高中数学题型全面归纳（学生版）：第二节三角函数的图像与性质

第二节三角函数的图像与性质

考纲解读

1.理解正弦、余弦函数在区间［0,2句的性质（如单调性、最大值和最小值以及

与轴的交点等），理解正切函数在区间的单调性.

2.了解函数Asin（8+0）的物理意义，能画出Asin（0x+°）的图像，了解参数

A,他0对函数图像的影响.

3.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数，会用三角函数解决一些简单

实际问题.

命题趋势探究

1.形如Asin（s+0）的函数性质为高考必考内容，可在选择题，填空题中直接

考查其周期性、单调性、对称性、最值、图像的平移和伸缩变换、由图像确定解

析式等，解答题常与平面向量解三角形相结合，难度为中低档.

2.本节知识在高考中出现的频率高，题型比较稳定，考点核心是把所给函数式

化成Asin（3x+°）的形式，解答关于其图像与性质的问题

1.“五点法''作图原理

在确定正弦函数丁=sinx（xe［0,2;r|）的图像时，起关键作用的5个点是

jr37r

22

在确定余弦函数丁=cosx（xe［（）,2;r］）的图像时，起关键作用的5个点是

TTS7T

22

2.三角函数的图像与性质

y=sinxy=cosx

在［0,2句上11

0一-一M/x0一一2nx

的图像-1-1

定义域(-00,+oo)(—00,-Foo)

值域（有界性）[-1,1][T,l]

最小正周期2424

（周期性）

奇偶性（对称性）奇函数偶函数

单调增区间2KTI----,2k"——(ZGZ)[2k7i-7r,GZ)

_22.

2攵1+工,2%万十网

单调减区间(丘2ATT+7](左£Z)

_22_z)

对称轴方程2"+夕攵£Z）x=kjr(keZ)

(版■+.eZ)

对称中心坐标（左匹0）（左LZ）

最大值及对应自兀

x=2上乃+—时[sinx]=1%=224时185%]=1

变量值2LJmaxLJmax

最小值及对应自37r

x=2k7t+——时[sinx].=-1%=2左乃+乃时b051].=-l

变量值2LJminLJmin

函数正切函数丁=tanx,x#k兀+

y\

图像J

-710兀X

定义j万7J

plxwk乃d——,kwZ>

域2J

值域(—00,+oo)

周期

T-71

性

奇偶

奇函数，图像关于原点对称

性

单调JTTT

在（一5+左肛耳+左乃）,（ZeZ）上是单调增函数

性

对称

无

轴

对称(

aeZ)

中心心。:

3.y=Asin(皿x+0)与y=Acos(vvx+0)(A>0,w>0)的图像与性质

27r

(i)最小正周期：r=—.

w

(2)定义域与值域：y=Asin(wx+(p),y=Acos(wx+0)的定义域为R,值域为

(3)最值

假设A>0,w>0.

①对于y=Asin(vvx+e),

当卬x+0=—+2&乃(AEZ)时，函数取得最大值4;

V2

当wx+°=-工+2匕r(Z€Z)时，函数取得最小值一A;

.2

②对于y=Acos(Ma十°),

当卬X+9=2Z〃(ZeZ)时，函数取得最大值4;

当wx+夕=2卜兀+7t(kGZ)时，函数取得最小值-A;

(4)对称轴与对称中心.

假设A>0,w>0.

①对于y=Asin(vur+9),

兀

当松。+夕=攵乃+,(攵£Z),BPsin(wx0+夕)

<=±1时，y=sin(wx+°)的对称轴为¥=%o

当松0+°=k7i(kGZ),即sin(卬/+夕)=0

时，y=sin(wx+9)的对称中心为Oo,0).

②对于y=Acos(ua+夕),

兀

当w%o+夕=k(kGZ),BPcos(wx0+0)=±1

时，y=cos(wx+e)的对称轴为¥=%

当wx()+夕=%乃+彳(女eZ),即cos(vvxo+e)

=0H寸，y=cos(vvx+尹)的对称中心为&,0).

正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大(小)值的位置.正、余弦的对称中心是相应函数

与x轴交点的位置.

(5)单调性.

假设A>0,卬>0.

