(人教A版2019选择性必修第一册)重难点题型精讲专题2.6直线的方程(二)(原卷版+解析)

专题2.6直线的方程（二）-重难点题型检测【人教A版2019选择性必修第一册】考试时间：60分钟；满分：100分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本节内容的具体情况！一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）(2023·全国·高二课时练习）直线a−1x−a+1y+2=0A．1,1 B．1,−1 C．−1,1 D．−1,−12．（3分）(2023·江苏·高二阶段练习）过点A2,3且与直线l:2x−4y+7=0平行的直线方程是（

A．x−2y+4=0 B．x−2y−4=0 C．2x−y+1=0 D．x+2y−8=03．（3分）(2023·全国·高二专题练习）过点P(−1,2)且与直线x−2y+1=0垂直的直线方程为（

）A．2x+y+4=0 B．2x+y=0C．x+2y−3=0 D．x−2y+5=04．（3分）（2023·福建·高二阶段练习）已知直线l1:x+(m+1)y+m=0，，l2:mx+2y+1=0，则“A．m=−2 B．m=1C．m=−2或m=1 D．m=25．（3分）(2023·全国·高三专题练习）已知过定点直线kx−y+4−k=0在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，则直线的方程为（

）A．x−2y−7=0 B．x−2y+7=0 C．2x+y−6=0 D．x+2y−6=06．（3分）(2023·四川·高二阶段练习（文））有一根蜡烛点燃6min后，蜡烛长为17.4cm；点燃21min后，蜡烛长为8.4cm.已知蜡烛长度l(cm)与燃烧时间t(min)可以用直线方程表示，则这根蜡烛从点燃到燃尽共耗时（

）A．25min B．35min C．40min D．45min7．（3分）（2023·全国·高三专题练习）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx−y−m+3=0相交于点P(P与A,B不重合），则△PAB面积的最大值是（A．10 B．5 C．25 D．8．（3分）（2023·全国·高三专题练习）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A2,0,B0,1，且AC=BC，则△ABCA．2x+4y−3=0 B．x−2y−3=0C．2x−y−3=0 D．4x−2y−3=0二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）(2023·全国·高二课时练习）已知直线l1:x+my+6=0，l2A．当m=3时，l1与l2重合 B．若lC．l1过定点(−6,0) D．l10．（4分）(2023·全国·高二课时练习）已知直线l:x−(a2−a+1)y−1=0，其中a∈RA．若直线l与直线x−y=0平行，则a=0B．当a=1时，直线l与直线x+y=0垂直C．直线l过定点1,0D．当a=0时，直线l在两坐标轴上的截距相等11．（4分）(2023·重庆·高三阶段练习）已知直线l1:(a+1)x+ay+2=0,lA．l1恒过点(2,2) B．若l1C．若l1⊥l2，则a=±1 D．当12．（4分）(2023·河北·高一阶段练习）瑞士数学家欧拉（LeonhardEuler）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知△ABC的顶点A(−2,0),B(0,2)，其欧拉线方程为x−y+1=0，则顶点C的坐标可以是（

