四川省仁寿实验中学2023-2024学年高一下学期第一次月考（4月） 数学试题【含答案】

仁寿实验中学高2023级数学科第一次月考考试试题(考试时间：150分钟试卷满分：150分)注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效一、单选题(共8小题，每小题5分)1．复数的虚部是（

）A．2 B． C．1 D．2．（

）A． B． C． D．3．在中，若，则（

）A． B． C． D．4．已知向量，则“x＞0”是“与的夹角为锐角”的()A．充分不必要条件 B．充要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件5．为了得到函数的图像，可以将函数的图像上（

）A．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位B．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位C．每个点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位D．每个点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位6．圆台上、下底面面积分别是、，侧面积是，这个圆台的体积是A． B． C． D．7．在棱长为1的正方体中，分别为的中点，则点为正方形内一点，当平面时，的最小值为（

）A． B． C． D．8．如图，在中，，为上一点，且，若，则的值为（

）

A． B． C． D．二、多选题(共4小题，每小题5分)9．设a，b为两条不重合的直线，为一个平面，则下列说法正确的是（

）A．若，，则⊥ B．若，，则C．若，，则 D．若，，则10．若复数（为虚数单位），复数的共轭复数为，则下列结论正确的是（

）A．复数所对应的点位于第一象限 B．C． D．11．函数的部分图象如图所示，下列结论中正确的是（

）

A．B．函数的周期为C．函数的图象关于点对称D．将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象12．正方体中，分别为的中点，则下列结论正确的是（

