1A=l.

故所求圆的方程为x+y—6x—2y+l=0或x+y+6x+2y+l=0.

［答案］/+/—6x—2y+l=0或V+/+6x+2y+l=0

［类题通法］求圆的方程的两种方法

1.几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方

程.

2.代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数.

■对点即时训练.........................................................

1.若直线y=4x与圆(x—2)"+/=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称，则点(％6)

所在的圆为()

2

A.(x—g)+(y+5)2=1

2

B.(x-g)+(y—5)2=1

2

C.(x+g)+(y-5尸=1

2

D.(x+上)+(y+5)2=l

A［由题意知直线与直线2x+y+3=0互相垂直，所以A=1.又圆上两点关于

直线2x+y+6=0对称，故直线2x+y+6=0过圆心(2,0),所以6=—4,结合选项

2

可知，点Q，在圆(x-0+(y+5)2=l上，故选A.］

2.抛物线/=4x与过其焦点且垂直于x轴的直线相交于4,8两点，其准线与x轴的交点

为)M,则过M,A,8三点的圆的标准方程为

【导学号：07804080］

(%-1)2+7=4•抛物线/=4x与过其焦点且垂直于x轴的直线相交于48两点,

'.A,8两点的坐标分别为：(1,2),(1,—2),

又准线与x轴的交点为M,点的坐标为(-1,0),

则过机A,8三点的圆的圆心在x轴，

设圆心坐标为O(a,0),

则|的|=I〃加，即.a-l」+22=a-(—1),

解得a=l..♦.圆心坐标为(1,0),半径为2.故所求圆的标准方程为5—1)2+/=4.]

■题型强化集训.........................................................

(见专题限时集训“、4、Tu、Tn)

题型2直线与圆、圆与圆的位置关系

(对应学生用书第39页)

■核心知识储备.........................................................

1.直线与圆的位置关系

相交、相切和相离，直线与圆的位置关系的判断方法主要有点线距离法和判别式法.

(1)点线距离法：设圆心到直线的距离为d,圆的半径为r,则直线与圆相交,

直线与圆相切，直线与圆相离.

(2)判别式法：设圆C：(x—a)?+5—8)2=产，直线7；及+&+。=0,联立

\Ax-\-By-\-C=Q,

,2z消去必得关于x的一元二次方程，其根的判别式为

[x—a2+y~b=r

/,则直线与圆相离O/<0,直线与圆相切=4=0,直线与圆相交04>0.

2.圆与圆的位置关系

设圆G：(X—ai)2+(y—bi)2—n,圆G：(x—(y—庆”=£,两圆心之间的距离

为d,则圆与圆的五种位置关系的判断方法如下：

(1)0>八+「20两圆外离；

(2)d=r+go两圆外切；

(3)|八一"I<d<ri+r2Q两圆相交；

(4)d=\n-r2\两圆内切;

(5)0WdVri—Z2I(riWs)o两圆内含.

■典题试解寻法.........................................................

【典题1】(考查弦长问题)(2016•全国HI卷)已知直线/：3+什3加一■=0与圆/+

/=12交于4，6两点，过4,6分别作/的垂线与x轴交于G。两点.若|4?|=2，5,

则\CD\=

［解析］由直线/：mx+y+30—4=0知其过定点(一3,小),圆心0到直线1的

13zg~\/31

距离为d=

yjnf+1

由|初=2/得+(小)2=⑵解得片—坐又直

线/的斜率为〜邛，所以直线，的倾斜角°吟

画出符合题意的图形如图所示，过点。作如机则/%£弋.在Rt△愧中，可

得|CD\=-=2第X<==4.

cos</V小

［答案］4

【典题2】(考查直线与圆位置关系的综合应用)(2017•广东汕头高三期末)如图11-1,在

平面直角坐标系刀火中，已知以M为圆心的圆M-.x+/—12x—14y+60=0及其上一点

A(2,4).

图11-1

(1)设圆及与x轴相切，与圆M外切，且圆心A'在直线x=6上，求圆N的标准方程;

⑵设平行于0A的直线1与圆M相交于B,C两点，且BC=OA,求直线1的方程；

⑶设点7(。0)满足：存在圆"上的两点夕和Q使得"70,求实数C的取值

范围.

【导学号：07804081］

［解］圆"的标准方程为5—6)2+3-7)2=25,圆心"(6,7),半径为5.

