(人教A版2019选择性必修第一册)重难点题型精讲专题3.2椭圆及其标准方程(原卷版+解析)

专题3.2椭圆及其标准方程-重难点题型检测【人教A版2019选择性必修第一册】考试时间：60分钟；满分：100分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本节内容的具体情况！一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）(2023·浙江·高二期末）已知椭圆x225+y2m2A．3 B．4 C．9 D．212．（3分）（2023·北京高二期中）设p:mx2+ny2=1表示的是椭圆；q:m>0,n>0，则A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3．（3分）(2023·全国·高二课时练习）已知F1、F2是椭圆C:x216+A．有最大值，为16 B．有最小值，为16C．有最大值，为4 D．有最小值，为44．（3分）（2023·浙江·模拟预测）已知圆O:x2+y2=4，从圆上任意一点M向x轴作垂线段MN，N为垂足，则线段A．x24+y2=1 B．x5．（3分）（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的两个焦点为F1(−5,0)，F2(5,0)，A．x27+y22=1 B．6．（3分）(2023·全国·高二课时练习）F是椭圆x29+y25=1的左焦点，PA．9−2 B．3+2 C．6−27．（3分）(2023·全国·高二专题练习）已知椭圆x225+y216=1的左、右焦点分别为F1、F2A．8 B．82 C．16 D．8．（3分）(2023·陕西·高三阶段练习（理））已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0，其左､右焦点分别为F1，F2A．x212+y29=1 B．二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）(2023·全国·高二课时练习）将一个椭圆绕其对称中心旋转90°，若所得椭圆的两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，则称该椭圆为“对偶椭圆”.下列椭圆的方程中，是“对偶椭圆”的方程的是（

）A．x28+C．x26+10．（4分）(2023·湖北·高三开学考试）对于曲线C:x24−kA．曲线C不可能是椭圆B．“1<k<4”是“曲线C是椭圆”的充分不必要条件C．“曲线C是焦点在y轴上的椭圆”是“3<k<4”的必要不充分条件D．“曲线C是焦点在x轴上的椭圆”是“1<k<2.5”的充要条件11．（4分）(2023·江苏·高二）已知P是左右焦点分别为F1，F2的x212+A．MP的最大值为5 B．PC．存在点P，使∠F1PF212．（4分）(2023·福建福州·高二期末）已知椭圆C：x225+y29=1，F1，F2A．存在P使得∠F1PF2C．PF1⊥PF2，则△F1P三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．（4分）(2023·全国·高二课时练习）如果点M（x，y）在运动过程中，总满足关系式x2+y+32+x214．（4分）(2023·全国·高二课时练习）经过椭圆x24+y2=1的左焦点F1，作不垂直于x轴的直线AB，交椭圆于A、B15．（4分）（2023·全国·高三专题练习）已知A(1,3)，F是椭圆C：x29+y25=116．（4分）(2023·全国·高二课时练习）如图，已知椭圆C的中心为坐标原点O，F(−25,0)为C的左焦点，P为C上一点，且满足OP=OF，PF=4，则椭圆C的标准方程为四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）(2023·全国·高二课时练习）已知点P是椭圆x2100+y236=118．（6分）(2023·全国·高二课时练习）求满足下列条件的椭圆的标准方程．(1)过点Q22,1(2)中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点P13,19．（8分）(2023·全国·高二课时练习）已知P是椭圆x225+y2(1)若∠F1P(2)求PF20．（8分）（2023·吉林·高二阶段练习（理））在平面直角坐标系中，已知F1−2,0，F22,0是椭圆C：x2（1）求椭圆C的方程；（2）若△F1P21．（8分）(2023·全国·高二课时练习）已知两点F1−2,0、F22,0，曲线C上的动点(1)求曲线C的方程；(2)曲线C上是否存在点M使MF1⊥M22．（8分）（2023·江西·高二阶段练习）设椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左右焦点分别为F（1）求椭圆的标准方程；（2）M为椭圆上一点，求MF专题3.2椭圆及其标准方程-重难点题型检测参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）(2023·浙江·高二期末）已知椭圆x225+y2m2A．3 B．4 C．9 D．