新高考高中数学核心知识点全透视专题8.5正弦定理、余弦定理(精讲精析篇)(原卷版+解析)

专题8.5正弦定理、余弦定理（精讲精析篇）一、核心素养以几何图形为载体，通过考查正弦定理、余弦定理的（实际）应用以及与立体几何、平面解析几何等知识的交汇，凸显直观想象、数学运算、数学建模、逻辑推理等核心数学素养.二、考试要求1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．三、主干知识梳理1．正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容(1)eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R(2)a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC变形(3)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(4)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；(5)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(6)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA(7)cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)2.三角形常用面积公式(1)S＝eq\f(1,2)a·ha(ha表示边a上的高)．(2)S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA.(3)S＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)．3．测量中的几个有关术语术语名称术语意义图形表示仰角与俯角在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角方位角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位角θ的范围是0°≤θ<360°方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α例：(1)北偏东α：(2)南偏西α：坡角与坡比坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角(θ为坡角)；坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比(坡度)，即i＝eq\f(h,l)＝tanθ一、命题规律（1）正弦定理或余弦定理独立命题；（2）正弦定理与余弦定理综合命题；（3）与三角函数的变换结合命题；（4）考查较为灵活，题型多变，选择题、填空题的形式往往独立考查正弦定理或余弦定理，解答题往往综合考查定理在确定三角形边角中的应用，多与三角形周长、面积有关；有时也会与平面向量、三角恒等变换、立体几何等结合考查.二、真题展示1．（2023·全国·高考真题（理））魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，与的差称为“表目距的差”则海岛的高（）A．表高 B．表高C．表距 D．表距2．（2023·湖南·高考真题）如图，在中，，点D在BC边上，且，，（1）求AC的长；（2）求的值.考点01正弦定理【典例1】（2023·山东·高考真题）在△中，，，，等于______．【典例2】（2023·全国高考真题（文））的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinA+acosB=0，则B=___________.【总结提升】已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a，b，A，则A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＜bsinAa＝bsinAbsinA＜a＜ba≥ba＞ba≤b解的个数无解一解两解一解一解无解考点02余弦定理【典例3】（2023·全国·高考真题（理））记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则________．【典例4】（2023·全国高考真题（理））如图，在三棱锥P–ABC的平面展开图中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cos∠FCB=______________.【总结提升】应用余弦定理解答两类问题：考点03正弦定理与余弦定理的综合运用【典例5】（2023·天津·高考真题）在，角所对的边分别为，已知，．（I）求a的值；（II）求的值；（III）求的值．【典例6】（2023·北京高考真题）在中，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求：（Ⅰ）a的值：（Ⅱ）和的面积．条件①：；条件②：．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【总结提升】应熟练掌握正、余弦定理及其变形．解三角形时，有时可用正弦定理，也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷就用哪一个定理．考点04应用正弦定理、余弦定理判定三角形形状【典例7】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c－acosB＝(2a－b)cosA，则△ABC的形状为()A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形【规律方法】1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁．2．