人教A版新教材高中数学第二册教学设计2：6.1 平面向量的概念

6.1平面向量的概念

教材分析

本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第六章《平面向量

及其应用》，本节课是第1课时，本节课内容包括向量的实际背景与概念、向量的几何表示、

相等向量与共线向量。

本节从物理学中的位移、力这些既有大小又有方向的量出发，抽象出向量的概念，并重点说

明了向量与数量的区别，然后介绍了向量的几何表示、向量的长度、零向量、单位向量、平

行向量、共线向量、相等向量等基本概念。

在“向量的物理背景与概念”中介绍向量的定义；在“向量的几何表示‘'中，主要介绍有向线段、

有向线段的三个要素、向量的表示、向量与有向线段的区别与联系、向量的长度、零向量、

单位向量、平行向量；在“相等向量与共线向量”中，主要介绍相等向量，共线向量定义等.

课程目标学科素养

A.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的1.数学抽象：平面向量的概念；

几何表示；2.逻辑推理：区分平行向量、相等向量

B.掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向和共线向量；

量、共线向量等概念；3.直观想象：向量的几何表示；

C.并会区分平行向量、相等向量和共线向量.

D.通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向

量和数量的本质区别.

E.通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认

识客观事物的数学本质的能力.

教学重难点

1.教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向

量.

2.教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.

课前准备

教学过程教学设计意图

核心素养目标

一、情景引入通过生动的例子及

1.老鼠以10m/s的速度向东跑，猫以50m/s的速度向西追，猫能否物理知识，引入本节

追上老鼠？新课。建立知识间的

分析：老鼠逃窜的路线、猫追逐的路线实际上都是有方向、有长短的联系，提高学生概

里.括、类比推理的能

2问.题：质量、力、速度这三个物理量有什么区别？力。

质量只有大小；力、速度既有大小，又有方向。

二、探索新知

（-）向量的实际背景与概念

1.问题：在物理中，位移与路程是同一个概念吗？为什么？

『r答案』』不是，位移既有大小，又有方向，路程只有大小。

2.（1）向量与数量的定义：

既有大小，又有方向的量叫做向量（物理学中称为矢量）；

只有大小，没有方向的量叫做数量（物理学中称为标量）.

注意：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、能比较大

小；向量具有大小和方向这双重要素，由于方向不能比较大小，故向

量不能比较大小.

练习：下列量不是向量的是（）

（1）质量；（2）速度；（3）位移；（4）力；（5）加速度；（6）面积；

（7）年龄；（8）身高.

“答案」』（1）（6）（7）（8）

（二）向量的几何表示通过物理量路程与

探究：由于实数与数轴上的点一一对应，数量常常用数轴上的一个点位移引入向量概念，

表示，那么，怎么表示向量呢？提高学生的解决问

题、分析问题的能

力。

1.有向线段的定义

在线段48的两个端点中，规定一个顺序，假设A为起点，8为终点，

就说线段A8具有方向，具有方向的线段叫做有向线段.

如图，以A为起点、8为终点的有向线段记作而.

线段AB的长度也叫做有向线段赢的长度，记作|而|.

提高练习，进一步巩

固向量的概念。

B

（终点）

思考：一条有向线段由哪几个基本要素所确定？通过探究，引入向量

“答案」』三个要素：起点、方向、长度.表示，提高学生分析

向量的几何表示问题、概括能力。

画图时，我们常用有向线段来表示向量，线段按一定比例（标度）画

出.其中有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量

的方向.

向量的表示方法：

一般可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，如丽、国.

若表示向量的有向线段没有标注起点和终点字母，向量也可用黑体字

通过思考，进一步理

母a,h,C,...（书写时用注意用a,瓦c…表示）.

解向量的表示。

注意：（1）.向量:与起点无关.用有向线段表示向量时，起点可以取任意

位置.数学中的向量也叫自由向量.

（2）.有向线段与向量的区别：

有向线段：三要素：起点、大小、方向。

向量:可选任意点作为向量的起点、有大小、有方向。

4.向量的模

•*.—•

向量A8的大小，就是向量A8的长度（或模），记作|AB|或记作|a|.

思考：向量的模可以为0吗？可以为1吗？可以为负数吗？

打答案』』可以为0,1,不能为负数。

5.零向量：长度为0的向量，记作6.