21【解题思路】由a2【解答过程】由题知c=4，a所以m2=25−42=9故选：A.2．（3分）（2023·北京高二期中）设p:mx2+ny2=1表示的是椭圆；q:m>0,n>0，则A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【解题思路】根据椭圆方程的特征以及充分条件必要条件的概念可得结果.【解答过程】若mx2+ny2=1表示的是椭圆，则反例：当m=n=1时，mx2+n即p是q成立的充分不必要条件，故选：A.3．（3分）(2023·全国·高二课时练习）已知F1、F2是椭圆C:x216+A．有最大值，为16 B．有最小值，为16C．有最大值，为4 D．有最小值，为4【解题思路】依据椭圆定义，再利用均值定理即可求得PF【解答过程】由题意知，a=4，则PF由基本不等式，知PF（当且仅当PF1=故选：A．4．（3分）（2023·浙江·模拟预测）已知圆O:x2+y2=4，从圆上任意一点M向x轴作垂线段MN，N为垂足，则线段A．x24+y2=1 B．x【解题思路】利用相关点法即可求解.【解答过程】设线段MN的中点Px,y，Mx所以x=x0y=又点M在圆O:x则x2+2y故选：A.5．（3分）（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的两个焦点为F1(−5,0)，F2(5,0)，A．x27+y22=1 B．【解题思路】首先设MF1=m，MF2【解答过程】设MF1=m，MF2=n，因为MF1⊥MF2，MF1⋅MF2=8，故选：C.6．（3分）(2023·全国·高二课时练习）F是椭圆x29+y25=1的左焦点，PA．9−2 B．3+2 C．6−2【解题思路】根据题意，将求两线段之和的最小值转变为两线段之差的绝对值的最大值即可.【解答过程】椭圆x29+如图，设椭圆的右焦点为F'则PF+∴PA+PF由图形知，当P在直线AF'上时，当P不在直线AF根据三角形的两边之差小于第三边有，PA－∴当P在F'A的延长线上时，PA∴PA+PF故选：C．7．（3分）(2023·全国·高二专题练习）已知椭圆x225+y216=1的左、右焦点分别为F1、F2A．8 B．82 C．16 D．【解题思路】求出PF2，可知△PF1F2为等腰三角形，取PF【解答过程】在椭圆x225+y216=1中，a=5由椭圆的定义可得PF取PF2的中点M，因为PF由勾股定理可得MF所以，S△P故选：B.8．（3分）(2023·陕西·高三阶段练习（理））已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0，其左､右焦点分别为F1，F2A．x212+y29=1 B．【解题思路】由离心率的值，可得a,c的关系，由三角形的内切圆的面积，求出内切圆的半径，再由∠F1PF2=π3及余弦定理可得【解答过程】由离心率e=12，得ca因为△F1PF2的内切圆的面积为π，设内切圆的半径为r由椭圆的定义可知PF在△F1PF2即PF∴PF∴3PF1所以S△而S△所以可得34a2=3由a2=b所以该椭圆的方程为x2故选：A．二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）(2023·全国·高二课时练习）将一个椭圆绕其对称中心旋转90°，若所得椭圆的两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，则称该椭圆为“对偶椭圆”.下列椭圆的方程中，是“对偶椭圆”的方程的是（

）A．x28+C．x26+【解题思路】根据对偶椭圆的定义求出a,b，再根据关系逐一判断即可.【解答过程】由题意，根据对偶椭圆定义，在椭圆标准方程中，b=c，则a2A，a2=8，b2B，a2=5，b2C，a2=6，b2D，a2=9，b2故选：AC.10．（4分）(2023·湖北·高三开学考试）对于曲线C:x24−kA．曲线C不可能是椭圆B．“1<k<4”是“曲线C是椭圆”的充分不必要条件C．“曲线C是焦点在y轴上的椭圆”是“3<k<4”的必要不充分条件D．“曲线C是焦点在x轴上的椭圆”是“1<k<2.5”的充要条件【解题思路】根据曲线C的形状求出参数k的取值范围，可判断A选项；利用集合的包含关系可判断BCD选项.【解答过程】对于A选项，若曲线C为椭圆，则4−k>0k−1>04−k≠k−1，解得1<k<4且对于B选项，因为k1<k<4k1<k<2.5或所以，“1<k<4”是“曲线C是椭圆”的必要不充分条件，B错；对于C选项，若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则k−1>4−k4−k>0，解得2.5<k<4又因为k2.5<k<4k所以，“曲线C是焦点在y轴上的椭圆”是“3<k<4”的必要不充分条件，C对；对于D选项，若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则k−1<4−kk−1>0，解得1<k<2.5所以，“曲线C是焦点在x轴上的椭圆”是“1<k<2.5”的充要条件，D对.故选：CD.11．（4分）(2023·江苏·高二）已知P是左右焦点分别为F1，F2的x212+A．MP的最大值为5 B．PC．