无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能．注意挖掘隐含条件，重视角的范对三角函数值的限制．考点05与三角形面积有关的问题【典例8】(2023·全国高考真题（文））△的内角的对边分别为，已知，，则△的面积为________．【典例9】（2023·江苏·高考真题）已知向量，，设函数.（1）求函数的最大值;（2）在锐角中，三个角，，所对的边分别为，，，若，，求的面积.【总结提升】1.求三角形面积的方法(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．2．已知三角形面积求边、角的方法(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解．(2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．提醒：正弦定理、余弦定理与三角函数性质的综合应用中，要注意三角函数公式的工具性作用．考点06与三角形周长有关的问题【典例10】（2023·重庆一中高三月考）中，，，，点，是边上两点，.（1）当时，求的周长；（2）设，当的面积为时，求的值.【典例11】（2023·江西洪都中学高二月考（理））在中，，，所对的边分别为，，且，．（1）求边长；（2）若的面积．求的周长．【总结提升】应用正弦定理、余弦定理，建立边长的方程，是解答此类问题的基本方法，解答过程中，要注意整体代换思想的应用，如果遇到确定最值问题，往往要结合均值定理求解.考点07三角形中的最值与范围问题【典例12】（2023·陕西·高新一中高二月考（理））如图，在四边形中，，，.（1）求；（2）若，求周长的最大值.【典例13】（2023·全国高考真题（理））中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．（1）求A；（2）若BC=3，求周长的最大值.【典例14】（2023·全国高考真题（文））的内角的对边分别为，已知．（1）求；（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．【总结提升】三角形中的最值范围问题，往往有三种情况，一是转化成三角函数的值域问题，利用三角函数的图象和性质；二是利用基本不等式求最值，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误；三是利用函数的单调性.考点08应用正弦定理、余弦定理解决实际问题【典例15】【多选题】（2023·湖北·武汉中学高二月考）共和国勋章，是中华人民共和国最高荣誉勋章，授予在中国特色社会主义建设和保卫国家中作出巨大贡献､建立卓越功勋的杰出人士.2020年8月11日，国家主席习近平签署主席令，授予钟南山“共和国勋章”.某市为表彰在抗疫中表现突出的个人，制作的荣誉勋章的挂坠结构示意图如图，为图中两个同心圆的圆心，三角形中，，大圆半径，小圆半径，记为三角形与三角形的面积之和，其中，，当取到最大值时，则下列说法正确的是（）A．的最大值是 B．的最大值是C． D．【典例16】（2023·河南·高三月考（文））据气象部门报道今年第14号台风“灿都”于9月12日起陆续影响我国东南沿海一带，13日5时，测定台风中心位于某市南偏东距离该市千米的位置，预计台风中心以千米/小时的速度向正北方向移动，离台风中心千米的范围都会受到台风影响，则该市从受到台风影响到影响结束，持续的时间为_______________________．【典例17】（2023·海南高一期中）在海岸处发现北偏东方向，距处海里的处有一艘走私船.在处北偏西方向，距处海里的处的我方缉私船奉命以海里小时的速度追截走私船，此时走私船正以海里小时的速度从处向北偏东方向逃窜.问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间.【总结提升】1.测量距离问题，归纳起来常见的命题角度有：（1）两点都不可到达；（2）两点不相通的距离；（3）两点间可视但有一点不可到达.2.求解高度问题的三个关注点(1)在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(在水平面上所成的角)是关键．(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题．3.（1）测量角度问题的基本思路测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．提醒：方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角．（2）解决角度问题的注意事项=1\*GB3①测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义．=2\*GB3②求角的大小时，先在三角形中求出其正弦或余弦值．=3\*GB3③在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点．巩固提升1.（2023·辽宁沈阳·高三月考）在中，内角所对的边分别为的面积为若，则的形状一定是（）A．直角三角形 B．等边三角形C．等腰三角形 D．锐角三角形2．（2023·全国高考真题（文））在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则tanB=（）A． B．2 C．4 D．83．（2023·全国高考真题（理））在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则cosB=（）A． B． C． D．4．(2023·全国高考真题（理））在中，,BC=1,AC=5，则AB=（）A． B． C． D．5．（2023·全国高考真题（文））△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA－bsinB=4csinC，cosA=－，则=（）A．6 B．5 C．4 D．36．（2023·浙江·高考真题）我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明.