【寒假自学课】苏教版2024年高一数学寒假第03讲函数概念与性质以及函数应用(原卷版+解析)

第03讲函数的概念与性质以及函数应用【学习目标】1、学习用集合语言和对应关系刻画函数概念．2、通过函数的不同表示方法加深对函数概念的认识．3、学习用精确的符号语言刻画函数性质的方法，并通过幂函数的学习函数研究函数的基本内容、过程和方法．【考点目录】考点一：函数的概念考点二：定义域考点三：值域考点四：函数的表示考点五：单调性考点六：奇偶性考点七：函数的零点与方程的根考点八：二分法考点九：选择恰当的数学模型解决实际应用问题【基础知识】知识点一、函数的概念1、函数的定义设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数．记作：，．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．2、构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等（或为同一函数）；②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关．3、区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示．区间表示：；；；；．知识点二、函数的表示法1、函数的三种表示方法：解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．优点：简明，给自变量求函数值．图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系．优点：直观形象，反应变化趋势．列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系．优点：不需计算就可看出函数值．2、分段函数：分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．知识点三、函数定义域的求法（1）确定函数定义域的原则①当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合．具体地讲，就是考虑分母不为零，偶次根号的被开方数、式大于或等于零，零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件．②当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义．③当函数用表格给出时，函数的定义域是指表格中实数的集合．（2）抽象函数定义域的确定所谓抽象函数是指用表示的函数，而没有具体解析式的函数类型，求抽象函数的定义域问题，关键是注意对应法则．在同一对应法则的作用下，不论接受法则的对象是什么字母或代数式，其制约条件是一致的，都在同一取值范围内．（3）求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示．知识点四、函数值域的求法实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就完全确定了，但求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有：观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域；配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域；判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围；换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域．求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，还有最值法、数形结合法等．总之，求函数的值域关键是重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约．知识点五、函数的单调性1、增函数、减函数的概念一般地，设函数的定义域为，区间如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数．如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是减函数．2、单调性与单调区间（1）单调区间的定义如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数的单调区间．函数的单调性是函数在某个区间上的性质．3、证明函数单调性的步骤（1）取值．设是定义域内一个区间上的任意两个量，且；（2）变形．作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；（3）定号．判断差的正负或商与1的大小关系；（4）得出结论．4、函数单调性的判断方法（1）定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．（2）图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．（3）直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．（4）记住几条常用的结论①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数；②若和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为增（或减）函数；③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；若且为减函数，则函数为减函数，为增函数．5、单调性定义的等价形式（1）函数在区间上是增函数：任取，且，；任取，且，；任取，且，；任取，且，．（2）函数在区间上是减函数：任取，且，；任取，且，；任取，且，；任取，且，．6、复合函数单调性的判断讨论复合函数的单调性时要注意：既要把握复合过程，又要掌握基本函数的单调性．一般需要先求定义域，再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复合，然后分别判断它们的单调性，再用复合法则，复合法则如下：（1）若在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则为增函数；（2）若在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则为减函数．列表如下：增增增增减减减增减减减增复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单性相同时递增；单性相异时递减．因此判断复合函数的单调性可按下列步骤操作：（1）将复合函数分解成基本初等函数：，；（2）分别确定各个函数的定义域；（3）分别确定分解成的两个基本初等函数的单调区间．若两个基本初等函数在对应的区间上的单调性是同增或同减，则为增函数；若为一增一减或一减一增，则为减函数．7、利用函数单调性求函数最值时应先判断函数的单调性，再求最值．常用到下面的结论：（1）如果函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则函数在处有最大值．（2）如果函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，则函数在处有最小值．若函数在上是严格单调函数，则函数在上一定有最大、最小值．（3）若函数在区间上是单调递增函数，则的最大值是，最小值是．（4）若函数在区间上是单调递减函数，则的最大值是，最小值是．8、利用函数单调性求参数的范围若已知函数的单调性，求参数的取值范围问题，可利用函数单调性，先列出关于参数的不等式，利用下面的结论求解．（1）在上恒成立在上的最大值．（2）在上恒成立在上的最小值．实际上将含参数问题转化成为恒成立问题，进而转化为求函数在其定义域上的最大值和最小值问题．知识点六、基本初等函数的单调性1、正比例函数当时，函数在定义域R是增函数；当k<0时，函数在定义域R是减函数．2、一次函数当时，函数在定义域R是增函数；当k<0时，函数在定义域R是减函数．3、反比例函数当时，函数的单调递减区间是，不存在单调增区间；当时，函数的单调递增区间是，不存在单调减区间．4、二次函数若，在区间，函数是减函数；在区间，函数是增函数；若，在区间，函数是增函数；在区间，函数是减函数．知识点七、函数的最大（小）值1、最大值：对于函数，其定义域为，如果存在，，使得对于任意的，都有，那么，我们称是函数的最大值，即当时，是函数的最大值，记作．2、最小值：对于函数，其定义域为，如果存在，，使得对于任意的，都有，那么，我们称是函数的最小值，即当时，是函数的最小值，记作．3、几何意义：一般地，函数最大值对应图像中的最高点，最小值对应图像中的最低点，它们不一定只有一个．知识点八、函数的奇偶性概念及判断步骤1、函数奇偶性的概念偶函数：若对于定义域内的任意一个，都有，那么称为偶函数．奇函数：若对于定义域内的任意一个，都有，那么称为奇函数．知识点诠释：（1）奇偶性是整体性质；（2）在定义域中，那么在定义域中吗？----具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的；（3）的等价形式为：，的等价形式为：；（4）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有；（5）若既是奇函数又是偶函数，则必有．2、奇偶函数的图象与性质（1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．（2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于轴对称；反之，如果一个函数的图像关于轴对称，则这个函数是偶函数．3、用定义判断函数奇偶性的步骤（1）求函数的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步；（2）结合函数的定义域，化简函数的解析式；（3）求，可根据与之间的关系，判断函数的奇偶性．若，则是奇函数；若=，则是偶函数；若，则既不是奇函数，也不是偶函数；若且，则既是奇函数，又是偶函数知识点九、判断函数奇偶性的常用方法（1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等．（2）验证法：在判断与的关系时，只需验证及是否成立即可．（3）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称．（4）性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数．（5）分段函数奇偶性的判断判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断．在函数定义域内，对自变量的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数．分段函数不是几个函数，而是一个函数．因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系．首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较．知识点十、关于函数奇偶性的常见结论（1）函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称．（2）奇偶函数的图象特征．函数是偶函数函数的图象关于轴对称；函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称．（3）若奇函数在处有意义，则有；偶函数必满足．（4）偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同．（5）若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式．记，，则．（6）运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如．对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶．（7）复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇．知识点十一：函数的零点1、函数的零点（1）一般地，如果函数在实数处的值等于零，即，则叫做这个函数的零点.知识点诠释：①函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零；②函数的零点也就是函数的图象与轴交点的横坐标；③函数的零点就是方程的实数根．归纳：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．（2）二次函数的零点二次函数的零点个数，方程的实根个数见下表.判别式方程的根函数的零点两个不相等的实根两个零点两个相等的实根一个二重零点无实根无零点（3）二次函数零点的性质①二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号.②相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号.引伸：对任意函数，只要它的图象是连续不间断的，上述性质同样成立.2、函数零点的判定（1）利用函数零点存在性的判定定理如果函数在一个区间上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点，使，这个也就是方程的根.知识点十二：二分法1、二分法对于区间上图象连续不断且的函数，通过不断把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐渐逼近零点，进而得到近似值的方法．2、用二分法求函数零点的一般步骤：已知函数定义在区间D上，求它在D上的一个零点x0的近似值x，使它满足给定的精确度．第一步：在D内取一个闭区间，使与异号，即，零点位于区间中．第二步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为．计算和，并判断：①如果，则就是的零点，计算终止；②如果，则零点位于区间中，令；③如果，则零点位于区间中，令第三步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为．计算和，并判断：①如果，则就是的零点，计算终止；②如果，则零点位于区间中，令；③如果，则零点位于区间中，令；……继续实施上述步骤，直到区间，函数的零点总位于区间上，当和按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数的近似零点，计算终止．这时函数的近似零点满足给定的精确度．知识点十三：解决实际应用问题1、解决实际应用问题的过程2、解决实际应用问题的步骤：第一步：阅读理解，认真审题读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，领悟从背景中概括出来的数学实质，尤其是理解叙述中的新名词、新概念，进而把握住新信息．第二步：引进数学符号，建立数学模型设自变量为x，函数为y，并用x表示各相关量，然后根据问题已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为一个数学问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型．第三步：利用数学的方法将得到的常规数学问题（即数学模型）予以解答，求得结果．第四步：再转译为具体问题作出解答．【考点剖析】考点一：函数的概念1．(2023·河南省浚县第一中学高一阶段练习）下列图象中不能表示函数的图象的是（

