四川省广元市川师大万达中学2023-2024学年高一下学期6月月考 数学试题【含答案】

四川省广元市川师大万达中学2023-2024学年度第二学期期末模拟考试高2023级数学试题（满分：150分时间：120分钟）一､选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目的要求1．已知，则（

）A． B． C． D．2．已知复数满足，则复数的虚部为（

）A． B． C． D．3．一个水平放置的平面图形按斜二测画法得到的直观图如图所示.知，则平面图形的面积为（

）A．3 B．6 C． D．4．将10个数据按照从小到大的顺序排列如下：，若该组数据的分位数为22，则（

）A．19 B．20 C．21 D．225．某一时段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发､渗透､流失而在水平面上积聚的深度，称为这个时段的降雨量（单位：）.24小时降雨量的等级划分如下：24小时降雨量（精确到）降雨等级小雨中雨大雨暴雨在一次降雨过程中，用一个侧棱的三棱柱容器收集的24小时的雨水如图所示，当侧面水平放置时，水面恰好过的中点.则这24小时的降雨量的等级是（

）A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨6．把函数的图象向左平移个单位长度，再把横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，下列关于函数的说法正确的是（

）A．函数的最小正周期B．函数在区间上单调递减C．函数是奇函数D．函数在区间上的最大值为7．如图，圆锥的底面直径和高均为，过上一点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，我们称该圆柱为圆锥的内接圆柱.则该圆锥的内接圆柱侧面积的最大值为（

）A． B． C． D．8．在中，，点满足，且，则（

）A． B． C． D．二､多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知是两条不同的直线，是平面，若，则的关系可能为（