）A．2,0 B．1,0 C．0,−1 D．0,−2三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．（4分）(2023·全国·高二课时练习）直线l过点1,0，且与直线3x+2y−4=0平行，则直线l的一般式方程为.14．（4分）(2023·全国·高二课时练习）设直线mx−y−m+2=0过定点A，则过点A且与直线x+2y−1=0垂直的直线方程为．15．（4分）(2023·河南·高二阶段练习）在平面直角坐标系中，已知A(2,0),B(−3,4)两点，O为坐标原点，则∠AOB的平分线所在直线的方程为.16．（4分）(2023·全国·高三专题练习）设m∈R，过定点A的动直线x+my+m=0和过定点B的动直线mx−y−m+2=0交于点P(x,y)，则|PA|+|PB|的取值范围是四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）(2023·江苏·高二课时练习）一根铁棒在40℃时长12.506m，在80℃时长12.512m．已知长度l（单位：m）和温度t（单位：℃）之间的关系可以用直线方程来表示，试求出这个方程，并根据这个方程求出这根铁棒在100℃时的长度．18．（6分）(2023·江苏·高二阶段练习）已知直线l过定点A(2,1).(1)若直线l与直线x+2y−5=0垂直，求直线l的方程；(2)若直线l在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线l的方程.19．（8分）(2023·四川省高一阶段练习（理））已知平行四边形ABCD的三个顶点A(1,1)､B(3,−3)､C(7,−1)．(1)求顶点D的坐标；(2)在△ABC中，求边BC的高线所在直线的方程．20．（8分）(2023·河南开封·高二阶段练习）已知直线l1的方程为3x−4y+2=0，按照下列要求，求直线l(1)l与l1垂直，且过点(1,3)(2)l//l21．（8分）(2023·江苏·高二课时练习）已知一条动直线3m+1(1)求证：直线恒过定点，并求出定点P的坐标；(2)若直线不经过第二象限，求m的取值范围；(3)若直线与x､y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，△AOB的面积为6，求直线的方程.22．（8分）（2023·湖南衡阳·高一期末）为了绿化城市，准备在如图所示的区域ABCDE内修建一个矩形PQRD的草坪，其中∠AED=∠EDC=∠DCB=90∘；点Q在AB上，且PQ//CD，QR⊥CD，经测量BC=70m，CD=80m，DE=100m，AE=60m.问应如何设计才能使草坪的占地面积最大？并求出最大面积（精确到专题2.6直线的方程（二）-重难点题型检测参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）(2023·全国·高二课时练习）直线a−1x−a+1y+2=0A．1,1 B．1,−1 C．−1,1 D．−1,−1【解题思路】将直线变形为x−ya−x−y+2=0，则x−y=0且−x−y+2=0，即可求出定点【解答过程】将a−1x−a+1y+2=0变形为：x−ya−x−y+2=0，令x−y=0且−x−y+2=0，解得故选：A.2．（3分）(2023·江苏·高二阶段练习）过点A2,3且与直线l:2x−4y+7=0平行的直线方程是（

A．x−2y+4=0 B．x−2y−4=0 C．2x−y+1=0 D．x+2y−8=0【解题思路】利用平行直线的特点先设出待求直线方程，代入所过点可得答案.【解答过程】由题意设所求方程为2x−4y+c=0c≠7因为直线经过点A2,3所以2×2−4×3+c=0，即c=8，所以所求直线为x−2y+4=0.故选：A.3．（3分）(2023·全国·高二专题练习）过点P(−1,2)且与直线x−2y+1=0垂直的直线方程为（

）A．2x+y+4=0 B．2x+y=0C．x+2y−3=0 D．x−2y+5=0【解题思路】求出与直线x−2y+1=0垂直的直线的斜率，利用点斜式求出直线方程.【解答过程】直线x−2y+1=0的斜率kl=12，因为l⊥l'，故l'的斜率k故选：B．4．（3分）（2023·福建·高二阶段练习）已知直线l1:x+(m+1)y+m=0，，l2:mx+2y+1=0，则“A．m=−2 B．m=1C．m=−2或m=1 D．m=2【解题思路】直线l1:x+(m+1)y+m=0，l2【解答过程】解：∵直线l1:x+(m+1)y+m=0，若l1//l2，则m(m+1)−2=0当m=1时，l1与l2重合，故“l1//l2”故“l1//l2”的必要不充分条件是“故选：C．5．（3分）(2023·全国·高三专题练习）已知过定点直线kx−y+4−k=0在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，则直线的方程为（

