2023-2024学年江苏省南通市高二（下）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年江苏省南通市高二（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知随机变量X～N(2,σ2)，且P(X<1.8)=0.47，则P(2<X≤2.2)=A.0.02 B.0.03 C.0.07 D.0.082.已知一个圆锥底面半径为5cm，其侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的母线长为(

)A.1cm B.2.5cm C.5cm D.10cm3.已知函数f(x)=x2，则Δx→0limA.1 B.2 C.4 D.64.电视台有6个不同的节目准备当天播出，每半天播出3个节目，其中某电视剧和某专题报道必须在上午播出，则不同播出方案的种数为(

)A.24 B.36 C.72 D.1445.函数f(x)=cosx+12x，x∈[−πA.[−π2,π6] B.[6.在三棱锥O−ABC中，已知BE=23BC，G是线段AE的中点，则A.12OA+13OB+167.已知函数f(x)=x3+mx2，若∀x1，x2∈R，A.3 B.6 C.28.甲箱中有2个红球和2个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球.先从甲箱中等可能地取出2个球放入乙箱，再从乙箱中等可能地取出1个球，记事件“从甲箱中取出的球恰有i个红球”为Ai(i=0,1,2)，“从乙箱中取出的球是黑球”为B，则(

)A.P(A0)=13 B.P(B|A二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.若(1−2x)5=aA.a0=1B.a1=−5

C.10.在空间中，l，m是不重合的直线，α，β是不重合的平面，则下列说法正确的是(

)A.若l/​/m，m⊂β，则l/​/β

B.若m⊥l，m⊥α，l⊥β，则α⊥β

C.若α⊥β，α∩β=m，l⊥m，则l⊥β

D.若m/​/α，m//β，α∩β=l，则m/​/l11.已知函数f(x)=x+a(1−ex)，则下列说法正确的有A.曲线y=f(x)恒过定点 B.若a=1，则f(x)的极小值为0

C.若a<0，则f(x)<f(x2+1) D.若a>2，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.某小吃店的日盈利y(单位：百元)与当天平均气温(单位：℃)之间有如下数据：x/℃−2−1012y/百元54221由表中数据可得回归方程y=ax+b中a=−1.试预测当天平均气温为−3.2℃13.设随机变量X～B(2,p)，且P(X=0)=116，则p=______；若Y=2X−1，则Y的方差为______．14.已知六棱锥的底面是边长为1正六边形，且顶点均在同一球面上，若该棱锥体积的最大值为23，则其外接球的表面积为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=AA1．

(1)求证：A1C⊥平面AB16.(本小题15分)

为调查喜欢山地自行车项目是否和性别有关，某自行车店随机发放了30份问卷，并全部收回，经统计，得到如下2×2列联表：男性女性喜欢124不喜欢68(1)能否有99%的把握认为喜欢山地自行车项目和性别有关？

(2)在上述喜欢山地自行车项目的受访者中随机抽取3人，记其中男性的人数为X，求X的分布列．

附：K2P(0.0500.0100.001k3.8416.63510.82817.(本小题15分)

已知函数f(x)=lnx−x，g(x)=ax2−2ax，a>0．

(1)设曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线为l，若l与曲线y=g(x)相切，求a；

(2)设函数ℎ(x)=f(x)+g(x)，讨论18.(本小题17分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，AB⊥平面PAD，AD//BC，CD=AP，AD=3，PD=AB=BC=6.点E在棱PA上且与P，A不重合，平面BCE交棱PD于点F．

(1)求证：AD/​/EF；

(2)若E为棱PA的中点，求二面角A−BE−C的正弦值；

(3)记点A，P到平面BCE的距离分别为d1，d2，求d119.(本小题17分)

箱子中有大小和质地相同的红球、白球和黑球共N个，其中红球的个数为n(n>1)，现从箱子中不放回地随机摸球，每次摸出一个球，并依次编号为1，2，3，…，N，直到箱子中的球被摸完为止．

