2022年中考数学复习-一次函数菱形和平行四边形练习

一次函数菱形和平行四边形练习

一、解答题

1.如图，一次函数产&x+b图像分别与x轴、y轴交于点A(8,0)、B(0,6),四边

形A8CQ是正方形.

(1)求一次函数解析式；

(2)求点。的坐标；

(3)点M是线段A8上的一个动点(点A、8除外)，试探索在坐标平面内否存在另

一个点N,使得以凤N为顶点的四边形是菱形？若不存在，请说明理由；若

存在，请求出点N的坐标.

3144192

【答案】(1)y--—x+6；(2)(14,8)；(3)存在((—4，3).

【分析】

(1)根据待定系数法即可求解；

(2)首先过点。作。轴于点E,易证得AAOB丝△£>£>!,则可求得QE与AE的

长，继而可求得点。的坐标；

(3)分别从当OM=M8=BN=M9时，四边形OMBN为菱形与当OB=BN=NM=MO

=6时，四边形BOMN为菱形去分析求解即可求得答案.

【详解】

解：(1)把A(8,0)、B(0,6)代入一次函数y=H+8

0=8%+人

得

6=b

,3

K=--

解得4

b=6

3

.一次函数解析式为尸7+6；

(2)如图1,过点。作。E_Lx轴于点E,

贝叱408=ZDEA=90°,

.♦./l+N2=90°,N2+N3=90,

，Nl=/3,

又•••四边形488是正方形，

：.AB=DA,

•在△408和4DEA中，

Z=N1

，NAOB=NDEA

AB=DA

：./\AOB^/\DEA(A45),

：.OA=DE=S,OB=AE=6,

：.OE=OA+AE=S+6=\4,

点。的坐标为(14,8)；

(3)存在.

①如图2,当OM=MB=BN=NO时，四边形OMBN为菱形.连接NM,交OB于点P,

则MW与。8互相垂直平分，

.•.OP=gOB=3,

3

・••当y=3时，一一x+6=3,

4

解得：%=4,

・••点M的坐标为(4,3),

・••点N的坐标为(-4,3).

②如图3,当OB=BN=NM=MO=6时,四边形BOMN为菱形.延长NM交汇轴于点

P,则轴.

3

'・•点M在直线y=--x+6上，

4

3

，设点M的坐标为(〃，-：。+6)(<7>0),

在/?/△OPM中，。产+月仔二。〃!,

即：次+(—―a+6)2=62,

4

解得G=0(舍去)"2=w，

•••点M的坐标为(1罢44，I4?I),

,:MN=0B=6

.•.点N的坐标为(14黄4，­192),

)、(-4,3).

【点睛】

此题考查了待定系数法求函数的解析式、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、菱

形的性质以及勾股定理.此题难度较大，注意掌握方程思想、分类讨论思想与数形结合

思想的应用.

2.如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+4与X轴、y轴分别交于点。、C,直线

AB与7轴交于点A(0,-2),与直线交于点8(如1).

(1)求直线A3的解析式；

(2)点尸沿4d-C的折线运动，当AAPC的面积等于AA8C面积的g时，求点尸的

坐标；

(3)点E是射线CD上一动点，过点E作EF//y轴，交直线A5于点尸.若以0、C、

E、尸为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点E的坐标.

【答案】（1）尸c-2；（2）点P的坐标为（1,3）或（I,-1）；（3）点E的坐标为（I,

3）或（5,-1）

【分析】

（1）把8（如1）代入产-x+4求出〃?，再根据待定系数法即可求出直线A8的解析式；

（2）先求出△ABC的面积，设点P的横坐标为。，根据三角形面积公式列出关于。的

方程，求出“，分情况讨论即可求解；

（3）设E的横坐标为x,分别表示出E、尸的坐标，根据平行四边形的性质得到CO=EF,

列出方程求出x,故可求解.

【详解】

解：（1）•••点B在直线尸-x+4上

-m+4=1,解得，〃=3

，点B的坐标为（3,1）.