）A．x−2y−7=0 B．x−2y+7=0 C．2x+y−6=0 D．x+2y−6=0【解题思路】由题意可知，k<0，求出直线kx−y+4−k=0与两坐标轴的交点A0,4−k，B【解答过程】直线kx−y+4−k=0可变为kx−1−y+4=0，所以过定点P1,4，又因为直线kx−y+4−k=0令x=0,y=4−k，所以直线与y轴的交点为A0,4−k令y=0,x=1−4k，所以直线与x轴的交点为所以4−k+1−4当且仅当−k=−4k即k=−2时取等，所以此时直线为：故选：C.6．（3分）(2023·四川·高二阶段练习（文））有一根蜡烛点燃6min后，蜡烛长为17.4cm；点燃21min后，蜡烛长为8.4cm.已知蜡烛长度l(cm)与燃烧时间t(min)可以用直线方程表示，则这根蜡烛从点燃到燃尽共耗时（

）A．25min B．35min C．40min D．45min【解题思路】根据已知条件可知直线方程的斜率k及所过的点，进而得到直线方程，再求蜡烛从点燃到燃尽所耗时间即可.【解答过程】由题意知：蜡烛长度l(cm)与燃烧时间t(min)可以用直线方程，过(6,17.4),(21,8.4)两点，故其斜率k=8.4−17.4∴直线方程为l−8.4=−3∴当蜡烛燃尽时，有t−21=14，即t=35，故选：B.7．（3分）（2023·全国·高三专题练习）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx−y−m+3=0相交于点P(P与A,B不重合），则△PAB面积的最大值是（A．10 B．5 C．25 D．【解题思路】由题意结合直线位置关系的判断可得两直线互相垂直，由直线过定点可得定点A与定点B，进而可得PA2【解答过程】由题意直线x+my=0过定点A(0,0)，直线mx−y−m+3=0可变为m(x−1)−y+3=0，所以该直线过定点B(1,3)，所以AB2又1×m+m×−1所以直线x+my=0与直线mx−y−m+3=0互相垂直，所以PA2所以10=PA2+当且仅当PA=所以，S△PAB=12PA故选：D.8．（3分）（2023·全国·高三专题练习）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A2,0,B0,1，且AC=BC，则△ABCA．2x+4y−3=0 B．x−2y−3=0C．2x−y−3=0 D．4x−2y−3=0【解题思路】因为AC=BC，结合题意可知△ABC的欧拉线即为线段AB的垂直平分线，利用点斜式求方程．【解答过程】∵AC=BC，结合题意可知△ABC的欧拉线即为线段AB的垂直平分线AB的中点为M1,12，斜率kAB则△ABC的欧拉线的方程为y−12故选：D．二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）(2023·全国·高二课时练习）已知直线l1:x+my+6=0，l2A．当m=3时，l1与l2重合 B．若lC．l1过定点(−6,0) D．l【解题思路】当m=3时，分别求出两直线方程，可判断选项A；由两直线平行的公式计算得出m，可判断选项B；将(−6,0)代入直线方程，可判断选项C；当m=2时，直线l2与x【解答过程】当m=3时，直线l1:x+3y+6=0，直线当l1∥l2时，有m(m−2)=3且因为−6+m×0+6=0，所以直线l1过定点(−6,0)当m=2时，直线l2:y=−4故选：AC．10．（4分）(2023·全国·高二课时练习）已知直线l:x−(a2−a+1)y−1=0，其中a∈RA．若直线l与直线x−y=0平行，则a=0B．当a=1时，直线l与直线x+y=0垂直C．直线l过定点1,0D．当a=0时，直线l在两坐标轴上的截距相等【解题思路】根据直线方程的相关性质即可逐项求解.【解答过程】对于A项，若直线l与直线x−y=0平行，则a2对于B项，当a=1时，直线l为x−y−1＝0，斜率为1，而直线x+y=0斜率为－1，∴两条直线垂直，故B正确；对于C项，x−(a2−a+1)y−1=0恒成立时，令y对于D项，当a=0时，直线l为x−y−1=0，令x=0⇒y=−1，令y=0⇒x=1，所以横截距和纵截距互为相反数，故D错误.故选：BC.11．（4分）(2023·重庆·高三阶段练习）已知直线l1:(a+1)x+ay+2=0,lA．l1恒过点(2,2) B．若l1C．若l1⊥l2，则a=±1 D．当【解题思路】对于选项A，将直线l1的方程化为a(x+y)+x+2=0，再由x+y=0,x+2=0对于选项B，通过斜率相等可以求解；对于选项C，通过斜率之积等于−1可以求解；对于选项D，将直线化为斜截式，再根据斜率和截距建立不等式可以求解.【解答过程】直线l1:(a+1)x+ay+2=0，则由x+y=0x+2=0，得x=−2,y=2，所以l1恒过定点由l1//l2可得：由l1⊥l2可得：由l2:ax+(1−a)y−1=0，当a=1时，当a≠1时，l2:y=aa−1x+所以a的取值范围为0≤a≤1，所以D正确；故选：BD.12．（4分）(2023·河北·高一阶段练习）瑞士数学家欧拉（LeonhardEuler）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知△ABC的顶点A(−2,0),B(0,2)，其欧拉线方程为x−y+1=0，则顶点C的坐标可以是（