(1)求2号球为红球的概率(用N与n表示)；

(2)若N=11，n=5，记随机变量X为最后一个红球被摸出时的编号，求E(X)；

(3)若箱子中白球、黑球的个数分别为n，2n，求红球先于白球和黑球被摸完(红球被全部摸出，白球和黑球都有剩余)的概率．

答案解析1.【答案】B

【解析】解：由于随机变量X～N(2,σ2)，且P(X<1.8)=0.47，所以P(2<X≤2.2)=1−2P(x<1.8)2=0.5−0.47=0.03．

故选：B【解析】解：设圆锥母线长为l，展开图中，扇形的弧长等于圆锥的底面周长，

即2π×5=π×l，

解得l=10．

故选：D．

3.【答案】C

【解析】解：由题意Δx→0limf(2+Δx)−f(2)Δx=f′(2)，

因为f(x)=x2，

所以f′(x)=2x，

即f′(2)=4，

所以则Δx→0limf(2+Δx)−f(2)Δx=4【解析】解：因为某电视剧和某专题报道必须在上午播出，所以A32种排法，

其他4个节目有A44种排法，

所以不同播出方案的种数为A32A44=6×24=144【解析】解：∵f(x)=cosx+12x，x∈[−π2,π2]，

∴f′(x)=−sinx+12≥0，

即sinx≤12，−【解析】解：连接OE，因为G是线段AE的中点，所以OG=12OA+12OE，

因为BE=23BC，

7.【答案】B

【解析】解：假设x1>x2，∵f(x1)−f(x2)x1−x2>−2，

∴f(x1)−f(x2)>−2(x1−x2)，f(x1)+2x1>f(x【解析】解：甲箱中有2个红球和2个黑球，则P(A0)=C22C42=16，P(A1)=C21C21C42=23，P(A2)=C22C42=1【解析】解：令f(x)=(1−2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，

则f(0)=a0=1，故A正确；

又a1=C51×(−2)=−10，故B错误

又f(1)=a0+a【解析】解：对于A，若l/​/m，m⊂β，则l/​/β或者l⊂β，故A错误；

对于B，可以用法向量来思考．l，m所在的方向取α，β的法向量，法向量垂直可推出面面垂直．故B正确；

对于C，若α⊥β，α∩β=m，l⊥m，则l⊂β，l/​/β，或者相交，故C错误；

对于D，过直线m分别作两平面与α，β分别相交于直线s和直线t，

因为m/​/α，过直线m的平面与平面α的交线为直线s，则根据线面平行的性质定理知m/​/s，

同理可得m//t，则s//t，因为s⊄平面β，t⊂平面β，则s//平面β，

因为s⊂平面α，α∩β=l，则s//l，又因为m/​/s，则m/​/l，故D正确．

故选：BD．11.【答案】ACD

【解析】解：对于A，令x=0，可得f(0)=0，所以曲线y=f(x)恒过(0,0)，故A正确；

对于B，当a=1时，f(x)=x−ex+1，则f′(x)=1−ex，

令f′(x)=1−ex=0，解得：x=0，当x<0时，f′(x)>0，则f(x)在(−∞,0)上单调递增；

当x>0时，f′(x)<0，则f(x)在(0,+∞)上单调递减，所以f(x)的极大值为f(0)=0，

故B不正确；

对于C，f′(x)=1−aex，当a<0，则f′(x)=1−aex>0，所以f(x)在R上单调递增，

又x2+1−x=(x−12)2+34>0，即x2+1>x，则f(x)<f(x2+1)，故C正确；

对于D，当a>2时，由f′(x)=1−aex=0，解得：x=−lna，

当x<−lna时，f′(x)>0，则f(x)在(−∞,−lna)上单调递增，当x>−lna，f′(x)<0，

则f(x)在(−lna,+∞)上单调递减，

所以f(x)max=f(−lna)=−lna+a(1−e−lna)=−lna+a−1，

令g(a)=−lna+a−1(a>2)，则g′(a)=−1【解析】解：由已知数据x−=−2−1+0+1+25=0，y−=5+4+2+2+15=2.8，

因为a=−1，则y=−x+b，代入(0,2.8)，得b=2.8，

则y=−x+2.8，令x=−3.2【解析】解：(1)X～B(2,p)，

则P(X=k)=C2kpk(1−p)2−k，

则P(X=0)=116=C20p0(1−p)2，解得p=34；

(2)X～B(2,p)，由(1)得X～B(2,【解析】解：根据几何知识可知，当六棱锥P−ABCDEF为正六棱锥时，体积最大，

因为底面正六边形的边长为1，

所以底面外接圆的半径为1，六棱锥的底面积S=6×12×1×1×sin60°=332，

设六棱锥的高为ℎ，所以V=13Sℎ=23，即13×332ℎ=23，解得ℎ=415.【答案】(1)证明：由直棱柱可得：平面ABC⊥平面A1C1CA，平面ABC∩平面A1C1CA=AC，

