江苏省南通市2023-2024学年高二下学期6月期末数学试题【含答案】

2024年南通市高二学年度质量监测数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置上，在其他位置作答一律无效．3．本卷满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知随机变量，且，则（

）A．0.02 B．0.03 C．0.07 D．0.082．已知一个圆锥底面半径为，其侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的母线长为（

）A． B． C． D．3．已知函数，则（

）A．1 B．2 C．4 D．64．电视台有6个不同的节目准备当天播出，每半天播出3个节目，其中某电视剧和某专题报道必须在上午播出，则不同播出方案的种数为（

）A．24 B．36 C．72 D．1445．函数，的单调增区间为（

）A． B． C． D．6．在三棱锥中，已知，是线段的中点，则（

）A． B．C． D．7．已知函数，若，，，都有，则实数的最大值为（

）A． B． C． D．8．甲箱中有2个红球和2个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球．先从甲箱中等可能地取出2个球放入乙箱，再从乙箱中等可能地取出1个球，记事件“从甲箱中取出的球恰有个红球”为，“从乙箱中取出的球是黑球”为，则（

）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．若，则（

）A． B．C． D．10．在空间中，，是不重合的直线，，是不重合的平面，则下列说法正确的是（

）A．若，，则B．若，，，则C．若，，，则D．若，，，则11．已知函数，则下列说法正确的有（

）A．曲线恒过定点B．若，则的极小值为0C．若，则D．若，则的最大值大于三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．某小吃店的日盈利（单位：百元）与当天平均气温（单位：℃）之间有如下数据：012百元54221由表中数据可得回归方程中．试预测当天平均气温为时，小吃店的日盈利约为百元．13．设随机变量，且，则；若，则的方差为．14．已知六棱锥的底面是边长为1正六边形，且顶点均在同一球面上，若该棱锥体积的最大值为，则其外接球的表面积为．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．如图，在直三棱柱中，，．(1)求证：平面；(2)求直线与所成角的余弦值．16．为调查喜欢山地自行车项目是否和性别有关，某自行车店随机发放了30份问卷，并全部收回，经统计，得到如下列联表：男性女性喜欢124不喜欢68(1)能否有的把握认为喜欢山地自行车项目和性别有关?(2)在上述喜欢山地自行车项目的受访者中随机抽取3人，记其中男性的人数为，求的分布列．附：0.0500.0100.001k3.8416.63510.82817．已知函数，，，(1)设曲线在处的切线为，若与曲线相切，求；(2)设函数，讨论的单调性．18．如图，在四棱锥中，平面，，，，．点在棱上且与，不重合，平面交棱于点．(1)求证：；(2)若为棱的中点，求二面角的正弦值；(3)记点，到平面的距离分别为，，求的最小值．19．箱子中有大小和质地相同的红球、白球和黑球共个，其中红球的个数为，现从箱子中不放回地随机摸球，每次摸出一个球，并依次编号为1，2，3，……，，直到箱子中的球被摸完为止．(1)求2号球为红球的概率（用与表示）；(2)若，，记随机变量为最后一个红球被摸出时的编号，求；(3)若箱子中白球、黑球的个数分别为，，求红球先于白球和黑球被摸完（红球被全部摸出，白球和黑球都有剩余）的概率．1．B【分析】利用正态分布的性质求解即可.【详解】由于随机变量，且，所以,故选：B2．D【分析】运用弧长等于圆锥底面周长，扇形半径为母线长，联立方程，解出即可．【详解】设圆锥母线长为l,扇形半径为R,则,，解得l=10.故选：D.3．C【分析】利用导数的定义和求导公式进行求解.【详解】由题意，因为，所以，即.故选：C.4．D【分析】先把某电视剧和某专题报道排在上午，再结合全排列计算即可.【详解】因为某电视剧和某专题报道必须在上午播出，所以种排法,其他4个节目有种排法，所以不同播出方案的种数为.故选：D.5．A【分析】先求导函数，再令导函数大于等于0，即可求出单调增区间.【详解】因为，所以,即，.单调增区间为.故选：A.6．D【分析】连接,利用空间向量的基本定理求解即可.【详解】连接，因为是线段的中点，所以因为，所以所以故选：D7．B【分析】先化简不等式得出函数单调性，再把单调递增转化为导数恒为正即可求出参数最值.【详解】假设,又因为,可得,设,,单调递增，,恒成立,所以,即可得.故选：B.8．D【分析】根据题意，先求出，，，判断A，由条件概率公式和全概率公式依次判断B、C、D选项即可.【详解】根据题意，甲箱中有2个红球和2个黑球，则，，，故A不正确；乙箱中有1个红球和3个黑球，则，，，故B不正确；则有，故C正确；则，故D正确；故选：D9．ACD【分析】应用赋值法判断A,C,D选项，根据二项式展开式判断B选项.【详解】令,可得,A选项正确；令,可得,令,可得，两式相加可得,C选项正确；是的各项系数和，所以，D选项正确；的展开式的系数是,B选项错误.故选：ACD.10．BD【分析】运用线面平行垂直的性质和判定逐个分析即可.