①对于y=Asin(wx+0),

wx+9£［——+2%肛一+2女乃］(Z£Z)n增区间;

〈22

wx+(DE［至+2攵万，红+2攵万］(%eZ)n减区间

I22

②对于y=Acos(wx+(p),

wx+°w[-7U+2k兀,2kil(k£Z)=增区间；

*

wx+(pe[2Z肛2ATT+7i](k£Z)n减区间

(6)平移与伸缩

TT

由函数y=sinx的图像变换为函数y=2sin(2x+§)+3的图像的步骤；

TTTT

方法一：(x-x+——2x+—).先相位变换，后周期变换，再振幅变换，不妨采用谐音

23

记忆：我们“想欺负”(相一期一幅)三角函数图像，使之变形.

.4JE值向左平移]个单位JI_所有点的横坐标变为原来的1

y=sinx的图像--------2-------＞y=sin(x+的图像-------纵巫标木变——。

y=sin(2x+工)的图像所有点的鬻膂季来的②倍＞y=2sin(2x+工)的图像

TW-X-JZP,I

向上平移3个单位＞y=2sin(2x+§+3

7T7F

方法二：(x-x+——2x+—).先周期变换，后相位变换，再振幅变换.

23

,花所有点的横坐标变为原来的?.-,,⑻田向左平移J个单位

y=sinx的图像-------丽诉而——jy=sin2x的图像--------------＞

y=sin2(x+—)=sin(2x+])的图像一所有点的来的?倍＞

y=2sin(2x+的图像向上平移3各单位＞y=2sin(2x+y)+3

注：在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩(先相位后周期，即“想欺负”)，但先伸缩后平

移(先周期后相位)在题目中也经常出现，所以必须熟练掌握，无论哪种变化，切记每一个

变换总是对变量x而言的，即图像变换要看“变量了”发生多大变化，而不是“角via+夕”变

化多少.例如，函数y=sin2x的图像向右平移[•个单位，得到的图像表达式是

TTJTTT7T

y=sin2(x----)=sin(2x----),而不是y=sin(2x----)；再如，将图像y=sin(x+—)

6366

上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，得到的函数图像表达式是

y=sin(-x+-),而不是y=sinL(x+M).此点要引起同学们的的别注意.

2626

题型归纳及思路提示

思路提示

一般将所给函数化为y=Asin(wx+(p)或y=Acos(wz+^),A>().vv>0,然后依据

y=sinx,y=cosx的性质整体求解.

一、函数的奇偶性

例4.16函数y=sin(x+0)(O<°<%)是R上的偶函数，则"等于()

7171

A,0B.—C.—D.71

42

评注由y=sinx是奇函数和y=cosx是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要

结论：

(1)若丁=Asin(x+e)为奇函数，则夕=k?r(ZeZ)；

7T

(2)若丁=Asin(x+。)为偶函数，则°万+万(&wZ)；

7T

(3)若y=Acos(x+0)为奇函数，则°=%)+,(左£Z)；

(4)若y=Acos(x+°)为偶函数，则0=%»(%£Z)；

若丁=41@!1。+0)为奇函数，则0=5-(AEZ),该函数不可能为偶函数.

变式1已知aeH,函数/(x)=sinx-|4(xeR)为奇函数，则a等于().

A.0B.1C.-1D.±1

变式2设则“0=0”是“/(x)=cosa+e)(xeR)为偶函数”的().

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不比哟啊条件

变式3设/(x)=sin(松+0),其中w>0,则/(x)是偶函数的充要条件是().

A./(0)=1B./(0)=0C.尸(0)=1D.r(0)=0

TT

例4.17设函数小）5②-5）品科则/⑺是（）,

A.最小正周期为乃的奇函数

B.最小正周期为7的偶函数

C.最小正周期为王的奇函数

2

D.最小正周期为卫的偶函数

2

变式1若函数/（1）=5亩2%一（（工€马，则/（幻是（）

A.偶函数且最小正周期为％

B.奇函数且最小正周期为万

C.偶函数且最小正周期为2»

D.奇函数且最小正周期为2"