）A． B．C． D．2．(2023·安徽省舒城晓天中学高一期中）下列四个式子中，y是x函数的是（

）A．=x B．y=C． D．3．(2023·北京广渠门中学教育集团高一期中）下列四组中的给出的两个函数，为同一个函数的是（

）A．， B．，C．， D．，考点二：定义域4．(2023·陕西·大荔县教学研究室高一期末）函数的定义域为（

）A． B． C． D．5．(2023·贵州毕节·高一期末）已知函数的定义域为，则的定义域为（

）A． B． C． D．6．(2023·黑龙江·勃利县高级中学高一期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为(

)A． B． C． D．考点三：值域7．(2023·上海徐汇·高一期末）函数的值域是________________．8．(2023·上海市第三女子中学高一期末）函数的值域是______.9．(2023·全国·高一专题练习）已知，且，则的取值范围是___________.10．(2023·辽宁营口·高一期末）为不超过的最大整数，若函数，，的值域为，则的最大值为______．考点四：函数的表示4．(2023·黑龙江·哈尔滨市第一中学校高一阶段练习）已知是一次函数，，，则（

）A． B． C． D．5．(2023·北京十五中高一期中）若，则（

）A． B． C． D．6．(2023·山东菏泽·高一期中）已知函数，则（

）A． B． C． D．考点五：单调性12．(2023·福建·泉州七中高一期中）已知定义在的函数满足：①对，，；②当时，；③.(1)求，判断并证明的单调性；(2)若，使得，对成立，求实数的取值范围；(3)解关于的不等式.13．(2023·山东·济宁市兖州区教学研究室高一期中）已知函数满足．(1)求函数的解析式；(2)用定义证明函数在上的单调性．14．(2023·浙江省春晖中学高一期中）已知函数．(1)判断函数在的单调性；(2)求函数在上的值域；(3)作出函数，的图象．考点六：奇偶性20．(2023·湖北武汉·高一期末）已知函数为定义在上的奇函数，则的值为________．15．(2023·山东枣庄·高一期中）已知是定义在上的偶函数，当时，．(1)写出函数的解析式；(2)写出的单调递增区间和值域（无需过程）．16．(2023·上海·华师大二附中高一阶段练习）已知的定义域为，且满足下列三个条件：①在上为严格增函数；②；③对任何实数，都有.(1)求的值；(2)从对称中心和对称轴两方面讨论的对称性，如果具有对称性，请写出一个对称中心､一条对称轴，并给出证明；如果没有对称性，请说明理由.(3)解不等式：.17．(2023·福建三明·高一期中）已知函数定义在上的奇函数，且.(1)求；(2)判断函数在上的单调性并加以证明；(3)解不等式.考点七：函数的零点与方程的根7．(2023·广东·雷州市第一中学高一阶段练习）函数的零点所在的区间是（