【详解】对于A,若，，则或者，故A错误；对于B,可以用法向量来思考.，所在的方向取，的法向量，法向量垂直可推出面面垂直.故B正确;对于C,若，，，则或者相交，故C错误；对于D，过直线分别作两平面与分别相交于直线和直线，因为，过直线的平面与平面的交线为直线，则根据线面平行的性质定理知，同理可得，则，因为平面，平面，则平面，因为平面，，则，又因为，则，故D正确．故选：BD.11．ACD【分析】对于A，求出即可；对于B，结合导数求出的极值即可；对于C，利用导数求出的单调性，结合单调性比较和的大小即可；对于D，结合导数求出的最大值为，令，利用导数的最值即可.【详解】对于A，令，可得，所以曲线恒过，故A正确；对于B，当时，，则，令，解得：，当时，，则在上单调递增；当时，，则在上单调递减，所以的极大值为，故B不正确；对于C，，当，则，所以在上单调递增，又，即，则，故C正确；对于D，当时，由，解得：，当时，，则在上单调递增，当，，则在上单调递减，所以，令，则，所以当时，，则在上单调递增，所以，即的最大值大于，而，故，即，所以D正确；故选:ACD12．6【分析】求出样本中心点，代入得到值，再令即可.【详解】由已知数据，，因为，则，代入，则，则，令，则.故答案为：613．##【分析】(1)用二项分布的概率公式可解；(2)用二项分布的方差结论即可解决.【详解】(1),则，则，解得(2)，由(1)得，则．，则故答案为：；．14．【分析】根据几何知识可知，当六棱锥为正六棱锥时，体积最大，即可求出棱锥的高，进而得到外接球的半径，得出球的表面积．【详解】根据几何知识可知，当六棱锥为正六棱锥时，体积最大，因为底面正六边形的边长为，所以底面外接圆的半径为，六棱锥的底面积，设六棱锥的高为，所以，即，解得．设外接球的半径为，可得，，解得．故球的表面积为．故答案为：．15．(1)证明见解析；(2).【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证明，再根据线面垂直判定定理证明线面垂直即可；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解.【详解】（1）由题意以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示，设，则，则，所以，所以，所以，即，又因为平面，平面，所以平面.（2）由（1）知，，所以，记直线与所成角为，则，故直线与所成角的余弦值为.16．(1)没有的把握认为喜欢山地自行车项目和性别有关(2)的分布列见解析【分析】（1）根据独立性检验计算判断结论；（2）根据题意求出离散型随机变量可能取值以及对应的概率，列出分布列.【详解】（1）由题可得，所以没有的把握认为喜欢山地自行车项目和性别有关；（2）由题可得男性的人数可能取值为：0，1，2，3，，，,所以的分布列为：012317．(1)(2)答案见解析【分析】（1）求出曲线在处的切线为，与联立方程组，由解得；（2）先求的定义域，求导数，对进行分类讨论，求解即可.【详解】（1），，且，所以曲线在处的切线为，则，得，因为与相切，所以，得（舍），或；（2）的定义域为，，因为，令，得或，当时，，所以当和时，，则函数单调递增，当时，，则函数单调递减增，当时，，所以当和时，，则函数单调递增，当时，，则函数单调递减增，当时，，当时取等号，函数在上单调递增，综上所述，时，的单调增区间为，，单调减区间为，时，的单调增区间为，没有减区间，时，的单调增区间为，，单调减区间为.18．(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）先证平面，在根据线面平行的性质定理可得.（2）先证，，两两垂直，再以为原点，建立空间直角坐标系，求平面和平面的法向量，用向量法求二面角的三角函数值.（3）设，求平面的法向量，利用点到平面的距离的向量求法表示出，再结合不等式求它的最小值.【详解】（1）因为，平面，平面，所以平面.又平面，平面平面.所以.（2）如图：取中点，连接.因为平面，平面，所以.在四边形中，，且，所以四边形为矩形.所以平面.又在和中，，，.所以（）.所以，.故，，两两垂直，所以以为原点，建立如图空间直角坐标系.当为中点时，，，，，.所以，，.设平面的法向量为，则，取.设平面的法向量为，则，取.所以.所以二面角的正弦值为：.（3）设，（），则，，.设平面的法向量为，则，取.则到平面的距离为：，到平面的距离为：，所以设，则那么（当且仅当即时取“”）所以.【点睛】结论点睛：点为平面外一点，点为平面内一点，平面的法向量为，则点到平面的距离为：.19．(1)(2)(3)【分析】（1）设事件：第号球为红球，利用全概率公式求；（2）根据题意，先得出的可能取值为：，结合题意，求出对应的概率，进而可得出分布列，再由期望的计算公式，即可求出结果；（3）将箱子中红球、白球、黑球的个数分别为，，，按照比例转化为，红球1个、白球1个、黑球2个进行考察再进行全排列，利用概率公式求解答案.【详解】（1）设事件：第号球为红球，则；（2）根据题意，随机变量的取值为，从袋中个红球和个其他颜色球中，将红球全部摸出，共有种情况；则，，，，，，，所以的分布列为：因此其数学期望为：；（3）根据题目本题主要关注的问题是最后一球是什么颜色的球.问题1：如果最后一球为红球，即红球摸完时，白球、黑求已经全部摸完，此时的概率为，同理可得，最后一球为白球的概率为，最后一球为黑球的的概率为，将箱子中红球、白球、黑球的个数分别为，，，按照比例转化为，红球1个、白球1个、黑球2个进行考查.问题2：发现最后一球是红的概率