弦图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).若直角三角形直角边的长分别是3，4，记大正方形的面积为，小正方形的面积为，则___________.7.（2023·江苏省高考真题）在△ABC中，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若（m为常数），则CD的长度是________．8．（2023·江苏高考真题）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）若a=3c，b=，cosB=，求c的值；（2）若，求的值．9．（2023·北京·高考真题）在中，，．（1）求；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上中线的长．条件①：；条件②：的周长为；条件③：的面积为；10．（2023·山东海南省高考真题）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，________?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．专题8.5正弦定理、余弦定理（精讲精析篇）一、核心素养以几何图形为载体，通过考查正弦定理、余弦定理的（实际）应用以及与立体几何、平面解析几何等知识的交汇，凸显直观想象、数学运算、数学建模、逻辑推理等核心数学素养.二、考试要求1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．三、主干知识梳理1．正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容(1)eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R(2)a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC变形(3)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(4)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；(5)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(6)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA(7)cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)2.三角形常用面积公式(1)S＝eq\f(1,2)a·ha(ha表示边a上的高)．(2)S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA.(3)S＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)．3．测量中的几个有关术语术语名称术语意义图形表示仰角与俯角在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角方位角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位角θ的范围是0°≤θ<360°方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α例：(1)北偏东α：(2)南偏西α：坡角与坡比坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角(θ为坡角)；坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比(坡度)，即i＝eq\f(h,l)＝tanθ一、命题规律（1）正弦定理或余弦定理独立命题；（2）正弦定理与余弦定理综合命题；（3）与三角函数的变换结合命题；（4）考查较为灵活，题型多变，选择题、填空题的形式往往独立考查正弦定理或余弦定理，解答题往往综合考查定理在确定三角形边角中的应用，多与三角形周长、面积有关；有时也会与平面向量、三角恒等变换、立体几何等结合考查.二、真题展示1．（2023·全国·高考真题（理））魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，与的差称为“表目距的差”则海岛的高（）A．表高 B．表高C．表距 D．表距答案：A分析：利用平面相似的有关知识以及合分比性质即可解出．【详解】如图所示：由平面相似可知，，而，所以，而，即＝．故选：A.2．（2023·湖南·高考真题）如图，在中，，点D在BC边上，且，，（1）求AC的长；（2）求的值.答案：（1）（2）分析：（1）由已知利用余弦定理直接求解．（2）利用，结合两角差的正弦公式即可得解．【详解】（1），，，在中，由余弦定理得，（2），所以，又由题意可得，考点01正弦定理【典例1】（2023·山东·高考真题）在△中，，，，等于______．答案：分析：由和角正弦公式求函数值，再应用正弦定理求即可.【详解】，由正弦定理可知，，∴.故答案为：【典例2】（2023·全国高考真题（文））的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinA+acosB=0，则B=___________.答案：.【解析】由正弦定理，得．，得，即，故选D．【总结提升】已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a，b，A，则A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＜bsinAa＝bsinAbsinA＜a＜ba≥ba＞ba≤b解的个数无解一解两解一解一解无解考点02余弦定理【典例3】（2023·全国·高考真题（理））记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则________．