变式2下列函数中，既是（0,0）上的增函数，又是以不为周期的偶函数的是（）

A.y-cos2xB.y=|sin2x|C.y=|cosx|D.y=|sin$

二、函数的周期性

777T

例4.18函数〉=$皿21+—江05（2天+—）的最小正周期为（）

66

jljr

A.—B.—C,27rD,7t

24

评注关于三角函数周期的几个重要结论：

（1）函数y=Asin（wx+（p）+b,y=Acos（皿x+夕）+〃,y=Atan（vux+0）+Z?的周期分别

27r7i

为T=」~,T=

HM

兀

⑵函数y=|Asin(皿r+矶y=|ACOS(H%+9)|,y=|Atan(wx+0)|的周期均为7二口

27r

(3)函数y=|Asin(vur+0)+闿(。wO),y=|Acos(ux+e)+qSw°)的周期均T=-p-j-.

TTjr

变式1函数y=sin（2x+J）cosQx+—）的最小正周期和最大值分别为（）

63

A.万,1B.71,42C.24,1D.2肛J5

变式2已知函数/(X)=sinx(sinx-cosx)(xeR),则/(x)的最小正周期为.

变式3设函数/5)=5m3工+卜皿3可，则/(幻为()

A.周期函数，最小正周期为27F

3

B.周期函数，最小正周期为2二7r

3

C.周期函数，最小正周期为2»

D.非周期函数

二、函数的单调性

7T

例4.19函数y=2sin(----2x)(x£[0,7])为增函数的区间是()

6

rc汽、_「乃,,715兀、「5万1

A・[0,—]B.C,rD.

31212366

评注三角函数的单调性，需将函数)=Asin(wx+°)看成由一次函数和正弦函数组成的

复合函数，利用复合函数单调区间的单调方法转化为解一元一次不等式.

如函数y=Asin(wx+°)(A>0,w>0)的单调区间的确定基本思想是吧皿¥+0看做是一

TTTT

个整体，如由2&乃一万■4松+e42Zx+5(keZ)解出x的范围，所得区间即为增区间；

7T3乃

由2氏+耳4松+042A:x+5-(k€Z)解出x的范围，所得区间即为减区间.若函数

y=Asin(HX+°)中A>0,卬>0,可用诱导公式将函数变为y=-Asin(-H%-Q),贝！1

y=Asin(—松一。)的增区间为原函数的减区间，减区间为原函数的的增区间.如

y=sin(--x)=-sin(x--),令2一工4x一工+工，即

'44242

yr37r7E37r

2k7i一一4x«2Z万+乙(左eZ),可得[2%左一一,24%+——](AeZ)为原函数的减区间.

4444

对于函数y=Acos(vur+0),y=Atan(nx+。)的单调性的讨论与以上类似处理即可.

TT3乃

变式1若函数丁=$皿%+/(%)在［——,二］内单调递增，则/(X)可以是().

44

A.1B.cosxC.sinxD.-cosx

TTn

变式2已知w>(),函数/(x)=sin(wx+2)在(生，])上单调递减，则w的取值范围是

42

()

A.弓,1]艮仁(。,万]D(0,2]

变式3已知函数/(x)=J5sinwx+cos(wx+—)+cos(wx--),xeR,(vv〉0)

(1)求函数/(x)的值域;

jrTT

(2)若/(x)的最小正周期为耳,XG[0,,],求/(x)的单调递减区间.

四、函数的对称性(对称轴、对称中心)

TT

例4.30函数y=sin(2x+10图像的对称轴方程可能是()

评注关于三角函数对称的几个重要结论；

7F

(1)函数y=sinx的对称轴为x=br+](AeZ),对称中心为(版'.O)/eZ)；

7T

(2)函数y=cosx的对称轴为元=左"(左£Z),对称中心为(氏乃+耳,0)伏£Z)；

k冗

(3)函数y=tanx函数无对称轴，对称中心为(工-,0)aeZ)；

7T

(4)求函数y=4$亩(皿¥+夕)+。(卬工0)的对称轴的方法；令松+。=耳+女"6£Z),

71,

—+k7T-(p

得x=2-------(ZeZ)；对称中心的求取方法；令松+Q=)br(AeZ),得

W

k,7i—(p4-A,।、/k7i—cpI、

x=-----，即ar1对称中心为u(------匕，h).