AB⊥AC，AB⊂平面ABC，

所以AB⊥平面A1C1CA，A1C⊂平面A1C1CA，

所以AB⊥A1C，

又因为AC=AA1，即四边形A1C1CA为正方形，

所以A1C⊥AC1，

又因为AB∩AC1=A，

所以A1C⊥平面ABC1；

(2)由(1)可设以A为坐标原点，分别以AB，AC，AA1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

如图所示，

设AB=1，则AB=AC=AA1=1，

则A(0,0,0)，B(1,0,0)【解析】(1)由面面垂直的性质定理可得AB⊥平面A1C1CA，AB⊥A1C，由题意可知四边形A1C1CA为正方形，可知A1C⊥AC1，进而可证得结论；

(2)建立空间直角坐标系，利用向量法求解．

16.【答案】解：(1)零假设H0：喜欢山地自行车项目和性别无关，

由题可得K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=30(12×8−6×4)2(12+4)(12+6)(4+8)(6+8)=4514≈3.214<6.635，

由小概率值α=0.01的独立性检验，可判断H0成立，

即没有X0123P193311

【解析】(1)根据独立性检验计算判断结论；

(2)根据题意求出离散型随机变量可能取值以及对应的概率，列出分布列．

17.【答案】解：(1)f′(x)=1x−1，f′(1)=0，且f(1)=−1，

所以曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线为y=−1，

则y=−1y=ax2−2ax，得ax2−2ax+1=0，

因为y=−1与g(x)=ax2−2ax相切，

所以Δ=4a2−4a=0，得a=0(舍)或a=1；

(2)ℎ(x)=f(x)+g(x)=lnx−x+ax2−2ax=lnx+ax2−(2a+1)x的定义域为(0,+∞)，

则ℎ′(x)=1x+2ax−(2a+1)=2ax2−(2a+1)x+1x=(2ax−1)(x−1)x，

因为a>0，

令ℎ(x)=0，得x=1或x=12a，

当0<a<12时，12a>1，当x∈(0,1和(12a,+∞)时，ℎ′(x)>0，函数ℎ(x)单调递增，

当x∈(1,12a)时，ℎ′(x)<0，函数ℎ(x)单调递减，

当a>12时，12a<1，

所以当x∈(0,12a)和(1,+∞)时，【解析】(1)求出曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线为l，与g(x)=ax2−2ax联立方程组，由Δ=0解得a=1；

(2)先求ℎ(x)的定义域，求导数得，ℎ′(x)=18.【答案】解：(1)因为AD//BC，BC⊂平面BCEF，AD⊄平面BCEF，所以AD/​/平面BCEF．

又AD⊂平面PAD，平面PAD∩平面BCEF=EF，所以AD/​/EF．

(2)取BC中点M，连接DM，如图所示：

因为AB⊥平面PAD，AD⊂平面PAD，所以AB⊥AD．

在四边形ABMD中，AD/​/BM，且AD=BM=3，

所以四边形ABMD为矩形，DM⊥平面PAD．

又在△PDA和△DMC中，PD=DM=6，DA=MC=3，AP=CD．

所以△PDA≅△DMC(SSS)，所以PD⊥AD，所以DA，DM，DP两两垂直．

以D为原点，分别以DA、DM、DP所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，

当E为PA中点时，A(3,0,0)，B(3,6,0)，C(−3,6,0)，P(0,0,6)，E(32,0,3)．

所以AB=(0,6,0)，CB=(6,0,0)，EB=(32,6,−3)．

设平面ABE的法向量为n=(x1,y1,z1)，

则n⊥ABn⊥EB，即(x1,y1,z1)⋅(0,6,0)=0(x1,y1,z1)⋅(32,6,−3)=0，化简得y1=0x1−2z1=0，取n=(2,0,1)．

设平面BEC的法向量为m=(x2,y2,z2)，

则n⊥CBn⊥EB，即(x2,y2,z2)⋅(6,0,0)=0(x2,y2,z2)⋅(32,6,−3)=0，化简得x【解析】(1)先证AD/​/平面BCEF，再根据线面平行的性质定理可得AD/​/EF．

(2)先证DA，DM，DP两两垂直，再以D为原点，建立