）A．B．平面平面C．面D．与是相交直线三、填空题(共4小题，每小题5分)13．已知向量，.若，则．14．圆锥的侧面展开图中扇形中心角为，底面周长为，这个圆锥的侧面积是．15．已知，则.16．已知函数，若，且在区间上有最小值无最大值，则．四、解答题(共70分)17．在平面直角坐标系中，已知向量．(1)求；(2)若，，求实数的值．18．已知函数.(1)求的单调递增区间；(2)求在区间上的最小值及此时x的取值.19．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝CC1＝2.求：(1)直线AB1与平面ACC1A1所成角的正切值；(2)异面直线AB1与A1C1所成角的余弦值．20．如图，缉私艇在A处通过卫星发现正东方相距的P处有一艘走私船，走私船正以的速度往它的东北方向的公海逃窜，此时距离公海．缉私艇立即以的速度追缉．（1）为了尽快将走私船截获，缉私艇应该往哪个方向进行追缉？（2）缉私艇能否在该走私船进入公海前将其截获？21．设，，分别为的内角，，的对边，且．(1)求证：；(2)若，，求的面积．22．如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，H为PC的中点，M为AH的中点，.(1)求证：；(2)求点C到平面ABH的距离；(3)在线段PB上是否存在点N，使MN平面ABC？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.1．C【分析】利用复数的四则运算，结合复数虚部的定义即可得解.【详解】因为，所以复数的虚部为.故选：C.2．A【分析】首先由诱导公式化简得，再结合两角和与差的正弦公式即可求得答案.【详解】，故选：A.3．A【分析】已知三角形中两角和其中一角的对边，可以用正弦定理求另一角的对边.【详解】在中，由正弦定理得，，即，解得：.故选：A.4．C【分析】根据充分条件和必要条件的定义以及向量的数量积的应用，进行判断即可.【详解】充分性：当x＞0时，；但是当x＝5时，，与共线，与夹角为0°，故充分性不成立，必要性：与夹角为锐角，则，解得x＞0，故必要性成立，故选C.【点睛】本题主要考查平面向量基本定理及坐标表示、平面向量的数量积以及充分条件和必要条件.5．B【分析】由函数图像的伸缩变换和平移变化规律求解.【详解】由可知，函数的图像每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，可得函数的图像，再向右平移个单位，得函数的图像.故选：B6．D【解析】首先求得圆台的底面半径和高，再由圆台的体积公式即可得解.【详解】由于圆台上、下底面面积分别是、，故圆台上下底面半径分别为,由圆台侧面积公式可得：，则圆台的母线，所以圆台的高，所以该圆台的体积.故选：D.【点睛】本题考查了圆台的结构特征及体积、侧面积公式，考查了运算求解能力，属于基础题.7．C【分析】分别取的中点，由面面平行的判定定理可得平面平面，再由面面平行的性质定理可得平面，所以点在线段上，当点为的交点时，可得答案.【详解】如图，分别取的中点，连接，则，所以，易知四边形为平行四边形，故，因为平面，平面，所以平面，平面，平面，所以平面，又，平面，所以平面平面，因为平面，故平面，又点为正方形内一点，平面平面，所以点在线段上，又,当即点即为的中点，也即点为的交点时，此时最短，因为的中点分别是，所以，，所以.故选：C.8．D【分析】结合题意可知三点共线，进而得到，利用向量基本定理表示出,进而表示出计算即可.【详解】因为，所以所以，因为，所以，即，因为三点共线，所以，解得，所以，而,所以,即.故选：D.9．BD【分析】AC可举出反例；BD可利用平行和垂直的性质进行判定.【详解】A选项，若，b，则，或，A错误；B选项，若，，由平行关系可得，B正确；C选项，若，，则或异面，C错误；D选项，因为，所以垂直于所有与平行的直线，又，则，D正确.故选：BD10．AC【分析】通过复数中，对复数进行化简，可以判断A选项；通过共轭复数的定义得到，可判断B选项；通过复数的乘除运算法则可判断C、D选项.【详解】因为，所以，所以，对于A，复数在复平面内对应的点在第一象限，故A正确；对于B，由，可得，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，，故D错误.故选：AC11．ACD【分析】根据图象，求出的周期，即可判断出选项B的正误，利用图象过点，可求得值，从而可判断出选项A的正误，利用的图象与性质，求出的对称中心，即可判断出选项C的正误，再利用图象的平移，即可判断出选项D的正误，从而求出结果.【详解】由图知，所以，故选项B错误，又由，得到，又，所以，由图易知，，且图象过点，所以，得到，又，所以，所以选项A正确，因为，由，得到令，得到，即的一个对称中心为，所以选项C正确，又将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，所以选项D正确，故选：ACD.12．BC【分析】根据线线垂直、面面相交、线面平行、异面直线的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】连接，如下图所示，A选项，由于，所以是异面直线与所成的角或其补角，设正方体的边长为，则，所以，所以，所以，A选项错误.B选项，根据正方体的性质可知:，所以四点共面，所以平面平面，B选项正确.C选项，根据正方体的性质可知，所以四边形是平行四边形，所以由于平面，平面，所以面，C选项正确.D选项，由于与平面相交，平面其不过与平面的交点，所以与是异面直线，D选项错误.故选：BC13．【分析】利用平面向量的坐标运算和向量共线得到方程，解出即可.【详解】，，因为，所以，所以.故答案为：.14．【分析】借助扇形弧长公可计算出圆锥母线长，结合扇形面积公式即可得圆锥侧面积.【详解】设圆锥母线长为l，扇形圆心角为，则，故，则.故答案为：.15．##【分析】利用诱导公式及二倍角公式公式计算可得；【详解】解：因为，所以故答案为：16．【分析】根据三角函数的对称性、最值求得正确答案.【详解】由于若，且在区间上有最小值无最大值，，则，所以，，由于，所以的值为.故答案为：17．(1)(2)【分析】（1）利用向量坐标运算法则计算得到，从而计算出模长；（2）利用向量坐标运算和数量积等于0求出实数的值.【详解】（1），所以（2），因为，所以，解得：18．(1)(2)最小值为，此时.【分析】（1）化简得到，整体思想求的单调递增区间即可.（2）先求，再求范围，进而求出值域，即得到最小值及此时x的取值.【详解】（1）∵，∵，则，∴的单调递增区间为.（2）∵，则，∴，即，故当，即时，取到最小值.19．(1)(2).【详解】解：（1）因为AC⊥BC，所以B1C1⊥A1C1.因为ABCA1B1C1是直棱柱，所以CC1⊥平面A1B1C1.又B1C1⊂平面A1B1C1，所以CC1⊥B1C1，CC1∩A1C1＝C1，CC1，A1C1⊂平面ACC1A1，所以B1C1⊥平面ACC1A1，所以∠B1AC1即为直线AB1与平面ACC1A1所成的角．在Rt△B1AC1中，AC1＝2，B1C1＝2，所以tan∠B1AC1＝，所以直线AB1与平面ACC1A1所成角的正切值为.（2）因为AC∥A1C1，所以∠B1AC是异面直线AB1与A1C1所成的角或其补角．如图，连接B1C，在△B1AC中，AB1＝2，B1C＝2，AC＝2，所以cos∠B1AC＝＝，所以异面直线AB1与A1C1所成角的余弦值为.20．（1）缉私艇应该往东偏北方向追缉；（2）缉私艇可以在该走私船进入公海前将其截获.【分析】（1）假设t小时后缉私艇在点M处将走私船截获，则可得，然后在中利用正弦定理可求得答案；（2）中利用余弦定理列方程可求出的值，从而可求出的长，再与比较大小即可得答案【详解】解：（1）假设t小时后缉私艇在点M处将走私船截获．在中，，解得，则，即缉私艇应该往东偏北方向追缉．（2）在中，根据余弦定理得，所以化简得，解得或（舍去），此时走私船前进了．所以缉私艇可以在该走私船进入公海前将其截获．21．(1)证明见解析(2)20【分析】（1）已知等式利用正弦定理边化角或利用余弦定理角化边，再结合同角三角函数的关系和三角恒等变换化简，可证得结论；（2）由已知条件可得，由（1）中的结论结合勾股定理求得各边长，面积公式计算的面积．【详解】（1）解法一：由及正弦定理可得，整理得．又，所以，所以，即，所以，又，，则，所以．解法二：由及余弦定理可得，整理得．因为，即．（2）因为，，即，两边同时平方，有，所以，．又由（1）知，则，所以．又，解得，所以的面积为22．(1)证明见解析(2)(3)存在，【分析】（1）证明平面即能证出（2）利用三棱锥等体积即能求C到平面ABH的距离.（3）取的中点，则能得平面平面，即得出，利用相似即能得出比值.【详解】（1）因为底面，平面，所以.又因为，平面，所以平面，又因为平面，