设直线A8的解析式为：y=kx+b

（3k+h=l[k=\

把A（0,-2）,B（3,1）代入解析式得八c,解得\.

[b=-2[b=-2

,直线A8的解析式为y=x-2.

（2）由题意得：点C的坐标为（0,4）,."C=OC+OA=4+2=6

，S&.sc=]x3x6=91S«”c=§S'BC=3

设点P的横坐标为a,S®>c=gx6a=3,：,a=\.

①当点P在线段BC上时，z+4=3,

.•.点P的坐标为（1,3）.

②当点P在线段A8上时，a-2=-1,

.•.点P的坐标为（1,-1）

综上：点尸的坐标为（1,3）或（1,-1）.

（3）设E的横坐标为x,

:.E（x,-x+4）,F（x,x-2）

EF=|（-x+4）-（x-2）卜|—2x+6|

•.•以0、C、E、尸为顶点的四边形是平行四边形，

，CO=EF,

：.|-2x+6|=4

解得k1或x=5

，点E的坐标为(1,3)或(5,-1).

【点睛】

此题主要考查一次函数与几何综合,解题的关键是熟知待定系数法、三角形的面积公式、

一元一次方程的求解及平行四边形的性质.

3.如图，平面直角坐标系中4(2,0),D(0,1),过。作于点E,B为第

一象限的点，过点8作3C_L)，轴于点C,连接8c.

(1)求直线AO的解析式；

(2)若OD=BC,求证：AOBC出AADO；

(3)在第(2)问条件下若点M是直线AD上的一个动点，在x轴上存在另一个点N,

且以0、B、V、N为顶点的四边形是平行四边形，请求出点N的坐标.

【答案】⑴y=-；x+l；(2)见详解；⑶(-3,0)或(3,0)或(7,0)

【分析】

(1)设直线AO的解析式为：y^kx+b,把A(2,0)、D(0,1)代入y=fcr+b,解

之可得答案；

(2)先证明NOAO=NCO8,再利用AAS证明△即可；

(3)先求出8(1,2),再分两种情况：①当ON为边时，根据平行四边形的对边平行

且相等可得BM〃AN且8M=AN,令y=2求出点M的坐标，从而得到的长度；②

当ON为对角线时，设N",0),M(m,列出方程组，即可求解.

【详解】

解：(1)设直线的解析式为：y=kx+b,

⑵+6=0

把A(2,0)、D(0,1)代入得：，，，

[Z?=l

解得：,2,

b=\

直线解析式为y=-；x+l；

(2)

/.ZOAD+ZAOE=W°f

又:ZAOE+ZBOC=90°t

：.ZOAD=ZCOBf

在^OBC和△AOO中，

/OAD=ZCOB

•：\ZAOD=ZOCB=90°

OD=BC

：./\OBC^/\ADO(AAS)；

(3)"：△OBgXADO,

I.CO=OA=2,

•;BC=OD=l,

：.B(1,2)

•・•点N在x轴上，。、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形,

①如图，当ON为边时，

A-yx+l=2,解得x=-2,

・•,点M的坐标为（-2,2）,

（-2）=1+2=3,

N在点。的左边时，ON=BM=3,

・••点N的坐标为（-3,0）,点N在点。的右边时，，ON=BM=3,

・••点N的坐标为（3,0）,

②当ON为对角线时，设N（〃，0）,M（次，-;m+1）,

m=6

则。+。=2」，"+1,解得:

n=7'

，点N的坐标是(7,0),

综上所述，点N的坐标为(-3,0)或(3,0)或(7,0).

【点睛】

本题是对一次函数的综合考查，主要有坐标与图形的性质，全等三角形的判定与性质,

平行四边形的性质，综合性较强，画出图形，分类讨论是解题的关键.

4.如图，点O是平面直角坐标系的原点，一次函数v=(x+3的图象与y轴交于点5,

与x轴交于点A,点C与点A关于y轴对称.