）A．2,0 B．1,0 C．0,−1 D．0,−2【解题思路】根据三角形重心坐标公式进行求解判断即可.【解答过程】设顶点C的坐标为(x,y)，所以重心坐标为(−2+x因为欧拉线方程为x−y+1=0，所以−2+x3A：当顶点C的坐标为2,0时，显然不满足x−y=1；B：当顶点C的坐标为1,0时，显然满足x−y=1；C：当顶点C的坐标为0,−1时，显然满足x−y=1；D：当顶点C的坐标为0,−2时，显然不满足x−y=1，故选：BC.三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．（4分）(2023·全国·高二课时练习）直线l过点1,0，且与直线3x+2y−4=0平行，则直线l的一般式方程为3x+2y−3=0.【解题思路】先利用平行假设直线l为3x+2y+C=0C≠−4，再将1,0【解答过程】解:因为直线l与直线3x+2y−4=0平行，所以假设直线l为3x+2y+C=0C≠−4因为直线l过点1,0，所以3+C=0，解得C=−3，所以直线l的一般式方程为3x+2y−3=0，故答案为:3x+2y−3=0.14．（4分）(2023·全国·高二课时练习）设直线mx−y−m+2=0过定点A，则过点A且与直线x+2y−1=0垂直的直线方程为2x−y=0．【解题思路】由已知得直线恒过的定点(1,2)，由两直线垂直其方程间的关系设过点A的直线方程为2x−y+c=0，代入可求得答案.【解答过程】解：因为mx−y−m+2=0，所以y−2=m(x−1)，所以直线mx−y−m+2=0恒过定点(1,2)，即A(1,2)，因为过点A且与直线x+2y−1=0垂直，所以设过点A的直线方程为2x−y+c=0，所以2×1−2+c=0，即c=0，所以所求直线方程为2x−y=0，故答案为：2x−y=0.15．（4分）(2023·河南·高二阶段练习）在平面直角坐标系中，已知A(2,0),B(−3,4)两点，O为坐标原点，则∠AOB的平分线所在直线的方程为y=2x.【解题思路】设∠AOB的平分线的倾斜角为θ，根据斜率公式结合kOB=tan2θ可得【解答过程】由题意，可设∠AOB的平分线的倾斜角为θ，如图，则tan2θ=kOB则tanθ=2或−12，又0<2θ<故k=tan故∠AOB的平分线所在直线的方程为y=2x，故答案为：y=2x16．（4分）(2023·全国·高三专题练习）设m∈R，过定点A的动直线x+my+m=0和过定点B的动直线mx−y−m+2=0交于点P(x,y)，则|PA|+|PB|的取值范围是[【解题思路】由题意可得A,B点坐标及PA⊥PB，设∠ABP=θ，利用三角函数分别表示|PA|=10sinθ【解答过程】由题意可知，动直线x+my+m=0经过定点A(0,−1)，动直线mx−y−m+2=0，即m(x−1)−y+2=0，经过点定点B(1,2)，∵m≠0时，动直线x+my+m=0和动直线mx−y−m+2=0的斜率之积为−1，两条直线垂直，m=0时，两条直线也垂直，P又是两条直线的交点，∴PA⊥PB，∴   设∠ABP=θ，则|PA|=10sinθ由|PA|⩾0且|PB|⩾0，可得θ∈[0,π∴  ∵θ∈[0,π∴θ+π∴sin(θ+π∴25sin(θ+故答案为：[10四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）(2023·江苏·高二课时练习）一根铁棒在40℃时长12.506m，在80℃时长12.512m．