(1)由圆心N在直线x=6上，可设M6,%),因为圆N与x轴相切，与圆物外切，所

以0<%<7.于是圆N的半径为先,从而7—%=5+%，解得％=1,因此，圆N的标

准方程为(x-6)2+(y—l)2=l.

4—0

(2)因为直线/〃物，所以直线/的斜率为…=2.设直线/的方程为y=2x+w,即

z—0

|2X6-7+/〃|Iin+5|

2x—y+/=0,则圆心材到直线1的距离d—;因为BC=OA=

2

122+4'2=2巾,而/必=</+(今)，所以25=―一+5,解得0=5或0=一15.

故直线/的方程为2x—y+5=0或2x—y-15=0.

—ff(X2—X1+2—t,

(3)设P1x\,㈤，。(如㈤.因为1(2,4)，式t,^,TA+TP=TQ,所以，

.度=%+4

①.因为点。在圆"上，所以(七-6)?+(%—7尸=25.将①代入②，得(为一/一幻?+

5-3)2=25.于是点于*,㈤既在圆"上，又在圆［x—(t+4)『+(y—3尸=25上，

从而圆(x—6)2+(y—7)2=25与圆［%—&+4)了+5—3)2=25有公共点，所以5—

5W/~t+4-6『+3-7?W5+5,解得2—2［五W£2+2弧.因此实数t

的取值范围是［2—2的，2+2*］.

［类题通法］解决直线与圆、圆与圆位置关系问题的方法

1讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性

质寻找解题途径，减少运算量.

2圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上

的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与

另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题.

■对点即时训练.........................................................

1.已知P是直线4x+y+4=0(A>0)上一动点，PA,如是圆G*+/一2尸()的两条切线，

切点分别为4,B,若四边形用龙的最小面积为2,则在的值为()

A.3B.2

C.1I).|

B［将圆。的方程化为标准方程，即f+(y—l)2=l,所以圆。的半径为1.S啦彩丽

=\PA\•\AC\=\PA\=^^-<^=^6^-1,可知当|(T|最小，即CP，/时，四边形

用"的面积最小，由最小面积N的一1=2得乖,由点到直线的距离公式得

\CP\=舟=4因为A>0,所以4=2.故选B.］

2.已知双曲线/一/=1的左、右两个焦点分别是£、K,。为坐标原点，圆。是以为

直径的圆，直线/：乖”—/y+t=O与圆。有公共点，则实数t的取值范围是()

A.[-2,2]B.[0,2]

C.[-4,4]D.[0,4]

C[双曲线彳2—7=1的两个焦点分别是6(一/，0),F式木,0),从而圆。的方程

为。+/=2.因为直线乖才―第尸|_1=o与圆。有公共点，所以有力台在忘镜，即

\5+3

"IW4,从而实数方的取值范围是[—4,4],故选C]

■题型强化集训

(见专题限时集训丁2、T八丁5、丁6、%、18、T9、TgTgTH)

三年真题I验收复习效果

(对应学生用书第40页)

1.(2016•全国II卷)圆x+y—2x—8y+13=0的圆心到直线ax+y—1=0的距

回I

离为1,则a=()

4B--]码上白一扫

A.—r看精彩微课

C.y[3D.2

A[圆-2x—8y+13=0的标准方程为(x—1)2+(y—4)*=4,由圆心到直线ax

Ia+4-1：4

+y-l=0的距离为1可知=1,解得a=-故选A.]

N#+1’

2.(2015•全国II卷)过三点4(1,3),6(4,2),<7(1,-7)的圆交y轴于卷2两点,则|恻

=()

【导学号：07804082]

A.2#B.8

C.4mD.10

C[设圆的方程为xZ+^+Ox+O+QO,

力+36+尸+10=0,D=-2,

解得卜=4,

贝4。+2£+尸+20=0,

，-7-50=0.片一20.

；・圆的方程为x+y—2x+4y—20=0.

令x=0,得尸一2+2m或y=-2—2小，

・；V(0,—2+2m)，M0,—2—2加)或以0,-2-2^/6),/V(0,-2+2乖)，A\MN\

=4#,故选C.]

22

3.(2015•全国I卷)一个圆经过椭圆9+个=1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则

164

该圆的标准方程为.

2

（X—|）+/咨［由题意知a=4,6=2,上、下顶点的坐标分别为（0,2）,（0,一

2）,右顶点的坐标为（4,0）.由圆心在x轴的正半轴上知圆过点（0,2）,（0,-2）,（4,0）

m+4=/,

三点.设圆的标准方程为（X—血2+/=产（0＜加4,玲0）,贝I」22解得

4