备用图

(1)求直线8C的解析式；

(2)点P为线段AB上一点，点。为线段8c上一点，BQ=AP,连结PQ,设点尸的

横坐标为，，△尸8Q的面积为S(S>0),求S关于f的函数关系式；

(3)在(2)的条件下，当S取最大值时，若点"是平面内一点，在直线A8上是否

存在点N,使得以点P,Q,M,N为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出符合

条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】⑴y=-|x+3：(2)5=-：*-3f：(3)(1,苏)或(-g,-看)或(。,3)或(微，

267、

家

【分析】

(1)求出4-4,0),8(0,3),C(4,0),利用待定系数法求BC的解析式即可；

(2)过点A作8c于点£>,过点尸作PEL3C于点E,PFLOB于点、F,设

PQ,1f+3),求出AO的长，利用直角三角形函数的三角函数值求出产芯=-3，

45

BQ=AB-PB=5+^t,再由S=代入所求量即可求解；

(3)由(2)求出P、。点坐标，分四种情况分别求N点坐标：当N点在PQ上方时;

当N点在PQ下方时；当PQ为菱形对角线时；当PN为菱形对角线时.

【详解】

解：(1)y=：x+3中，当x=0,y=3；当y=0,x=T,

4

A(-4,0),8(0,3),

・・・点。与点A关于y轴对称，

・•.C(4,0),

设直线3c的解析式为》="+力，

将点3、C代入解析式可得：

(b=3

[4k+b=09

\k=—3

・••,4,

b=3

3

..y=—九+3o；

4

(2)如图：过点A作4),3。于点。，过点尸作尸于点E,PFLOB于点F,

・.・OA=OC=4,08=3,

/.AC=8fAB=BC=5,

..sin心空口

ACBC

AD34

•,V"-5

24

AD=—

5

•・・点P在直线)，=口+3上,

4

设P(f,力3+3),

4

...PF=-t,cosZBPF=cosZBAO,

PF__OA_

~PB~~AB~5

4

24

PEAD524

,:sinZABD=——

PB7i-T-25

T*x(-£)=等

・・・AP=BQ,

BQ=AB-PB=5+-t,

.•.当f=-2时，S有最大值,

3

P(-2,q),

2

••・Q点在y=-=x+3上，

4

35

设。3-二〃+3),BQ、,

42

二畀旧+(一涉,

a=±2,

・・・Q在线段BC上,

硼4,

3

•.2(2,Q),

・•・PQ=4,

如图1：当N点在尸。上方时，过N点作NH上PQ交于点H,

•・・尸。//%轴,

3

;.im/NPH二一，

4

:.s\nZNPH=-=—

5PN

•：PN=PQ=4,

・•.N点纵坐标为512+339

.心,当.

"510,

3129

同理，当N点在PQ下方时，N点纵坐标为=

•.N(g中

•••p、。关于y轴对称，当PQ为菱形对角线时,

.[MO,3）时，NPM。是菱形;

如图2：当PN为菱形对角线时,

Q点关于直线k%+3对称的点为M'

设。历与PN的交点为G,过G点作LK1P。交PQ于点K,交MN于点、L,

4PGGP

~5=~PQ=~

」.G喈

:.sinZGPK=—=-,

PG5

二.GK总,

•;LG=GK,

丁吟，

AA/All963267

N点的纵坐标为—+-=玉~,

山78267、

，N(—,—)；

2550

综上所述：点尸，Q,M,N为顶点的四边形是菱形时，N点坐标为g,2)或(-?，

。IU，

力或(0,3)或用,-).

【点睛】

本题考查一次函数的综合应用；熟练掌握一次函数的图象及性质，利用菱形的性质结合

三角形的三角函数值，数形结合的解题是关键.

5.如图，一次函数尸2x+4的图象分别与x轴，y轴教育点A、点B、点C为x轴一动

点。

(1)求A,B两点的坐标；

⑵当AABC的面积为6时，求点C的坐标；

(3)平面内是否存在一点D,使四边形ACDB使菱形,若存在,请直接写出点D的坐标；

若不存在，请说明理由。

【答案】(1)点A(-2,0),B(0,4)；⑵点C(-5,0)或(1,0)；(3)D(-2倔4)或(2遍，4).