已知长度l（单位：m）和温度t（单位：℃）之间的关系可以用直线方程来表示，试求出这个方程，并根据这个方程求出这根铁棒在100℃时的长度．【解题思路】用直线的斜截式方程写出l与t的关系，再利用待定系数法求出方程并求解作答.【解答过程】解：依题意，设l与t的关系式为：l=kt+b，k,b是常数，于是得12.506=40k+b12.512=80k+b，解得k=0.00015则l与t的关系式为l=0.00015t+12.5，当t=100时，l=12.515，所以所求直线的方程为l=0.00015t+12.5，铁棒在100℃时的长度是12.515m.18．（6分）(2023·江苏·高二阶段练习）已知直线l过定点A(2,1).(1)若直线l与直线x+2y−5=0垂直，求直线l的方程；(2)若直线l在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线l的方程.【解题思路】（1）根据两直线垂直，设直线l的方程2x−y+c=0，代入点的坐标，求出参数c的值即可；（2）分直线l经过原点和直线l不经过原点两种情况讨论，当直线l不经过原点设直线l的方程为x−y=a，代入点的坐标，求出参数a的值即可；【解答过程】解：（1）解：直线l与直线x+2y−5=0垂直，设直线l的方程2x−y+c=0，将定点A(2,1)代入可得4−1+c=0，解得故直线l的方程为2x−y−3=0；（2）解：①当直线l经过原点时，可得直线l的方程为：y=12x②当直线l不经过原点时，可设直线l的方程为x−y=a，把点2,1代入可得2−1=a，解得a=1，可得直线l的方程为x−y−1=0，综上所述：所求的直线l的方程为：x−2y=0或x−y−1=0.19．（8分）(2023·四川省高一阶段练习（理））已知平行四边形ABCD的三个顶点A(1,1)､B(3,−3)､C(7,−1)．(1)求顶点D的坐标；(2)在△ABC中，求边BC的高线所在直线的方程．【解题思路】（1）利用平行四边形对角线互相平分，结合中点坐标公式进行求解；（2）求出直线BC的斜率，进而根据垂直关系求出边BC的高线所在直线的斜率，从而利用点斜式写出答案.【解答过程】解：（1）设平行四边形的中心为E，E为AC和BD的中点，其中1+72=4,1−1设D（x,y），则有3+x2=4,−3+y2=0，解得：x=5,y=3（2）易知直线BC的斜率为kBC=−1+37−3=∴BC的高线所在的直线方程为y−1=−2x−1即2x+y−3=0.20．（8分）(2023·河南开封·高二阶段练习）已知直线l1的方程为3x−4y+2=0，按照下列要求，求直线l(1)l与l1垂直，且过点(1,3)(2)l//l【解题思路】（1）由两线垂直，设所求直线为4x+3y+m=0，根据点在直线上求参数，即可得直线方程；（2）由两线平行，设所求直线为3x−4y+n=0，求截距并利用三角形面积公式求参数，即可得直线方程.【解答过程】解：（1）因为l1⊥l，所以直线l可设为将点(1,3)代入方程得m=−13，因此所求的直线方程为4x+3y−13=0.（2）因为l1//l，所以直线l可设为令x=0，得A(0,n4)，令y=0所以三角形ABC的面积S=1