）A． B． C． D．8．(2023·河南·民权县第一高级中学高一阶段练习）已知函数在区间上有零点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．18．(2023·江西·高一阶段练习）已知函数，且是偶函数.(1)求的值；(2)若，函数，讨论零点的个数.19．(2023·上海师大附中高一阶段练习）函数，，记，且为偶函数.(1)求常数的值；(2)若对一切，不等式恒成立，求实数的取值范围；(3)设，若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围.考点八：二分法9．(2023·黑龙江·哈师大附中高一期中）用二分法求方程在内的近似解时，记，若，，，，据此判断，方程的根应落在区间（

）A． B． C． D．10．(2023·全国·高一课时练习）下列图像表示的函数中能用二分法求零点的是（

）A． B．C． D．11．(2023·全国·高一课时练习）用二分法求函数的一个零点的近似值（误差不超过）时，依次计算得到如下数据：，，，，关于下一步的说法正确的是（）A．已经达到对误差的要求，可以取作为近似值B．已经达到对误差的要求，可以取作为近似值C．没有达到对误差的要求，应该接着计算D．没有达到对误差的要求，应该接着计算考点九：选择恰当的数学模型解决实际应用问题20．(2023·湖南·新邵县第八中学高一阶段练习）2020年初，一场突如其来的“新冠肺炎”袭击了我国，给人民的身体健康造成了很大的威胁，也造成了医用物资的严重短缺，为此，某公司决定大量生产医用防护服.已知该公司生产防护服的固定成本为30万元，每生产一件防护服需另投入40元.设该公司一个月内生产该产品万件，且能全部售完.若每万件防护服的销售收入为万元，且(1)求月利润（万元）关于月产量（万件）的函数关系式（利润销售收入一成本）；(2)当月产量为多少万件时，该公司可获得最大利润，并求该公司月利润的最大值.21．(2023·山东枣庄·高一期中）设矩形的周长为，其中．如图所示，把它沿对角线向折叠，折过去后交边于点．设，．(1)将表示成的函数，并求定义域；(2)当长为多少时，的面积最大，并求出最大值．【真题演练】1．(2023·天津·高考真题）函数的图像为（

）A． B．C． D．2．（2023·全国·高考真题（文））设是定义域为R的奇函数，且.若，则（

）A． B． C． D．3．（2023·全国·高考真题（理））设函数，则下列函数中为奇函数的是（

）A． B． C． D．4．(2023·北京·高考真题）函数的定义域是_________．5．（2023·浙江·高考真题）已知，函数若，则___________.6．（2023·全国·高考真题）已知函数是偶函数，则______.7．(2023·浙江·高考真题）已知函数则________；若当时，，则的最大值是_________．8．(2023·北京·高考真题）设函数若存在最小值，则a的一个取值为________；a的最大值为___________．【过关检测】一、单选题1．(2023·山东枣庄·高一期中）我们知道：的图像关于原点成中心对称图形的充要条件是为奇函数，有同学发现可以将其推广为：的图像关于成中心对称图形的充要条件是为奇函数，若，则，，则（

）A． B． C． D．2．(2023·山东枣庄·高一期中）函数，对且，，则实数的范围为（

）A． B．C． D．3．(2023·上海市嘉定区安亭高级中学高一阶段练习）游泳池原有一定量的水．打开进水阀进水，过了一段时间关闭进水阀．再过一段时间打开排水阀排水，直到水排完．已知进水时的流量、排水时的流量各保持不变．用表示游泳池的水深，表示时间．下列各函数图象中能反映所述情况的是（

）A． B．C． D．4．(2023·湖南·溆浦县第一中学高一期中）定义在R上的偶函数满足：在上单调递减，则满足的x的取值范围是（

）A． B．C． D．5．(2023·河南·民权县第一高级中学高一阶段练习）已知定义在R上的函数是奇函数，且，，则（

）A． B．0 C．2 D．46．(2023·河南·民权县第一高级中学高一阶段练习）已知函数的定义域为R，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．7．(2023·浙江·温州外国语学校高一阶段练习）函数的零点所在的一个区间为（

）A． B． C． D．8．(2023·上海·华师大二附中高一阶段练习）已知函数，则下列命题中正确的个数是（

）①函数在是周期函数②函数在上严格增③函数在取得最大值0，且无最小值④若方程有且仅有两个实根，则A．1 B．2 C．3 D．4二、多选题9．(2023·广东·雷州市第一中学高一阶段练习）已知函数，则（

）A．是奇函数B．在上单调递增C．方程有两个实数根D．函数的定义域是10．(2023·陕西西安·高一阶段练习）已知函数若方程有三个不同的实数根，则实数的取值可能是（

