初中数学因式分解6种常用方法

利用平方差公式分解因式应用平方差公式，把多项式进行分解因式的方法，就叫做平方差公式法。公式表述为:a2-b2=(a+b)(a-b)。应用平方差公式满足的条件：等式的左边是一个两项多项式，并且构成这个多项式的两个单项式之间是作减法运算；等式的右边一个因式是等式左边两个平方幂的底数的和，另一个因式是等式左边两个平方幂的底数的差。1、直接应用分解因式：x2-4=

。分析：左边是两个单项式的差，关键是把数字4写成22，这样，左边就变形为x2-22，这样，就和公式一致了。解：x-4=x2-22=(x+2)(x-2)。2、提后用公式分解因式：3x2-27=

。分析：在分解因式时，先考虑提公因式，后考虑用平方差公式法。解：3x2-27=3(x2-9)=3(x2-32)=3(x+3)(x-3)。3、变化指数后用公式248-1能被60和70之间的两个数整除。这两个数各是多少？分析：因为，48=2×24，所以，248=(22)24=(224)2，这样，就满足了平方差公式的要求了。解：因为，48=2×24，所以，248-1=(224)2-(1)2=(224+1)(224-1)=(224+1)【(212)2-(1)2】=(224+1)【(212+1)(212-1)】=(224+1)(212+1)【(26)2-(1)2】=(224+1)(212+1)【(26+1)(26-1)】=(224+1)(212+1)(26+1)【(23)2-(1)2】=(224+1)(212+1)(26+1)【(23+1)(23-1)】=(224+1)(212+1)(26+1)×9×7=(224+1)(212+1)×65×63因为,整除的两个数在60和70之间,且60<63<70，60<65<70,所以，这两个数分别是63、65。4、乒乓球比赛中的应用有10位乒乓球选手进行乒乓球单循环比赛（每两人之间均要赛一场）。如果用x1，y1顺次表示第一号选手胜与负的场数，用x2，y2顺次表示第二号选手胜与负的场数，用x10，y10顺次表示第十号选手胜与负的场数，则这10位选手胜的场数的平方和与他们负的场数的平方和是相等的。即x12+x22+……+x102=y12+y22+……+y102。你能用所学的知识解释里面的道理吗？分析：因为，是进行的单循环比赛，所以，每一位选手的胜的场数与负的场数之和是相同的，都是9场，从比赛的整体来看，所有队员胜的场数与负的场数也一定是相等的,这两个隐含的条件是问题解决的关键所在。解：因为，是进行的单循环比赛，所以，x1+y1=9，同理，x2+y2=9，……x10+y10=9，所以，x1+x2+……+x10=y1+y2+……+y10，所以，(x1+x2+……+x10)-(y1+y2+……+y10)=0，所以，(x1+x2+……+x10)-(y1+y2+……+y10)=(x12-y12)+(x22-y22)+……+(x102-y102)=(x1+y1)(x1-y1)+(x2+y2)(x2-y2)+……+(x10+y10)(x10-y10)=9(x1-y1)+9(x2-y2)+……+9(x10-y10)=9【(x1+x2+……+x10)-(y1+y2+……+y10)】=0所以，x1+x2+……+x10=y1+y2+……+y10利用完全平方公式进行分解因式应用完全平方，把多项式进行分解因式的方法，就叫做完全平方公式法。公式表述为：a2+2ab+b2=(a+b)2。a2-2ab+b2=(a-b)2。1、直接应用（1）分解因式：x2+4x+4=

。分析：关键是把数字4写成2，这样，左边就变形为x2+2×x×2+22，这样，就和公式一致了。解：x2+4x+4=x2+2×x×2+22=(x+2)2。（2）下列式子中是完全平方式的是（）A.a2+ab+b2B.a2+2a+2C.a2+2b+b2D.a2+2a+1分析：完全平方公式的条件特点是：a.多项式中有三项，且多项式的整体符合是:“+，+”或者“-，+”；b.必须有平方幂底数的交叉项的积的2倍。根据上面的两个特点，去分析，只有D是符合要求的。解：选D。2、提后用公式分解因式ax3y+axy3-2ax2y2=

。(2008年聊城市)分析：在提后用公式时，要遵循四字要领：提、调、变、套。具体表述为;提：提各项的公因式，要提彻底。调：调整各项的顺序，使之与公式的顺序相同。变：变化常数项，变化系数，变化指数，使之与公式形式一致。套：根据题目的特点，套用不同公式，写出最后的答案。在具体的解题过程中，同学们要仔细体会口诀的指导作用。解：ax3y+axy3-2ax2y2=axy(x2+y2-2xy).….….提：提公因式；=axy(x2-2xy+y2)….…调：调整各项的顺序；=axy(x-y)2….…..套；点评：四字口诀，在解题时，不一定都要同时用到。3、变化指数后用公式分解因式：a4-8a2b2+16b4分析：由a4=(a2)2；b4=(b2)2把原多项式变形成符合公式的形式。解：a4-8a2b2+16b4=(a2)2-8a2b2+(4)2(b2)2=(a2)2-8a2b2+(4b2)2=(a2-4b2)2。4、换元用分解因式：(a+b)2-6(a+b)+9分析：平方幂的底数是一个多项式，为了方便，我们不妨采用换元的思想，把多项式底数转化成同学们熟悉的单项式底数。解：设x=a+b，所以，原多项式变形为：x2-6x+9，所以，x2-6x+9=x2-6x+32=(x-3)2，所以，(a+b)2-6(a+b)+9=(a+b-3)2。5、综合用若a、b、c是三角形的三条边长，则代数式，a2-2ab-c2+b2的值：。A、大于零B、小于零C、等于零D、与零的大小无关分析：由a2-2ab-c2+b2=