ww

(5)求函数y=Acos(vux+°)+Z?(ww0)的对称轴的方法；令vux+0=攵乃(女£Z)得

717C

—+kTT_(p—+K7l-(p

x=2-------，即对称中心为(2--------,b)(keZ)

ww

rr

变式1已知函数/（幻=5m（燧+§）（卬>0）的最小正周期为乃，则该函数的图像（）.

jrrr

A.关于点（一,0）对称B.关于直线*=位对称

34

C.关于点（?,0）对称D.关于直线x=?对称

JT

变式2y=sin(x—j)的图像的一个对称中心是()

4

3乃34

A.(—71,0)B.(——,0)C.(—―,0)D.(―,0)

442

变式3已知将函数/（x）=tan"+gJ（2</<10）的图象向右平移看个单位之后与

/（x）的图象重合，则”=（）

A.9B.6C.4D.8

变式4将函数y=sinx-J5cos尤的图像沿x轴向右平移。个单位（a>0）,所得图像关

于y轴对称，则a的最小值是（）.

五、三角函数性质的综合

思路提示

三角函数的性质（如奇偶性、周期性、单调性、对称性）中，尤为重要的是对称性.

因为对称性=奇偶性（若函数图像关于坐标原点对称，则函数/（X）为奇函数；若函数图像

关于y轴对称，则函数/（X）为偶函数）；

对称性=周期性（相邻的两条对称轴之间的距离是T上；相邻的对称中心之间的距离为T上；

22

T

相邻的对称轴与对称中心之间的距离为一）；对称性=单调性（在相邻的对称轴之间，函

4

数/（x）单调，特殊的，若/（x）=Asin（松）,A>0,w>0,函数/（x）在收,％］上单调，

且。€［4,为］，设夕=max{aM}，则52。深刻体现了三角函数的单调性与周期性、对

称性之间的紧密联系）

JT

例4.21设/(%)=asin2x+/?cos2x,其中a.heR,abw4,若/(x)</(—)对一切x£R

6

恒成立，则

①/（*1\jT）=0；

②"

③/（x）既不是奇函数也不是偶函数；

yr27r

④/（x）的单调递增区间是伙乃+々,攵乃+丝］（ZeZ）；

63

⑤存在经过点（。力）的直线与函数/（x）的图像不相交.

以上结论正确的是（写出所有正确命题的序号）

例4・22设/(x)=4COS(MZX----)sinwx-cos(2wx+TT),其中w>0

6

(1)求/(x)的值域；

(2)若了=/(x)在区间［—当上为增函数，求卬的最大值.

评注一般的，若/(x)(xeR)为奇函数，在血,劣］上为增函数，其中4<0<%，若令

9=max{|4|,阂},则即可求出w的范围.

7T24

变式1已知函数/(x)=2sin(vw),其中常数w>0,若y=/(x)在上单调递

增，求w的取值范围.

变式2已知函数/(x)=2sin(皿x)(卬>0),/)=吗)在［―上的虽小值为-2,

则w的最小值为.

评注本题融汇了三角函数/（x）=sin（wx+0）的最值（对称轴）、周期性、单调性之间的

相互关系与转化

题型62根据条件确定解析式

方向一：“知图求式”，即已知三角形函数的部分图像，求函数解析式.

思路提示

已知函数图像求函数y=Asin（皿x+0）（A>0,w>0）的解析式时，常用的解析方法是待定

系数法，由图中的最大值或最小值确定A,由周期确定w,由适合解析式点的坐标确定0,

但有图像求得的y=Asin（wx+0）（A>0,w>0）的解析式一般不唯一，只有限定中的取值

范围，才能得出唯一解，将若干个点代入函数式，可以求得相关特定系数A,w,°,这里需

要注意的是，要认清选择的点属于“五点”中的哪一个位置点，并能正式代入式中，依据五点

列表法原理，点的序号与式子的关系是：“第一点”（及图像上升时与x轴的交点）为

TT

wx+e=O；“第二点”（即图像曲线的最高点）为+°=“第三点”（及图像下降时

与轴的交点），为四+°=万；“第四点''（及图像曲线的最低点）为松+9=芋37r；"第五

点''（及图像上升时与X轴的交点）为松+°=2万.