存在点P，使∠F1PF2【解题思路】设P(x0,y0)，则x02=12−3y02，进而根据两点之间的距离公式和二次函数性质求解判断A；根据椭圆定义判断B；根据P为短轴端点时，【解答过程】解：对于A选项，设P(x0,y0所以MP=x0又−2≤y0≤2，所以当y对于B选项，由椭圆定义，PF对于C选项，当P为短轴端点时，PO=2，OF2=22，tan对于D选项，PF1−PF2≤F1F2故选：BD.12．（4分）(2023·福建福州·高二期末）已知椭圆C：x225+y29=1，F1，F2A．存在P使得∠F1PF2C．PF1⊥PF2，则△F1P【解题思路】设椭圆C短轴顶点为D,E根据DF1⋅DF2<0得∠F1PF【解答过程】解：设椭圆C短轴顶点为D,E，由题知椭圆C：x225+所以，F1−4,0，F24,0，对于A选项，由于DF1=−4,−3,DF2=对于B选项，记|PF1|=m,|P由余弦定理：cos∠≥18m+n2对于C选项，由于PF1⊥PF2对于D选项，设Px,yx≠±5,A−5,0,B5,0，则故选：ABC.三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．（4分）(2023·全国·高二课时练习）如果点M（x，y）在运动过程中，总满足关系式x2+y+32+【解题思路】根据两点间距离公式，即可判断点M轨迹满足椭圆的定义.【解答过程】x2+y+32+x2+y−32=43可看作M（x，y）到故答案为：椭圆.14．（4分）(2023·全国·高二课时练习）经过椭圆x24+y2=1的左焦点F1，作不垂直于x轴的直线AB，交椭圆于A、B【解题思路】利用椭圆的定义，即可求解周长.【解答过程】由椭圆x24+由椭圆的定义可得AF所以△ABF2的周长故答案为：8.15．（4分）（2023·全国·高三专题练习）已知A(1,3)，F是椭圆C：x29+y25=1【解题思路】根据给定条件，利用椭圆的定义推理计算作答.【解答过程】设椭圆C的右焦点为F'，依题意，F'(2,0)而||PA|−|PF'||≤|AF'因此，|PA|+|PF|≥|PF|+|PF'|−2=4，当且仅当点P是线段F所以|PA|+|PF|的最小值为4.故答案为：4.16．（4分）(2023·全国·高二课时练习）如图，已知椭圆C的中心为坐标原点O，F(−25,0)为C的左焦点，P为C上一点，且满足OP=OF，PF=4，则椭圆C的标准方程为x【解题思路】引入右焦点为F'，根据平面几何性质得PF⊥PF'，由勾股定理求得PF'【解答过程】设椭圆C的标准方程为x2a2+y2b由已知，得c=25．又OP=OF=OF'在Rt△FPF'由椭圆的定义，可知2a=PF+PF'=4+8=12所以b2故椭圆C的标准方程为x2故答案为：x2四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）(2023·全国·高二课时练习）已知点P是椭圆x2100+y236=1【解题思路】由椭圆定义求得PF1，PF2，利用P分别在以F1【解答过程】解：由已知a=10,b=6，c=100−36=8，F1PF1+所以PF1=15因此点P在分别以F1、F因此(x+8)2+y所以点P的坐标为25418．（6分）(2023·全国·高二课时练习）求满足下列条件的椭圆的标准方程．(1)过点Q22,1(2)中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点P13,【解题思路】（1）法一：设椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1，根据与椭圆x29+y（2）方法一：当椭圆的焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为x2a12+y2b12=1（a1>b1【解答过程】（1）解：方法一：设所求椭圆的标准方程为x2a2由x29+y24又点Q22,1在所求椭圆上，所以由①②得a2=10，即所求椭圆的标准方程是x2方法二：设所求椭圆的方程为x2因为点Q2所以89+λ+1所以所求椭圆的标准方程为x2（2）方法一：当椭圆的焦点在x轴上时，可设椭圆的标准方程为x2a1依题意有132a由a1当椭圆的焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程x2a2依题意有132a所以所求椭圆的标准方程为y2方法二：设椭圆的方程为mx2+y2=1（依题意有19m+1所以所求椭圆的方程为5x2+419．（8分）(2023·全国·高二课时练习）已知P是椭圆x225+y2(1)若∠F1P(2)求PF【解题思路】（1）根据椭圆的定义以及a,b,c的关系，结合余弦定理和面积公式即可求得；（2）由椭圆的定义结合基本不等式即可求得答案.【解答过程】（1）在椭圆x225+y29=1则PF1+在Rt△F1PF即100−2PF1则△F1P（2）设PF1=m，PF2所以10≥2mn，即mn≤25，当且仅当m＝n所以PF20．（8分）（2023·吉林·高二阶段练习（理））在平面直角坐标系中，已知F1−2,0，F22,0是椭圆C：x2（1）求椭圆C的方程；（2）若△F1P【解题思路】（1）由条件可得c=2，2a+2c=10，即可得出答案.（2）设Pm,n，由三角形F1P【解答过程】由已知