）A．平行 B．垂直 C．相交 D．异面10．的内角的对边分别为，下列结论正确的是（

）A．若，则角B．存在，使成立C．若，则为等腰或直角三角形D．若，则有两解11．如图，在正方体中，为棱上的动点，平面为垂足，下列结论正确的是（

）A．B．三棱锥的体积为定值C．D．与所成的角为三､填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.12．已知为共线向量，且，则.13．在中，分别为的中点，交于点.若，，则.14．若一个圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为，则该圆锥的侧面积为．四､解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.15．已知向量满足，，且在上的投影向量为.(1)求及的值；(2)若，求的值.16．记的内角的对边分别为，若，且.(1)求及；(2)若点在边上，且，求的面积.17．2023年起我国旅游按下重启键，寒冬有尽，春日可期，先后出现了“淄博烧烤”，“尔滨与小土豆”，“天水麻辣烫”等现象级爆款，之后各地文旅各出奇招，衢州文旅也在各大平台发布了衢州的宣传片：孔子，金庸，搁袋饼纷纷出场.现为进一步发展衢州文旅，提升衢州经济，在5月份对来衢旅游的部分游客发起满意度调查，从饮食、住宿，交通，服务等方面调查旅客满意度，满意度采用百分制，统计的综合满意度绘制成如下频率分布直方图，图中.(1)求图中的值并估计满意度得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；(2)若有超过的人满意度在75分及以上，则认为该月文旅成绩合格.衢州市5月份文旅成绩合格了吗？(3)衢州文旅6月份继续对来衢旅游的游客发起满意度调查.现知6月1日-6月7日调查的4万份数据中其满意度的平均值为80，方差为75；6月8日-6月14日调查的6万份数据中满意度的平均值为90，方差为70.由这些数据计算6月1日—6月14日的总样本的平均数与方差.18．在平行四边形中，分别为的中点，将三角形沿翻折，使得二面角为直二面角后，得到四棱锥.(1)求证：平面；(2)求证：平面平面；(3)求与平面所成角的正弦值.19．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”.如图1，三个内角都小于的内部有一点，连接，求的最小值.我们称三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点为费马点.要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可求出这三条线段和的最小值.某数学研究小组先后尝试了翻折､旋转､平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题，具体的做法如图2，将绕点顺时针旋转，得到，连接，则的长即为所求，此时与三个顶点连线恰好三等分费马点的周角.同时小组成员研究教材发现：已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量.(1)已知平面内点，把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点，求点的坐标；(2)在中，，借助研究成果，直接写出的最小值；(3)已知点，求的费马点的坐标.1．D【分析】根据余弦的二倍角公式即可代入求解.【详解】，故选：D2．C【分析】根据给定条件，利用复数的除法运算，结合复数的意义求解即得.【详解】由，得，所以复数的虚部为.故选：C3．C【分析】根据斜二测画法画出梯形的原图并确定对应边长，计算即可.【详解】画出梯形的原图，如图所示：在直观图中，，得，则在原图中，，，四边形是直角梯形，所以.故选：C4．C【分析】由题意，结合百分位数的定义即可求解.【详解】，又该组数据的分位数为22，则，解得.故选：C5．D【分析】根据给定条件利用柱体体积公式求出水的实际体积，再由两种情况的放置水的体积相同求解液面高度，即可与降雨量等级比较求解．【详解】设的面积为，底面水平放置时，液面高为，侧面水平放置时，水的体积为，当底面水平放置时，水的体积为，于是，解得，所以当底面水平放置时，液面高为．故降雨量等级为暴雨，故选：D6．B【分析】根据伸缩平移变换可得函数的解析式，进而判断各选项中图像性质.【详解】的图像向左平移个单位长度得函数，再把横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到函数，其最小正周期为，A选项错误；由，得，在上单调递减，B选项正确；，为偶函数，C选项错误；当时，，所以单调递减，最大值为，D选项错误.故选：B.7．C【分析】设，用的函数表达式表示出圆柱的侧面积，再利用基本不等式即可求出最大值．【详解】圆锥轴截面如图所示，设圆柱的底面半径为，，由可知，，即，所以，故被挖去的圆柱的侧面积为，当且仅当时取等号，即时，被挖去的圆柱的侧面积最大值为．故选：C8．A【分析】根据题意，在中取中点为，且点在直线上，由数量积运算可得，从而得解.【详解】因为，易知为等腰直角三角形且，取中点为，则，又点满足，则点在直线上，所以，由，则，结合图知，所以.故选：A9．ABD【分析】根据平行、垂直、相交和异面的性质即可求解.【详解】如图，在正方体中，若是平面，为，为，此时与平行，故A正确；在正方体中，若是平面，为，为，此时，故B正确；若，不可能与垂直和相交，故C错误；在正方体中，若是平面，为，为，此时与异面，故D正确.故选：ABD.10．ACD【分析】利用正弦定理、二倍角公式、解三角形的知识进行判断.【详解】选项A：由正弦定理得：又余弦定理得故又故故选项A正确，选项B：因为在中，故故选项B错误，选项C：当时，或即或故为等腰或直角三角形，故选项C正确，选项D：又则若，则有两解正确，故选项D正确.故选：ACD.11．ABC【分析】对于A，可证得平面，进而有，所以在的中垂线上，可得，即可判断；对于B，由，而三棱锥的体积为定值，所以三棱锥的体积为定值，即可判断；对于C，可证得平面，则，即可判断；对于D，在正方体中，由是正三角形，可得与所成的角为，即可判断.【详解】对于A，在正方体中，连接，交于点，连接，则，又平面，平面，所以，因为平面，所以平面，又平面，所以，因为为的中点，所以在的中垂线上，所以，故A正确；对于B，在正方体中，平面，为棱上的动点，所以点到平面的距离即为到平面的距离，即为正方体的棱长，为定值，的面积为定值，所以三棱锥的体积为定值，又，所以三棱锥的体积为定值，故B正确；对于C，连接，则，又在正方体中，平面，平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，故C正确；对于D，连接，在正方体中，且，所以四边形是平行四边形，所以，所以即为与所成的角，又是正三角形，所以与所成的角为，故D错误.故选：ABC.12．【分析】根据共线向量，求出【详解】根据为共线向量，且,则，解得.故答案为：.13．##【分析】根据向量的线性运算，结合模长公式可得的长度，即可根据余弦定理求解.【详解】因为在中，、分别为、的中点，交于点，则为的重心，所以，由平面向量数量积的定义可得，故，又,由余弦定理可得．故答案为：．14．【分析】作出截面图形，由圆锥的侧面积公式结合题意计算可得.【详解】过圆锥的旋转轴作轴截面，得及其内切圆和外接圆，且两圆同圆心，即的内心与外心重合，所以为正三角形，由题意的半径为，所以的边长为6，所以圆锥的底面半径为3，所以圆锥的侧面积．故答案为：.15．(1)，(2)【分析】（1）由投影向量的定义可求得，再由向量的夹角公式可求得；（2）由向量垂直建立方程，求解即可．【详解】（1）因为，，且在上的投影向量为，所以，所以，所以，因为，所以；（2）因为，所以，即，得，解得．16．(1)，，(2)【分析】（1）根据三角恒等变换即可得，继而求解,由正弦定理边角互化即可求解,（2）根据向量的线性运算，结合模长公式可得，即可由面积公式求解.【详解】（1）由得：，，，，故，由于,所以，由正弦定理以及可得，所以，（2），，，，由于，，所以，解得或（舍去）所以17．(1)，79.5(2)合格(3)平均值为86，方差为96【分析】（1）根据频率分布直方图的特征求出a，进而即可求出平均数；（2）先确定40%分位数的位置，再由频率分布直方图求出百分位数，即可下结论；（3）求出总样本平均数，根据方差的定义，即可求出总样本方差.【详解】（1）由题意知，估计满意度得分的平均值（2）超过60%的人满意度在75分及以上，即为40%分位数大于等于75又由满意度在的频率为，满意度在的频率为知40%分位数位于由可以估计40%分位数为有超过60%的人满意度在75分及以上，衢州市5月份文旅成绩合格了（3）把6月1日—6月7日的样本记为，其平均数记为，方差记为，把6月8日—6月14日的样本记为，其平均数记为，方差记为，则总样本平均数由方差的定义，总样本方差为总样本平均值为86，总样本方差为9618．(1)证明见解析(2)证明见解析(3)【分析】（1）取中点，证明四边形是平行四边形，即可根据线线平行求证，（2）根据面面垂直的性质即可求解，（3）利用等体积法，求解点到平面的距离，即可求解.【详解】（1）取中点，连接和，因为，分别为，的中点，所以，且,又，且,所以，且．所以四边形是平行四边形．所以．平面,平面故平面（2）由于在平行四边形中，分别为的中点，所以，则，因此，又，故，由于二面角为直二面角，所以平面平面且两平面的交线为，又平面，故平面，平面，故平面平面.（3）由于平面平面且两平面的交线为，，平面，故平面,由（2）知平面,平面，故，设点到平面的距离为，则，故，设与平面所成角为，则.19．(1)(2)(3)【分析】（1）根据题意，代入公式可得，从而得解；（2）根据题意，旋转后为等边三角形，根据勾股定理可解；（3）根据题意，中，与关于轴对称，所以旋转后与关于轴对称，由图形的对称性知费马点必在轴上，由三点共线