例4.24函数/(幻=45m21+0)(4,夕€/?)的部分图像如图4-25所示，那么/(0)=()

评注对于三角函数问题中的“知图求式”(及其性质)，应重点关注以下方面

(1)周期(可推出w的值域范围)

(2)振幅(可推出A(A>0))

(3)特征点(可形成三角方程，以求0的值)

对于本题代入零点(与，0)，(X。为上零点)，则满足Asin(卬尤0+8)=0,所以

兀-G

(p=2kwx0,kZ,/(0)=Asin。=Asin(-wx0)=-Asin(wx0)

7T

--2sin(2x一)=-1,对于正弦型函数/(x)=Asin(Ma+e)(w>0,0£H),若已知上

零点则/(0)=-Asin(wxo).同理，若已知下零点刘，贝iJ/(O)=Asin(X).

例4.25已知函数丁=Asin（H%+0）（A>O,w>0,|同<乃）的部分图像如图4・28所示，求

函数/（%）的解析式.

变式一已知/(%)=«)52(松+0)(卬,夕为常数)，如果存在正整数卬常数0使得函数

/(x)的图像经过点(1,0)如图4-29所示，求w的值.

方向二：知性质(如奇偶性、单调性、对称性、最值)

求解函数解析式(即A,vv,°的值的确定)

3万

例4.26已知函数/(%)=5111(皿¥+0)0>0,0<0<乃)为/?上的偶函数，其中点(——,0)

4

TT

是一个对称中心，且在区间［0,耳］上为单调函数，求函数/(x)的解析式.

分析本题的目标是求明“因为y=sin(wx+°)为偶函数，则必关于y轴对称，因此化为

TTTTTTT

y=cosvvr的形式，由函数在［0,—］上单调，则［0,—］最多只会是半个周期，即一2—,

2222

r\

从而得了=上得w的范围，再代入对称中心求解.

w

评注根据函数必关于y轴对称，在三角函数中联想到y=cos皿r的模型，从图象、对称

轴、对称中心、最值点或单调性来求解.

TT

变式一：已知函数/(x)=4sin(wx+Q)(W>0,0<°<eR)图像的两条相邻对称轴的

7F

距离为一，且经过点(0,2).

3

(1)求/(x)的最小正周期；

(2)求函数/(x)的解析式.

题型63函数的值域(最值)

思路提不

求三角函数的最值，通常要利用正、余弦函数的有界性，一般是通过三角变换化归为下列基

本类型处理.

(1)y=asinx+b,设，=sinx,化为一次函数y=勿+人在上的最值求解.

(2)y=Qsinx+〃cosx+c,引入辅助角°(tan0=2),化为

y=JcJ+sin(x+0)+c,求解方法同类型(1)

(3)y=々sin?x+〃sinx+c,设1=5皿%，化为二次函数y=。/+4在闭区间

tG[-1,1]上的最值求解，也可以是y^Qco/x+bsinx+c或y=〃cos2x+/?sinx+c型.

(4)y=6fsinxcosx4-/?(sinx±cosx)4-c,设1=sinx±cosx,则/=l±2sinxcosx,

f2—1产_]

故sinxcos九=±—2-，故原函数化为二次函数y=a•(土-光)+初+。在闭区间

[-后,我]上的最值求解.

/7inx-4-h/7inYA-h

(5)十"与y=C"…,根据正弦函数的有界性，即可用分析法求最值，

csinx+dccosx+d

也可用不等式法求最值，更可用数形结合法求最值.这里需要注意的是化为关于sinx或

cosx的函数求解释务必注意sinx或cosx的范围.

例4.27函数/'(x)=sin尤cos%的最小值是()

1

A.-1B.C.-D.1

22

jr

评注若本题改为“/(幻=$皿依05%,工£[0,—]”则最小值为0,在解题过程中，若存在换

4

元环节，应注意新元取值范围的限定.

变式1函数/(x)=sinx-cos(x+工)的值域为().

6

RJ3

A.[-2,2]B.[-V3,V3]C.[-1,1]D.[——

变式2函数/(x)=sin2工+JJsinxcosx在区间［一生，工］上的最大值是().

