高一数学课堂抄重点讲义(人教A版2019必修第二册)6.2.3向量的数乘运算(讲义+例题+小练)(原卷版+解析)

6.2.3向量的数乘运算一、实数与向量的积实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度和方向规定如下：（1）模：；（2）方向：当时，的方向与的方向相同，当时，的方向与的方向相反，当时，，注意：.例1．如图，在△ABC中，D，E分别在AB，AC上，且，则_______.举一反三若，则下列各式中不正确的是（）．A． B． C． D．数乘向量的运算律:结合律：第一分配率：（3）第二分配率：例2：计算：(1)；(2)．举一反三1、如图，已知向量，，求作向量．2．计算：(1)；(2)．三、共线向量定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa.例3．①O是空间任意一个确定的点，点P在直线上，且，则（）A．1 B． C． D．②如图，，不共线，且，用，表示．（等价于A、B、P三点共线）举一反三1．已知，且，则实数___________.2．设是不共线的两个非零向量．若与共线，求实数的值．3．在四边形ABCD中，已知，，，其中，是不共线的向量，试判断四边形ABCD的形状．4．如图，在中，C是AB的中点．设，，试用，表示．巩固提升一、单选题1．下列命题中正确的是（）A．－＝ B．＋＝0C．0·＝ D．＋＋＝2．下列各式计算正确的个数是（）①−7×6a⃑=−42aA．0 B．1C．2 D．33．设，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则（）A． B． C． D．4．已知是内一点，满足，则（）A． B． C． D．二、多选题5．向量，，则下列说法正确的是（）A． B．向量方向相反C． D．6．（多选）已知向量，不共线，若，，且A，B，C三点共线，则关于实数，的值可以是（）A．2， B．−3，C．2， D．−3，三、填空题7．在正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若，则______．8．已知向量，，则______．四、解答题9．在中，点P是AB上一点，且，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，且，求t的值．10．如图，已知D，E分别为△ABC的边AB，AC的中点，延长CD到M使DM=CD，延长BE至N使BE=EN，求证:M，A，N三点共线.6.2.3向量的数乘运算一、实数与向量的积实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度和方向规定如下：（1）模：；（2）方向：当时，的方向与的方向相同，当时，的方向与的方向相反，当时，，注意：.例1．如图，在△ABC中，D，E分别在AB，AC上，且，则_______.【答案】【解析】【分析】由题知，，进而得.【详解】解：∵，，∴.∴.又与同向，∴.故答案为：举一反三若，则下列各式中不正确的是（）．A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根据向量的数乘的定义判断．【详解】如图，由知在延长线上，且，因此由向量数乘定义知ABC三个选项均正确，D错误．故选：D．数乘向量的运算律:结合律：第一分配率：（3）第二分配率：例2：计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)利用向量运算律可化解合并(2)利用向量运算律可化解合并(1)原式=(2)原式=举一反三1、如图，已知向量，，求作向量．【解析】【分析】先把向量的起点放在一起，画出与，再连接终点，指向被减向量，即可求解【详解】如图1，作，，连接BA，则如图2，作，，连接BA，则2．计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）利用向量的线性运算即可求解；（2）利用向量的线性运算即可求解；(1).(2)三、共线向量定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa.例3．①O是空间任意一个确定的点，点P在直线上，且，则（）A．1 B． C． D．【答案】C【解析】【分析】由三点共线可得，从而可求出的值【详解】因为点P在直线上，且，所以，得，故选：C②如图，，不共线，且，用，表示．（等价于A、B、P三点共线）【分析】根据向量的三角形法则可得，再根据得,把用表示出来即可。【详解】解：因为，所以．【点睛】本题主要考查了向量的三角形法则，属于基础题。举一反三1．已知，且，则实数___________.【答案】【解析】【分析】根据向量共线和向量数乘求解即可.【详解】解：因为，所以三点共线，其位置关系如图，其中点在线段的四等分点靠近点的位置，所以，所以故答案为：2．设是不共线的两个非零向量．若与共线，求实数的值．【答案】k＝±4.【解析】【分析】由题意与共线，结合向量共线定理即可求得答案.【详解】由不共线可知为非零向量，而与共线，所以存在唯一实数，使得，即.因为不共线，所以.3．在四边形ABCD中，已知，，，其中，是不共线的向量，试判断四边形ABCD的形状．【答案】四边形是梯形【解析】【分析】根据共面向量基本定理可知，，即可判断四边形形状.【详解】如图所示，，所以，即，且.所以四边形是梯形.4．如图，在中，C是AB的中点．设，，试用，表示．【答案】【解析】【分析】根据向量的加法、减法及数乘运算，求解即可.【详解】根据向量的加法，减法及数乘运算法则可得：巩固提升一、单选题1．下列命题中正确的是（）A．－＝ B．＋＝0C．0·＝ D．＋＋＝【答案】D【解析】【分析】根据向量的减法运算，可判断A;根据相反向量的和应为零向量可判断B;根据向量的数乘判断C;根据向量的加法判断D.【详解】起点相同的向量相减，则其结果应是指向被减向量，即－＝，故A错；，是一对相反向量，它们的和应该为零向量即＋＝，故B错，；0与向量的数乘应是零向量，即0·＝，故C错；根据向量的加法法则，’＋＋＝,故D正确，故选：D.2．下列各式计算正确的个数是（）①−7×6a⃑=−42aA．0 B．1C．2 D．3【答案】C【解析】【分析】根据向量加减，数乘运算依次运算求解即可.【详解】解：根据向量数乘的运算律得−7×6a⃑=−42a所以计算正确的个数是2个.故选：C.3．设，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根据向量与向量共线，由求解.【详解】因为，是两个不共线的向量，且向量与向量共线，所以，即，所以，解得，故选：D4．已知是内一点，满足，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根据向量的加法和减法运算由条件，可得出，然后即可得到是的重心，从而可得出答案.【详解】，所以是的重心，所以.故选：A.二、多选题5．向量，，则下列说法正确的是（）A． B．向量方向相反C． D．【答案】ABD【解析】【分析】由已知可得，根据向量共线定理及数乘的几何意义、模长的求法即可判断各选项的正误.【详解】由，，可得，即且方向相反，故A、B、D正确；由上可得，故C错误.故选：ABD.6．（多选）已知向量，不共线，若，，且A，B，C三点共线，则关于实数，的值可以是（）A．2， B．−3，C．2， D．−3，【答案】AB【解析】【分析】利用平面向量共线基本定理即可求解.【详解】因为A，B，C三点共线，则存在实数，使得，即，即，所以，又因为向量，不共线，所以，解得，所以实数，的值互为倒数即可求解.故选：AB三、填空题7．在正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若，则______．【答案】【解析】【分析】由题意结合平面向量线性运算法则可得，由平面向量基本定理可得，即可得解.【详解】由题意画出图形，如图所示：由题意可得，又，所以，从而，即.故答案为：.8．已知向量，，则______．【答案】##【解析】【分析】利用向量的线性运算即得.【详解】∵向量，，∴.故答案为：四、解答题9．在中，点P是AB上一点，且，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，且，求t的值．【答案】【解析】【分析】由，化简为，得到点P是AB的一个三等分点（靠近A点），再根据A，M，Q三点共线，设，然后用分别表示向量，再根据求解.【详解】如图所示：因为，所以，所以，即，所以点P是AB的一个三等分点（靠近A点），又因为A，M，Q三点共线，且Q为BC的中点，设，则，，因为，所以，