）A．0 B． C． D．111．(2023·安徽省怀宁县新安中学高一期中）对于定义在上的函数，下列说法正确的是（

）A．若是奇函数，则的图象关于点对称B．若对，有，则的图象关于直线对称C．若函数的图象关于直线对称，则为偶函数D．若，则的图象关于点对称12．(2023·广东·惠州一中高一期中）一般地，若函数的定义域为，值域为，则称为的“倍跟随区间”；若函数的定义域为，值域也为，则称为的“跟随区间”.下列结论正确的是（

）A．若为的跟随区间，则B．函数存在跟随区间C．若函数存在跟随区间，则D．二次函数存在“3倍跟随区间”三、填空题13．(2023·广东·珠海市第一中学高一期中）若是定义在上的奇函数，且在上是增函数，则不等式的解集为___________.14．(2023·江苏·镇江市实验高级中学高一阶段练习）已知函数，若值域为，则实数c的范围是______.15．(2023·河北保定·高一阶段练习）已知函数的零点为和1，则的取值范围为______________.16．(2023·上海·华师大二附中高一阶段练习）已知的定义域为,且是奇函数,当时,,.函数,则方程的所有的根之和为___________.四、解答题17．(2023·广东·广州思源学校高一期中）近年来大气污染防治工作得到各级部门的重视，某企业现有设备下每日生产总成本（单位：万元）与日产量（单位：吨）之间的函数关系式为，现为了配合环境卫生综合整治，该企业引进了除尘设备，每吨产品除尘费用为万元，除尘后当日产量时，总成本.(1)求的值；(2)若每吨产品出厂价为48万元，试求除尘后日产量为多少时，每吨产品的利润最大，最大利润为多少？18．(2023·广东·佛山市顺德区东逸湾实验学校高一阶段练习）已知函数.(1)求，的值；(2)作出函数的简图；(3)由简图指出函数的值域；19．(2023·上海师大附中高一阶段练习）函数的最小值为.(1)求；(2)若，求及此时的最大值.20．(2023·江西·进贤县第二中学高一阶段练习）根据下列条件，求的解析式.(1)已知(2)已知(3)已知是二次函数，且满足21．(2023·广东湛江·高一阶段练习）已知函数的定义域为，对任意的，都有.当时，，且.(1)求的值，并证明：当时，；(2)判断的单调性，并证明；(3)若，求不等式的解集.22．(2023·江苏·扬州中学高一阶段练习）设是上的奇函数，，当时，.(1)求的值；(2)求时，的解析式；(3)当时，求方程的所有实根之和.（写出正确答案即可）第03讲函数的概念与性质以及函数应用【学习目标】1、学习用集合语言和对应关系刻画函数概念．2、通过函数的不同表示方法加深对函数概念的认识．3、学习用精确的符号语言刻画函数性质的方法，并通过幂函数的学习函数研究函数的基本内容、过程和方法．【考点目录】考点一：函数的概念考点二：定义域考点三：值域考点四：函数的表示考点五：单调性考点六：奇偶性考点七：函数的零点与方程的根考点八：二分法考点九：选择恰当的数学模型解决实际应用问题【基础知识】知识点一、函数的概念1、函数的定义设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数．记作：，．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．2、构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等（或为同一函数）；②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关．3、区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示．区间表示：；；；；．知识点二、函数的表示法1、函数的三种表示方法：解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．优点：简明，给自变量求函数值．图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系．优点：直观形象，反应变化趋势．列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系．优点：不需计算就可看出函数值．2、分段函数：分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．知识点三、函数定义域的求法（1）确定函数定义域的原则①当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合．具体地讲，就是考虑分母不为零，偶次根号的被开方数、式大于或等于零，零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件．②当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义．③当函数用表格给出时，函数的定义域是指表格中实数的集合．（2）抽象函数定义域的确定所谓抽象函数是指用表示的函数，而没有具体解析式的函数类型，求抽象函数的定义域问题，关键是注意对应法则．在同一对应法则的作用下，不论接受法则的对象是什么字母或代数式，其制约条件是一致的，都在同一取值范围内．（3）求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示．知识点四、函数值域的求法实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就完全确定了，但求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有：观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域；配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域；判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围；换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域．求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，还有最值法、数形结合法等．总之，求函数的值域关键是重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约．知识点五、函数的单调性1、增函数、减函数的概念一般地，设函数的定义域为，区间如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数．如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是减函数．2、单调性与单调区间（1）单调区间的定义如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数的单调区间．函数的单调性是函数在某个区间上的性质．3、证明函数单调性的步骤（1）取值．设是定义域内一个区间上的任意两个量，且；（2）变形．作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；（3）定号．判断差的正负或商与1的大小关系；（4）得出结论．4、函数单调性的判断方法（1）定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．（2）图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．（3）直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．（4）记住几条常用的结论①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数；②若和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为增（或减）函数；③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；若且为减函数，则函数为减函数，为增函数．5、单调性定义的等价形式（1）函数在区间上是增函数：任取，且，；任取，且，；任取，且，；任取，且，．（2）函数在区间上是减函数：任取，且，；任取，且，；任取，且，；任取，且，．6、复合函数单调性的判断讨论复合函数的单调性时要注意：既要把握复合过程，又要掌握基本函数的单调性．一般需要先求定义域，再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复合，然后分别判断它们的单调性，再用复合法则，复合法则如下：（1）若在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则为增函数；（2）若在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则为减函数．列表如下：增增增增减减减增减减减增复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单性相同时递增；单性相异时递减．