42

A.1B.――~-C.--D.14-V3

22

TT7T

例4.28函数y=4sinO+—)+3sin(——x)的最大值为()

36

A.7B.273+-C.5D.4

2

)jr-rr

变式1求函数f(x)=cos(x4-—)+2cos2—(X€R)的值域

TTTTTT')L

变式2求函数/(x)=cos(2x——)+2sin(x——)sin(x+—)(xe[---,—])的值域.

344122

例4.29求函数f(x)=2cos2x+sin2x-4cosx的最大值和最小值.

变式1己知忖＜5求函数y=cos2x+sinx的最小值.

变式2求函数y=sin2x+acosx—a-二(0<x＜］）的最大值.

变式3若sin?x+cosx+a=0有实数解，试确定实数。的取值范围.

变式4若关于x的方程cos?x-sinx+aN0在（0,^］上恒成立，求实数。的取值范围.

QinY4-\

例4.30对于函数，（无）=少一（0<x<»）,下列结论中正确的是（）.

sinx

A.有最大值无最小值B.有最小值无最大值

C.有最大值且有最小值D.既无最大值又无最小值

变式1求函数y=6c°s”的值域.

2+sinx

变式2若工<x<乙，则函数y=tan2xtan?x的最大值为

42

题型64三角函数图像变换

思路提示

由函数y=sinx的图像变换为函数y=Asin（vta+e）+"（A,0）的图像.

方法一：（ifx+0-wx+夕）先相位变换，后周期变换，再振幅变换.

向左平移2个单位（中>0）

y=sinx的图像黯希黯喘fy=sin（x+°）的图像

个单位（①<0）

y=sin（vux+o）的图像所有点的曹!霭票普来的A倍一

y=Asin（卬x+。）的图像器手就黑，；设）-y=Asin（卬x+0）+/?

例4.31把函数y=cos2x+l的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）,

然后向左平移1个单位长度，在向下移1个单位长度，得到的图像时（）.

77

变式1为得到函数y=cos（2x+g）的图像，只需将函数y=sin2x的图像（

A.向左平移5二万个单位B.向右平移5二万个单位

1212

C.向左平移下个单位D.向右平移5三7r个单位

66

jrrr

变式2已知f(x)=sin(x+,),g(x)=cos(尤一,)，则f(x)的图像().

A.与g(x)图像相同

B.与g(x)图像关于y轴对称

C.是由g(x)的图像向左平移事个单位得到

D.是由g(x)的图像向右平移事个单位得到

C,：y=sin(2x+g

变式3已知曲线G：y=cosx,,则下面结正确的是().

A.把G上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移巴个单

6

位长度，得到曲线C?

B.把G上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移△TT个单

12

位长度，得到曲线。2

C.把G上各点的横坐标缩短到原来的■!■倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移三个单

26

位长度，得到曲线。2

D.把G上各点的横坐标缩短到原来的士倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移△个单

212

位长度，得到曲线

例4.32己知函数/(x)=］Sin2xsin9+cos2xcoso-］Sin(w+夕)(0<°<乃)，其图

像过点"」)•

62

(1)求°的值

(2)将/(x)图像上各点的横坐标缩短为原来的g,纵坐标不变，得到函数y=g(x)的图

像，求函数g(x)在［0,T2T］上的最大值和最小值

4

「A

变式1已知向量/〃=(sinx,l),〃=(j3Acosx,—cos2x)(A>0)函数/(九)-m-n

2

的最大值为6.

(1)求A

(2)求将函数y=/(x)的图像向左平移三IT个单位，再将所的图像上各点的横坐标缩短到

157r

原来的1倍,，纵坐标不变，得到函数y=g(x)的图像，求g(x)在［0,芸］上的值域

最有效训练题18

jrSTF

1.已知函数f（x）=Asin（wx+e）（A>0,一一vgvO）,在x=—时取得最大值，则f（x）

26

在[一肛0]上的单调增区间是（）.

r5万Ir57r71,八T兀2—r"八r

A.[-凡一~—]B・[---]c.,0JD,[-7,0]

o663o

7T