答案：分析：由三角形面积公式可得，再结合余弦定理即可得解.【详解】由题意，，所以，所以，解得（负值舍去）.故答案为：.【典例4】（2023·全国高考真题（理））如图，在三棱锥P–ABC的平面展开图中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cos∠FCB=______________.答案：【解析】，，，由勾股定理得，同理得，，在中，，，，由余弦定理得，，在中，，，，由余弦定理得.故答案为：.【总结提升】应用余弦定理解答两类问题：考点03正弦定理与余弦定理的综合运用【典例5】（2023·天津·高考真题）在，角所对的边分别为，已知，．（I）求a的值；（II）求的值；（III）求的值．答案：（I）；（II）；（III）分析：（I）由正弦定理可得，即可求出；（II）由余弦定理即可计算；（III）利用二倍角公式求出的正弦值和余弦值，再由两角差的正弦公式即可求出.【详解】（I）因为，由正弦定理可得，，；（II）由余弦定理可得；（III），，，，所以.【典例6】（2023·北京高考真题）在中，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求：（Ⅰ）a的值：（Ⅱ）和的面积．条件①：；条件②：．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．答案：选择条件①（Ⅰ）8（Ⅱ）,；选择条件②（Ⅰ）6（Ⅱ）,.【解析】选择条件①（Ⅰ）（Ⅱ）由正弦定理得：选择条件②（Ⅰ）由正弦定理得：（Ⅱ）【总结提升】应熟练掌握正、余弦定理及其变形．解三角形时，有时可用正弦定理，也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷就用哪一个定理．考点04应用正弦定理、余弦定理判定三角形形状【典例7】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c－acosB＝(2a－b)cosA，则△ABC的形状为()A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形答案：D【解析】因为c－acosB＝(2a－b)cosA，C＝π－(A＋B)，所以由正弦定理得sinC－sinAcosB＝2sinAcosA－sinB·cosA，所以sinAcosB＋cosAsinB－sinAcosB＝2sinAcosA－sinBcosA，所以cosA(sinB－sinA)＝0，所以cosA＝0或sinB＝sinA，所以A＝或B＝A或B＝π－A(舍去)，所以△ABC为等腰或直角三角形．【规律方法】1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁．2．无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能．注意挖掘隐含条件，重视角的范对三角函数值的限制．考点05与三角形面积有关的问题【典例8】(2023·全国高考真题（文））△的内角的对边分别为，已知，，则△的面积为________．答案：.【解析】因为，结合正弦定理可得，可得，因为，结合余弦定理，可得，所以为锐角，且，从而求得，所以的面积为，故答案是.【典例9】（2023·江苏·高考真题）已知向量，，设函数.（1）求函数的最大值;（2）在锐角中，三个角，，所对的边分别为，，，若，，求的面积.答案：（1）；（2）.分析：（1）结合平面向量的数量积运算、二倍角公式和辅助角公式，可得，进而可得的最大值；（2）由锐角，推出，再结合（B），求得，由正弦定理知，再利用余弦定理求出，，最后由三角形面积公式得解．【详解】（1）因为，，所以函数∴当时，（2）∵为锐角三角形，.又即【总结提升】1.求三角形面积的方法(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．2．已知三角形面积求边、角的方法(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解．(2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．提醒：正弦定理、余弦定理与三角函数性质的综合应用中，要注意三角函数公式的工具性作用．考点06与三角形周长有关的问题【典例10】（2023·重庆一中高三月考）中，，，，点，是边上两点，.（1）当时，求的周长；（2）设，当的面积为时，求的值.答案：（1）（2）或分析：（1）在中，由余弦定理求得，从而可得，从而可求得，即可得出答案；（2）在中，利用正弦定理求得，在中，利用正弦定理求得，再根据的面积结合正弦函数得性质即可得出答案.（1）解：∵，，，∴，∴，在中，由余弦定理可得，则，∴，∴，∵，∴，∴，∴的周长为；（2）解：在中，，由得，又在中，由，得，所以，由得，∵，所以，所以或所以或.【典例11】（2023·江西洪都中学高二月考（理））在中，，，所对的边分别为，，且，．（1）求边长；（2）若的面积．求的周长．答案：（1）；（2）.【解析】（1）由正弦定理可得：，可得，因为，可得，所以，又由，可得，又因为，解得．（2）由题意，的面积，，解得，由余弦定理，可得，解得或（舍去），所以的周长．【总结提升】应用正弦定理、余弦定理，建立边长的方程，是解答此类问题的基本方法，解答过程中，要注意整体代换思想的应用，如果遇到确定最值问题，往往要结合均值定理求解.考点07三角形中的最值与范围问题【典例12】（2023·陕西·高新一中高二月考（理））如图，在四边形中，，，.（1）求；（2）若，求周长的最大值.答案：（1）（2）12分析：（1）在中，利用正弦定理可求得结果；（2）在中，由余弦定理可求得，在中，，设，由余弦定理得，即，利用基本不等式求得，进而求出周长的最大值.