因此判断复合函数的单调性可按下列步骤操作：（1）将复合函数分解成基本初等函数：，；（2）分别确定各个函数的定义域；（3）分别确定分解成的两个基本初等函数的单调区间．若两个基本初等函数在对应的区间上的单调性是同增或同减，则为增函数；若为一增一减或一减一增，则为减函数．7、利用函数单调性求函数最值时应先判断函数的单调性，再求最值．常用到下面的结论：（1）如果函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则函数在处有最大值．（2）如果函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，则函数在处有最小值．若函数在上是严格单调函数，则函数在上一定有最大、最小值．（3）若函数在区间上是单调递增函数，则的最大值是，最小值是．（4）若函数在区间上是单调递减函数，则的最大值是，最小值是．8、利用函数单调性求参数的范围若已知函数的单调性，求参数的取值范围问题，可利用函数单调性，先列出关于参数的不等式，利用下面的结论求解．（1）在上恒成立在上的最大值．（2）在上恒成立在上的最小值．实际上将含参数问题转化成为恒成立问题，进而转化为求函数在其定义域上的最大值和最小值问题．知识点六、基本初等函数的单调性1、正比例函数当时，函数在定义域R是增函数；当k<0时，函数在定义域R是减函数．2、一次函数当时，函数在定义域R是增函数；当k<0时，函数在定义域R是减函数．3、反比例函数当时，函数的单调递减区间是，不存在单调增区间；当时，函数的单调递增区间是，不存在单调减区间．4、二次函数若，在区间，函数是减函数；在区间，函数是增函数；若，在区间，函数是增函数；在区间，函数是减函数．知识点七、函数的最大（小）值1、最大值：对于函数，其定义域为，如果存在，，使得对于任意的，都有，那么，我们称是函数的最大值，即当时，是函数的最大值，记作．2、最小值：对于函数，其定义域为，如果存在，，使得对于任意的，都有，那么，我们称是函数的最小值，即当时，是函数的最小值，记作．3、几何意义：一般地，函数最大值对应图像中的最高点，最小值对应图像中的最低点，它们不一定只有一个．知识点八、函数的奇偶性概念及判断步骤1、函数奇偶性的概念偶函数：若对于定义域内的任意一个，都有，那么称为偶函数．奇函数：若对于定义域内的任意一个，都有，那么称为奇函数．知识点诠释：（1）奇偶性是整体性质；（2）在定义域中，那么在定义域中吗？----具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的；（3）的等价形式为：，的等价形式为：；（4）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有；（5）若既是奇函数又是偶函数，则必有．2、奇偶函数的图象与性质（1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．（2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于轴对称；反之，如果一个函数的图像关于轴对称，则这个函数是偶函数．3、用定义判断函数奇偶性的步骤（1）求函数的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步；（2）结合函数的定义域，化简函数的解析式；（3）求，可根据与之间的关系，判断函数的奇偶性．若，则是奇函数；若=，则是偶函数；若，则既不是奇函数，也不是偶函数；若且，则既是奇函数，又是偶函数知识点九、判断函数奇偶性的常用方法（1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等．（2）验证法：在判断与的关系时，只需验证及是否成立即可．（3）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称．（4）性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数．（5）分段函数奇偶性的判断判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断．在函数定义域内，对自变量的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数．分段函数不是几个函数，而是一个函数．因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系．首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较．知识点十、关于函数奇偶性的常见结论（1）函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称．（2）奇偶函数的图象特征．函数是偶函数函数的图象关于轴对称；函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称．（3）若奇函数在处有意义，则有；偶函数必满足．（4）偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同．（5）若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式．记，，则．（6）运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如．对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶．（7）复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇．知识点十一：函数的零点1、函数的零点（1）一般地，如果函数在实数处的值等于零，即，则叫做这个函数的零点.知识点诠释：①函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零；②函数的零点也就是函数的图象与轴交点的横坐标；③函数的零点就是方程的实数根．归纳：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．（2）二次函数的零点二次函数的零点个数，方程的实根个数见下表.判别式方程的根函数的零点两个不相等的实根两个零点两个相等的实根一个二重零点无实根无零点（3）二次函数零点的性质①二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号.②相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号.引伸：对任意函数，只要它的图象是连续不间断的，上述性质同样成立.2、函数零点的判定（1）利用函数零点存在性的判定定理如果函数在一个区间上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点，使，这个也就是方程的根.知识点十二：二分法1、二分法对于区间上图象连续不断且的函数，通过不断把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐渐逼近零点，进而得到近似值的方法．2、用二分法求函数零点的一般步骤：已知函数定义在区间D上，求它在D上的一个零点x0的近似值x，使它满足给定的精确度．第一步：在D内取一个闭区间，使与异号，即，零点位于区间中．第二步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为．计算和，并判断：①如果，则就是的零点，计算终止；②如果，则零点位于区间中，令；③如果，则零点位于区间中，令第三步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为．计算和，并判断：①如果，则就是的零点，计算终止；②如果，则零点位于区间中，令；③如果，则零点位于区间中，令；……继续实施上述步骤，直到区间，函数的零点总位于区间上，当和按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数的近似零点，计算终止．这时函数的近似零点满足给定的精确度．知识点十三：解决实际应用问题1、解决实际应用问题的过程2、解决实际应用问题的步骤：第一步：阅读理解，认真审题读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，领悟从背景中概括出来的数学实质，尤其是理解叙述中的新名词、新概念，进而把握住新信息．第二步：引进数学符号，建立数学模型设自变量为x，函数为y，并用x表示各相关量，然后根据问题已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为一个数学问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型．第三步：利用数学的方法将得到的常规数学问题（即数学模型）予以解答，求得结果．第四步：再转译为具体问题作出解答．【考点剖析】考点一：函数的概念1．(2023·河南省浚县第一中学高一阶段练习）下列图象中不能表示函数的图象的是（