【解析】

【分析】

(1)利用坐标轴上点的特点求解即可得出结论；

(2)根据△AOB的面积，可得出点C的坐标；

(3)根据勾股定理求出AB的长，再利用菱形的性质可得结果，分两种情况讨论.

【详解】

⑴当x=0,)=4

当y=0,x=-2

.•.点A(-2,0),B(0,4)

，0A=2,0B=4

AABC的面积为--OB=2AC

因为AABC的面积为6

，AC=3

VA(-2,0)

.,.点C(-5,0)或(1,0)

(3)存在，理由：①如图：点C再A点左侧,

•••A(-2,0),B(0,4),二AB=j22+42=2z,：四边形ACDB为菱形,

；.AC=AB=2遥,：AC〃BD,；.AC=BD=AB=2倔♦,.D(-2A/I，4)；

；A(-2,0),B(0,4),AB=Jz2+42=2店、•:四边形ACDB为菱形，

；.AC=AB=2岔,：AC//BD,；.AC=BD=AB=2遮,，D(26，4)；综上所述：D点的坐标

为G2有，4),(2*，4)

【点睛】

本题考查了一次函数的应用、菱形的性质以及三角形的面积问题，注意掌握数形结合思

想和分类讨论的思想.

4

6.如图，在平面直角坐标系xOy中，点C的坐标为（4,0）,一次函数y=§x+3的图

像分别交X轴、y轴于点A、点B.

（1）若点。是直线A5在第一象限内的点，且试求出点。的坐标.

⑵在⑴的条件下，若点。是坐标轴上的一个动点，试探索在第一象限是否存在另一个

点P,使得以8、D、P、。为顶点的四边形是菱形（8。为菱形的一边）？若存在，请

亶毯写出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

（2）点P的坐标为（3,12）或（3,2）或（7,4）

【解析】

试题分析：（1）先求出0B=3,进而求出BC=5,再用勾股定理建立方程求出点D；

（2）分点Q在y轴和x轴，两种情况讨论，先利用菱形的性质求出BQ=5进而得出点

Q的坐标，再利用菱形的对边平行即可求出点P的坐标.

试题解析：（1）如图1,设点D（3a,4a+3）,

4

过点D作DE_Ly轴于E,把x=0代入y=§x+3中，得，y=3,

，0B=3,

/.BE=OE-OB=4a+3-3=4a,BC=JOB2+0C°=5,

在RSBED中，根据勾股定理得，(3a)2+(4a)2=52,

a=±l,

•.•点D在第一象限，

a=l,

AD(3,7)；

(2)由(1)知，BD=BC=5,

①当点Q在y轴上时，

设Q(0,q),

••・使得以B,D,P,Q为顶点的四边形是菱形(BD为菱形的一边)，且点P在第一象

限内，

即：四边形BDPQ是菱形，

；.PQ〃BD,DP〃BQ,

.•.点P的横坐标为3,

•.•四边形BDPQ是菱形，

BQ=BD=5,

VB(0,3),

AQ(0,8)或(0,-2),

I、当点Q(0,8)时，

4

；直线BD的解析式为y=§x+3,

4

直线PQ的解析式为y=§x+8,

当x=3时，y=12,

：.P(3,12),

H、点Q(0,-2)时，

4

直线BD的解析式为y=7X+3,

4

•••直线PQ的解析式为y=§x-2,

当x=3时,y=2,

：.P(3,2),

②当点Q在x轴上时，

设Q(m,0),),

••・使得以B,D,P,Q为顶点的四边形是菱形(BD为菱形的一边)，且点P在第一象

限内，

即：四边形BDPQ是菱形，

BQ=BD=5,

VOB=3,

.\OQ=4,

：.Q(-4,0)或(4,0)