单位向量：长度等于1个单位的向量.

说明：（1）零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向.

故零向量的方向是任意的，单位向量的方向具体而定.

（2）注意：向量是不能比较大小的，但向量的模（是正数或零）是可

以进行大小比较的.

（三）.相等向量与共线向量

思考：向量由其模和方向所确定.对于两个向量£,万，就其模等与不

等，方向同与不同而言，有哪儿种可能情形？

『『答案』』模相等，方向相同；模相等，方向不相同；

模不相等，方向相同；模不相等，方向不相同；

1.平行向量定义：

①方向相同或相反的非零向量叫平行向量;②我们规定0与任一向量

平行.

说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量4、b、

提高思考，引入特殊

c平行，记作a〃b//c.

的向量，增强对概念

的理解，提高学生分

析问题的能力。

2.相等向量定义：

长度相等且方向相同的向量叫相等向量.

说明：（1）向量。与6相等，记作。=6；（2）零向量与零向量相

等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，

并且与有何缱铲的色卓不未.

3.共线向量与平行向量关系：

平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线

上（与有何缱段的胆卓无天）..

a

b-c_b_a________

通过思考，引入平行

_cCOAB

向量，提高学生的理

说明：(1)平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关

解问题的能力。

系；(2)共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的

位置关系.

牛刀小试

通过练习，进一步巩

填空：

固所学的向量有关

(1)平行向量是否一定方向相同？()

知识，提高学生解决

(2)不相等的向量是否一定不平行？()

问题的能力。

(3)与零向量相等的向量必定是什么向量？。

(4)与任意向量都平行的向量是什么向量？()

(5)若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？()

(6)两个非零向量相等的当且仅当什么？()

(7)共线向量一定在同一直线上吗？()

行答案」』(1)不一定(2)不一定(3零向量

通过例题的讲解，让

(4)零向量(5)平行向量(6)长度相等且方向相同

学生进一步理解共

(7)不一定

线向量、相等向量，

例.如图，设。是正六边形ABCDEF的中心.

提高学生解决与分

--X

为析问题的能力。

(1)写出图中的共线向量；

(2)分别写出图中与向量苏、而、无相等的向量.

解：(DOA,CB.DO,屋是共线向量；

OB,DC,EO,AF是共线向量；

OC,AB.ED,南是共线向量.

(2)OA=CB=DOt

OB=DC=EO;

OC=AB=ED=F6.

三、达标检测通过练习巩固本节

1.下列说法中正确的个数是（）所学知识，提高学生

①身高是一个向量；解决问题的能力，感

②/AOB的两条边都是向量；悟其中蕴含的数学

③温度含零上和零下温度，所以温度是向量；思想，增强学生的应

④物理学中的加速度是向量.用意识。

A.0B.1

C.2D.3

『『解析』』只有④中物理学中的加速度既有大小又有方向是向量，

①②③错误.④正确.

“答案」』B

2.在下列判断中，正确的是（）

①长度为0的向量都是零向量；

②零向量的方向都是相同的；

③单位向量的长度都相等；

④单位向量都是同方向；

⑤任意向量与零向量都共线.

A.①②®B.②③©

C.①②⑤D.①③⑤

『r解析』』由定义知①正确，②由于零向量的方向是任意的，故

两个零向量的方向是否相同不确定，故不正确.显然③、⑤正确，④

不正确，故选D.

『【答案』』D

3.设ei，e2是两个单位向量，则下列结论中正确的是（）

A.e\=e2B.e\//C2

C.Iei|=|e2|D.以上都不对

“解析』』单位向量的模都等于1个单位，故C正确.

『［答案』』C

4.在下列命题中：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平

行；③共线向量一定相等；④相等向量一定共线；⑤长度相等的向量

是相等向量；⑥平行于同一个非零向量的两个向量是共线向量.正确

的命题是________.

『r解析』』由向量的相关概念可知④⑥正确.

"答案」』④⑥

5.如图所示，四边形48C。是平行四边形，四边形4BOE是矩形，找

出与向量显相等的向量.

AB

EDC

解:由四边形A8C。是平行四边形，四边形A8OE是矩形，知成，Eb

与屈的长度相等目方向相同，所以与向量显相等的向量为皮和豆）.

四、小结