）A． B．C． D．答案：D【解析】由函数的概念：一个自变量，不能对应两个函数值，对于选项D，时，对于一个自变量有两个函数值与之对应，这与函数的概念矛盾，故选：D.2．(2023·安徽省舒城晓天中学高一期中）下列四个式子中，y是x函数的是（

）A．=x B．y=C． D．答案：C【解析】对于A选项，，定义域为，定义域内每个值按对应法则不是唯一实数与之对应，所以不是函数，A项错误；对于B选项，，定义域为无解，所以不是函数，B项错误；对于C选项，定义域为，对于定义域内每一个值都有唯一实数与之对应，所以是函数，C项正确；对于D选项，当时，有两个值0，1与之对应，所以不是函数，D项错误．故选：C.3．(2023·北京广渠门中学教育集团高一期中）下列四组中的给出的两个函数，为同一个函数的是（

）A．， B．，C．， D．，答案：D【解析】A：定义域为R，定义域为R，显然两个函数解析式不一致，故A错误；B：定义域为R，定义域为，两个函数解析式一致，故B错误；C：定义域为R，定义域为，两个函数解析式一致，故C错误；D：定义域为R，定义域为R，并且，两个函数解析式也一致，故D正确.故选：D.考点二：定义域4．(2023·陕西·大荔县教学研究室高一期末）函数的定义域为（

）A． B． C． D．答案：D【解析】由题意可知：且，解得所以定义为，故选：D5．(2023·贵州毕节·高一期末）已知函数的定义域为，则的定义域为（

）A． B． C． D．答案：A【解析】∵函数的定义域为，∴，则，即的定义域为，由，得，∴的定义域是，故选：A6．(2023·黑龙江·勃利县高级中学高一期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为(

)A． B． C． D．答案：B【解析】由题意得：，解得：，由，解得：，故函数的定义域是，故选：B．考点三：值域7．(2023·上海徐汇·高一期末）函数的值域是________________．答案：．【解析】，且，，，，，故函数的值域是．故答案为：8．(2023·上海市第三女子中学高一期末）函数的值域是______.答案：【解析】，，故答案为9．(2023·全国·高一专题练习）已知，且，则的取值范围是___________.答案：【解析】因为，所以.又因为，所以，解得.故答案为：.10．(2023·辽宁营口·高一期末）为不超过的最大整数，若函数，，的值域为，则的最大值为______．答案：4【解析】因为函数，，的值域为，所以最大取到3，最小取到，所以的最大值为，故答案为：4考点四：函数的表示4．(2023·黑龙江·哈尔滨市第一中学校高一阶段练习）已知是一次函数，，，则（

）A． B． C． D．答案：D【解析】依题意，设，则有，解得，所以.故选：D5．(2023·北京十五中高一期中）若，则（

）A． B． C． D．答案：D【解析】令，则，所以，所以，故选:D.6．(2023·山东菏泽·高一期中）已知函数，则（

）A． B． C． D．答案：B【解析】.故选：B.考点五：单调性12．(2023·福建·泉州七中高一期中）已知定义在的函数满足：①对，，；②当时，；③.(1)求，判断并证明的单调性；(2)若，使得，对成立，求实数的取值范围；(3)解关于的不等式.【解析】（1）令，得，解得：；令，即，则，因为时，，所以时，，所以在上的单调递减；故单调递减区间为，无单调递增区间.（2）由（1）知，时，单调递减，又，则时，；因为，使得，对成立，所以，则，即对，成立；设（），则对，恒成立，即解得：或；故实数的取值范围为.（3）令，得，又知，即，所以；因为，所以，；不等式等价于，即；又因为，所以，故，则；因为在上单调递减，所以，即，①时，，解得或；②时，，解得或；③时，解得；④时，，解得；综上所述：不等式的解集为：时，解集为；时，解集为；时，解集为；时，解集为.13．(2023·山东·济宁市兖州区教学研究室高一期中）已知函数满足．(1)求函数的解析式；(2)用定义证明函数在上的单调性．【解析】（1）由用代替x可得，，.，联立方程，解得：.（2）证明：任取，且，.因为，且，所以，，故，即，所以在上单调递减.14．(2023·浙江省春晖中学高一期中）已知函数．(1)判断函数在的单调性；(2)求函数在上的值域；(3)作出函数，的图象．【解析】（1）证明．设，则，∵∴，即，故函数在上单调递增（2）函数，所以函数在，上单调递增，故当时，；当时，；故在的值域为（3）由（1）（2）可得，图象如图所示考点六：奇偶性20．(2023·湖北武汉·高一期末）已知函数为定义在上的奇函数，则的值为________．答案：【解析】因为函数为定义在上的奇函数，则有，解得，又由函数为奇函数，则有，则，所以恒成立，即，所以；故答案为：15．(2023·山东枣庄·高一期中）已知是定义在上的偶函数，当时，．(1)写出函数的解析式；(2)写出的单调递增区间和值域（无需过程）．【解析】（1）因为是定义在上的偶函数，所以当时，则，，即时，．