（1）在中，，且利用正弦定理得：，又为钝角，为锐角，（2）在中，由余弦定理得故解得：或（舍去）在中，，设由余弦定理得，即整理得：，又利用基本不等式得：，即，即，当且仅当时，等号成立，即，所以所以周长的最大值为12【典例13】（2023·全国高考真题（理））中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．（1）求A；（2）若BC=3，求周长的最大值.答案：（1）；（2）.【解析】（1）由正弦定理可得：，，，.（2）由余弦定理得：，即.（当且仅当时取等号），，解得：（当且仅当时取等号），周长，周长的最大值为.【典例14】（2023·全国高考真题（文））的内角的对边分别为，已知．（1）求；（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．答案：(1);(2).【解析】(1)根据题意，由正弦定理得，因为，故，消去得.，因为故或者，而根据题意，故不成立，所以，又因为，代入得，所以.(2)因为是锐角三角形，由（1）知，得到，故，解得.又应用正弦定理，，由三角形面积公式有：.又因,故，故.故的取值范围是【总结提升】三角形中的最值范围问题，往往有三种情况，一是转化成三角函数的值域问题，利用三角函数的图象和性质；二是利用基本不等式求最值，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误；三是利用函数的单调性.考点08应用正弦定理、余弦定理解决实际问题【典例15】【多选题】（2023·湖北·武汉中学高二月考）共和国勋章，是中华人民共和国最高荣誉勋章，授予在中国特色社会主义建设和保卫国家中作出巨大贡献､建立卓越功勋的杰出人士.2020年8月11日，国家主席习近平签署主席令，授予钟南山“共和国勋章”.某市为表彰在抗疫中表现突出的个人，制作的荣誉勋章的挂坠结构示意图如图，为图中两个同心圆的圆心，三角形中，，大圆半径，小圆半径，记为三角形与三角形的面积之和，其中，，当取到最大值时，则下列说法正确的是（）A．的最大值是 B．的最大值是C． D．答案：BD分析：根据已知条件可以得出，所以它们面积相等，所以要求，只需求一个三角形的面积，根据的范围，可以表示出或者的范围，即可求出或者的范围，从而求出的范围，得到最大值；易得是的垂直平分线，延长与交于，可求出，的长度，从而得到与的比例关系，而，从而求出和的值．【详解】解：延长，交线段于点；设，则，，，则，故当时，有最大值为，故A错误，B正确；当时，，则，又，，，，；故C错误，D正确．故选：BD．【典例16】（2023·河南·高三月考（文））据气象部门报道今年第14号台风“灿都”于9月12日起陆续影响我国东南沿海一带，13日5时，测定台风中心位于某市南偏东距离该市千米的位置，预计台风中心以千米/小时的速度向正北方向移动，离台风中心千米的范围都会受到台风影响，则该市从受到台风影响到影响结束，持续的时间为_______________________．答案：小时小时分析：根据给定信息画出图形，再借助余弦定理结合已知列出不等式求解即得.【详解】如图，A为某市的位置，是台风中心在13日5时的位置，设台风运动小时后的位置为，则，又，在中，由余弦定理得：，由，解得，于是得(小时)，所以该市从受到台风影响到影响结束，持续的时间为小时.故答案为：小时【典例17】（2023·海南高一期中）在海岸处发现北偏东方向，距处海里的处有一艘走私船.在处北偏西方向，距处海里的处的我方缉私船奉命以海里小时的速度追截走私船，此时走私船正以海里小时的速度从处向北偏东方向逃窜.问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间.答案：缉私船应沿北偏东的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要分钟.【解析】如图，设缉私船应沿方向行驶小时，才能最快截获走私船（在点），则海里，海里，在中，由余弦定理，得，解得.又，，，故点在点的正东方向上，，在中，由正弦定理，得，.，缉私船沿北偏东的方向行驶.又在中，，，，，即，解得小时分钟.缉私船应沿北偏东的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要分钟.【总结提升】1.测量距离问题，归纳起来常见的命题角度有：（1）两点都不可到达；（2）两点不相通的距离；（3）两点间可视但有一点不可到达.2.求解高度问题的三个关注点(1)在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(在水平面上所成的角)是关键．(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题．3.（1）测量角度问题的基本思路测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．提醒：方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角．（2）解决角度问题的注意事项=1\*GB3①测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义．=2\*GB3②求角的大小时，先在三角形中求出其正弦或余弦值．=3\*GB3③在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点．巩固提升1.（2023·辽宁沈阳·高三月考）在中，内角所对的边分别为的面积为若，则的形状一定是（）A．直角三角形 B．等边三角形C．等腰三角形 D．锐角三角形答案：C分析：利用面积公式结合条件求解。【详解】因为.所以，所以的形状一定是等腰三角形.故选：C2．（2023·全国高考真题（文））在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则tanB=（）A． B．2 C．4 D．8答案：C【解析】设故选：C3．（2023·全国高考真题（理））在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则cosB=（）A． B． C． D．答案：A【解析】在中，，，根据余弦定理：可得，即由故.故选：A.4．(2023·全国高考真题（理））在中，,BC