4

I、当Q(-4,0)时，・・,一次函数y=§x+3的图象交x轴于点A,

9

AA(―,0),

4

・••点Q在点A的左侧，

.••点P在第二象限内，不符合题意，舍去，

II、当点Q(4,0)时，:四边形BDPQ是菱形，

・・・BQ〃DP,PQ〃BD,

4

・・,直线BD的解析式为y=jx+3,

4

・・・设直线PQ的解析式为y=jx+b,

4

•••—x4+b=0,

3

16

・•b=--，

3

・・•直线PQ的解析式为y4=x16-£①，

VB(0,3),Q(4,0),

3

・,•直线BQ的解析式为y=--x+3,

VD(3,7),

工直线DP的解析式为y=-=x+二②，

44

联立①②解得，x=7,y=4,

r.p(7,4),

即：满足条件的点P的坐标为(3,12)、(3,2)、(7,4).

2

7.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线45：y=§x+4交x轴于点A,交y轴

于点B.直线CD：j=-1x-l与直线AB相交于点M,交x轴于点C,交y轴于点D.

(1)直接写出点B和点。的坐标；

(2)若点P是射线MD的一个动点，设点P的横坐标是x,APBM的面积是S,求S

与x之间的函数关系；

(3)当S=20时，平面直角坐标系内是否存在点E,使以点5,E,P,M为顶点的四

边形是平行四边形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由.

XAx

V-

S4

【答案】(I)B(0,4),D(0-l);(2)5=|x+^(x>-5)；(3)存在，点E的坐标为(8,§)或

【分析】

(1)分别求出两个函数x=o时，y的值，由此即可得出答案；

(2)先求出点”的坐标，从而可得ABZMZ的面积，再利用APBM的面积与

面积之间的关系即可得；

(3)先根据(2)的结论求出点P的坐标，再分①四边形是平行四边形；②四边

形出训是平行四边形；③四边形网P是平行四边形三种情况，利用平行四边形的对

角线性质求解即可得.

【详解】

2

解：(1)对于函数y=§x+4,

当x=0时,y=4,即8(o,4),

对于函数,丫=-卜-1,

当x=0时，y=-l,即。(0,-1)；

(2)v5(0,4),0(0-1),

.•.BD=4-(-l)=5,

'2r

y=—x+4X=-J

联立\,解得2,即M(-5,"

好」-I＞，=33

I3i

SRDM=/X5X5=5，

由题意，分以下两种情况：

①如图，当点尸在线段"D上，即-54x40时,

••S—S4PBM~S&BDM_S#DP=5X+耳，

②如图，当点P在射线上，且位于点。右侧，即x>0时,

••S=S"BM=SjiDp+S由DM=/X+万，

525

综上，S=--x+—(x>-5y)；

22

525

(3)当S=20时，-X+—=20,解得x=3,

22

对于函数y=_；x-l,

当x=3时，y=-1x3-l=-2,即P(3,-2),

设点E的坐标为E(a,6),

由题意，分以下三种情况：

①当四边形BEPM是平行四边形时，则对角线与ME互相平分,

-5+«_0+3

22（7=8

因此有，2,解得，

厂=-2+4.3

.22

4

即此时点E的坐标为£（8勺）；

②当四边形BPEM是平行四边形时，则对角线5E与MP互相平分,

0+4-5+3

22a=-2

因此有，c2，解得，,16,

-2d---h=---

4+b____33

r2

即此时点E的坐标为£(-2,-y)；

③当四边形BfiWP是平行四边形时，则对角线BM与EP互相平分,

3+〃—5+0

22。=-8

因此有，,2，解得，、20,

4+-b--

-2+b_313

22

即此时点E的坐标为E(-8,y);

4

综上，存在点E,使以为顶点的四边形是平行四边形，点E的坐标为(8,§)或

(-2,一与)或(-8,弓).

【点睛】

本题考查了一次函数的几何应用、平行四边形的性质等知识点，较难的是题(3),正确

分三种情况讨论是解题关键.

8.如图，在平面直角坐标系xQy中，直线A8:y=-g