故（2）当时，，函数在区间单调递减，在区间单调递增，当时，，函数在区间单调递减，在区间单调递增，，综上可知函数的增区间是，，函数的值域为．16．(2023·上海·华师大二附中高一阶段练习）已知的定义域为，且满足下列三个条件：①在上为严格增函数；②；③对任何实数，都有.(1)求的值；(2)从对称中心和对称轴两方面讨论的对称性，如果具有对称性，请写出一个对称中心､一条对称轴，并给出证明；如果没有对称性，请说明理由.(3)解不等式：.【解析】（1）由，令，得，所以，令，得，由，得；（2）令，得，即，所以是奇函数，关于原点（0，0）对称，令，得，则的图象关于对称；（3）由，得，令，得，代入，得，因为在上为严格增函数，所以，则，设，由和，得，即，所以，所以是以4为周期的周期函数，而在一个周期内的解为，所以的解集为.17．(2023·福建三明·高一期中）已知函数定义在上的奇函数，且.(1)求；(2)判断函数在上的单调性并加以证明；(3)解不等式.【解析】（1）由题意可知，，解得；经检验成立（2）由（1）可知，设，则，，，，，，即，在上单调递增；（3）由，则，即，由（2）可知在上单调递增，，解得，不等式的解集为.考点七：函数的零点与方程的根7．(2023·广东·雷州市第一中学高一阶段练习）函数的零点所在的区间是（

）A． B． C． D．答案：B【解析】因为，则，，，，.所以，，根据零点存在性定理，可知存在x0∈1,2，有故选：B.8．(2023·河南·民权县第一高级中学高一阶段练习）已知函数在区间上有零点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．答案：C【解析】由题知，在区间上有零点，令，所以在上有解，所以，在上有解，因为，根据满足对勾函数特点，可作下图由图知在上单调递增，所以的最小值为；的最大值为；所以实数的取值范围是故选：C18．(2023·江西·高一阶段练习）已知函数，且是偶函数.(1)求的值；(2)若，函数，讨论零点的个数.【解析】（1）由题意得的定义域为，所以，得，得，经检验，时，，即符合题意.（2）由题意得，令函数，任取，则，因为，所以，得，则，所以，即，所以在上单调递增，又是增函数，所以在上单调递增，又为偶函数，则在上单调递减，.令，则，设函数，令，则或.当，即时，没有零点，即没有零点.当，即时，有1个零点，即有1个零点.当即时，有1个零点，即有2个零点.当，即时，有2个零点，即有3个零点.当，即时，有2个零点，即有4个零点.19．(2023·上海师大附中高一阶段练习）函数，，记，且为偶函数.(1)求常数的值；(2)若对一切，不等式恒成立，求实数的取值范围；(3)设，若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围.【解析】（1）由题意可知，，，为偶函数，，即，，，，.（2）由（1）得，条件，即：，，设，令，当且仅当，即时等式成立，，即；（3）依题意：，即仅有一解，则即，故设，依题意只有一个正实根.当时，，（舍）当时，方程有一正根，一负根，由，得.当时，方程有两个相等的正根.由，得，即，其中，当时，符合题意；当时，不符合题意.综上所述，实数的取值范围是考点八：二分法9．(2023·黑龙江·哈师大附中高一期中）用二分法求方程在内的近似解时，记，若，，，，据此判断，方程的根应落在区间（

）A． B． C． D．答案：B【解析】因为与在上单调递增，所以在上单调递增，因为，，所以在上有唯一零点，即，故，所以方程的根落在区间上，且为，对于ACD，易知选项中的区间与没有交集，故不在ACD选项中的区间上，故ACD错误；对于B，显然满足题意，故B正确.故选：B.10．(2023·全国·高一课时练习）下列图像表示的函数中能用二分法求零点的是（

）A． B．C． D．答案：C【解析】四个图像中，与x轴垂直的直线和图像只有一个交点，所以四个图像都表示函数的图像，对于A，函数图像和x轴无交点，所以无零点，故错误；对于B，D，函数图像和x轴有交点，函数均有零点，但它们均是不变号零点，因此都不能用二分法求零点；对于C，函数图像是连续不断的，且函数图像与x轴有交点，并且其零点为变号零点.故选：C．11．(2023·全国·高一课时练习）用二分法求函数的一个零点的近似值（误差不超过）时，依次计算得到如下数据：，，，，关于下一步的说法正确的是（）A．已经达到对误差的要求，可以取作为近似值B．已经达到对误差的要求，可以取作为近似值C．没有达到对误差的要求，应该接着计算D．没有达到对误差的要求，应该接着计算答案：C【解析】，在内有零点；，没有达到对误差的要求，应该继续计算.故选：C.考点九：选择恰当的数学模型解决实际应用问题20．(2023·湖南·新邵县第八中学高一阶段练习）2020年初，一场突如其来的“新冠肺炎”袭击了我国，给人民的身体健康造成了很大的威胁，也造成了医用物资的严重短缺，为此，某公司决定大量生产医用防护服.已知该公司生产防护服的固定成本为30万元，每生产一件防护服需另投入40元.设该公司一个月内生产该产品万件，且能全部售完.若每万件防护服的销售收入为万元，且(1)求月利润（万元）关于月产量（万件）的函数关系式（利润销售收入一成本）；(2)当月产量为多少万件时，该公司可获得最大利润，并求该公司月利润的最大值.【解析】（1）由题意得，，当时，，当时，故（2）当时，在时最大，最大值，当时，由基本不等式得，当且仅当即时等号成立，故在时最大，最大值，综上，当月产量万件时，该公司可获得最大利润，月利润最大值为万元，21．(2023·山东枣庄·高一期中）设矩形的周长为，其中．如图所示，把它沿对角线向折叠，折过去后交边于点．设，．(1)将表示成的函数，并求定义域；(2)当长为多少时，的面积最大，并求出最大值．【解析】（1）根据题意，由，得，易知，故，故，又在中，则，即，整理得，又且，即且，故，所以，定义域为．（2）由（1）得的面积，令，则，故，当且仅当，即，即时，等号成立，故，故当长为时，面积最大，最大值为．【真题演练】1．(2023·天津·高考真题）函数的图像为（

）A． B．C． D．答案：D【解析】函数的定义域为，且，函数为奇函数，A选项错误；又当时，，C选项错误；当时，函数单调递增，故B选项错误；故选：D.2．（2023·全国·高考真题（文））设是定义域为R的奇函数，且.若，则（

）A． B． C． D．答案：C【解析】由题意可得：，而，故.故选：C.3．（2023·全国·高考真题（理））设函数，则下列函数中为奇函数的是（

）A． B． C． D．答案：B【解析】由题意可得，对于A，不是奇函数；对于B，是奇函数；对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数；对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数.故选：B4．(2023·北京·高考真题）函数的定义域是_________．答案：【解析】因为，所以，解得且，故函数的定义域为；故答案为：5．（2023·浙江·高考真题）已知，函数若，则___________.答案：2【解析】，故，故答案为：2.6．（2023·全国·高考真题）已知函数是偶函数，则______.答案：1【解析】因为，故，因为为偶函数，故，时，整理得到，故，故答案为：17．(2023·浙江·高考真题）已知函数则________；若当时，，则的最大值是_________．答案：

【解析】由已知，，所以，当时，由可得，所以，当时，由可得，所以，等价于，所以，所以的最大值为.故答案为：，.8．(2023·北京·高考真题）设函数若存在最小值，则a的一个取值为________；a的最大值为___________．答案：

0（答案不唯一）

1【解析】若时，，∴；若时，当时，单调递增，当时，，故没有最小值，不符合题目要求；若时，当时，单调递减，，当时，∴或，解得，综上可得；故答案为：0（答案不唯一），1【过关检测】一、单选题1．(2023·山东枣庄·高一期中）我们知道：的图像关于原点成中心对称图形的充要条件是为奇函数，有同学发现可以将其推广为：的图像关于成中心对称图形的充要条件是为奇函数，若，则，，则（

）A． B． C． D．答案：A【解析】令，则则，所以为奇函数，所以的图像关于对称，所以，故，且，所以.故选：A2．(2023·山东枣庄·高一期中）函数，对且，，则实数的范围为（

）A． B．C． D．答案：B【解析】因为对且，，所以函数在区间单调递减，函数的对称轴是，所以，得.故选：B3．(2023·上海市嘉定区安亭高级中学高一阶段练习）游泳池原有一定量的水．打开进水阀进水，过了一段时间关闭进水阀．再过一段时间打开排水阀排水，直到水排完．已知进水时的流量、排水时的流量各保持不变．用表示游泳池的水深，表示时间．下列各函数图象中能反映所述情况的是（

）A． B．C． D．答案：D【解析】游泳池原有一定量的水，故函数图像不过原点，排除AC；再过一段时间打开排水阀排水，故函数值有一段时间不变，排除B.故选：D4．(2023·湖南·溆浦县第一中学高一期中）定义在R上的偶函数满足：在上单调递减，则满足的x的取值范围是（

）A． B．C． D．答案：B【解析】因为为R上的偶函数，且在上单调递减，所以在上单调递增，所以不等式可整理为，解得或.故选：B.5．(2023·河南·民权县第一高级中学高一阶段练习）已知定义在R上的函数是奇函数，且，，则（

）A． B．0 C．2 D．4答案：A【解析】因为函数是奇函数，所以，因此由，所以函数是以4为周期的函数，，因为函数是奇函数，所以，因此，，于是，故选：A6．(2023·河南·民权县第一高级中学高一阶段练习）已知函数的定义域为R，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．答案：D【解析】因为函数的定义域为R，所以，对恒成立，当时，，成立；当时，，解得，综上：实数a的取值范围是故选：D7．(2023·浙江·温州外国语学校高一阶段练习）函数的零点所在的一个区间为（

）A． B． C． D．答案：B【解析】因为在上单调递增，所以函数至多有一个零点，因为，，所以，所以的零点所在的一个区间为，故选：B8．(2023·上海·华师大二附中高一阶段练习）已知函数，则下列命题中正确的个数是（

）①函数在是周期函数②函数在上严格增③函数在取得最大值0，且无最小值④若方程有且仅有两个实根，则A．1 B．2 C．3 D．4答案：C【解析】的图像如图所示:对于①,因为,,可得所以函数在上不是周期函数,故①不正确;对于②,当,结合函数图像可知,函数在区间,上单调递增,故②正确;对于③,通过图像可知，当时，取得最大值，且无最小值，故③正确;对于④,如图所示,图中两条曲线对应的分别为和,故方程为,有且只有两个实根,则,故④正确.故选:C.二、多选题9．(2023·广东·雷州市第一中学高一阶段练习）已知函数，则（

）A．是奇函数B．在上单调递增C．方程有两个实数根D．函数的定义域是答案：BCD【解析】对于选项A．函数的定义域为，不关于原点对称，既不是奇函数也不是偶函数，故A错误；对于选项B．时，，函数在上单调递增，则函数在上单调递减，故在上单调递增，B正确；对于选项C．由题可得是方程的一个根，时，（舍去），时，，故C正确；对于选项D．由，得所以函数的定义域是，故D正确．故选：BCD．10．(2023·陕西西安·高一阶段练习）已知函数若方程有三个不